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任意角的三角函数习题课


课本P20习题1.2
1、不能用公式求解时,用任意角三角函数的定义 解决 2、特殊角三角函数值,除了常见的锐角,还有 ? 3 0, , ? , ? 的三角函数值 2 2 3、根据角的象限判断函数值的正负及给出相关函 数值的正负判断角所在的象限

巩固练习
? 类型一、三角函数线的应用 ? 利用三角函数线比较下列各组数的 大小


2? 4 (1) sin 与 sin ? 3 5 2 4 (2) t an ?与t an ? 3 5

变式训练:求下列函数的定义域: (1)y= 2cosx-1; (2)y=lg( 2-2sinx).

类型二 用三角函数的定义求三角函数值 例 1: 已知角 α 的终边在射线 y= 3x(x>0) 上,求角 α 的正弦、余弦和正切值.

变式训练
如果角 α 的终边过点 P(2sin30° ,-2cos30° ), 则 cosα 的值等于( 1 A. 2 3 C.- 2 )

1 B.- 2 3 D.- 3

类型三 三角函数值的符号问题 例2:若sin2α>0,且cosα<0,试确定 角α终边所在的象限.

变式训练
(1)已知点P(tanα,cosα)在第三象限, 则角α的终边在第几象限; (2)判断sin3·cos4·tan5的符号.

类型四 例

公式一的应用

? 11 ? 12 ? ? 3:计算(1)sin?- π?+cos π·tan4π; 6 ? 5 ?

(2)sin1140°cos(-690° · )+tan1845° .

复习引入
我们已经学习过锐角的三角函数,如图:
C 斜边 对 边 B

α
A 邻边

对边 邻边 sin ? ? cos? ? 斜边 斜边 对边 tan? ? 邻边

新课讲授
1.下面利用平面直角坐标系,研究任意角的三角函数。
y P(x,y) r

a的终边上任意一点P的坐标为(x,y), 它与原点的距离是
x

α o

r ? x ?y ?0
2 2

y y (1)比值 叫做 ?的正弦,记作 sin ? , 即sin ? ? ; r r x x (2)比值 叫做 ?的余弦,记作 cos ? ,即 cos ? ? ; r r

y y (3)比值 叫做 ?的正切,记作 tan ? , 即 tan ? ? ; x x

下面我们研究这些三角函数的定义域:
P(x,y)
o x

y sin ? ? r

x cos? ? r

y tan? ? x

三角函数

sin ? cos? tan ?



义 R R



{? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }

典例剖析 [例1] 、已知角α的终边经过点P(2,-3), 求角α的三个三角函数值。
y 2

o

x

-3

P(2,-3)

随堂练习
1、利用三角函数的定义求 的三个三角函数值
7? 17 及? ? 6 3

2、已知角?的终边上有一点 的坐标是( a,4a), p 3 其中a ? 0, 求sin? , cos? , tan?的三角函数值

2.各象限角的三角函数值的符号
根据三角函数的定义,研究这六种三角函数的 值在各个象限的符号。

y sin ? ? r
y

x cos? ? r
y

y tan? ? x
y

+

+
o

_
x

+
o x

_
o

+ _
x

_

_

_

+

+

sin ?

cos?

tan ?

记忆法则:
一全二正弦, 三切四余弦.

sin ?为正

全为正

tan?为正 cos?为正

练习: 确定下列三角函数值的符号:
(1)cos250° (2) sin( ? ) 4

?

(3)tan(-672°)

11? ) (4) tan( 3

[例2]

如果sin ? ? 0, 且 tan? ? 0, 试确定?是第几象限角 .

思考: ? 根据三角函数的定义: 终边相同的角的同一三角函 数值是否相等?

3.终边相同的角的三角函数值
与?终边相同的角可以表示为:

α

y

? ? k ? 360?,k ? Z (角度制表示 )

0

x

? ? 2k?,k ? Z (弧度制表示 )
终边相同 点的坐标相同

P(x,y)

同一函数值相同 (角度制)

公式一(弧度制)

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos? tan( ? k ? 2? ) ? tan? ? (k ? z )

sin(? ? k ? 360?) ? sin ?
cos(? ? k ? 360?) ? cos?

tan( ? k ? 360?) ? tan? ?

[例3]求下列三角函数的值:

(1) sin 420

0

5? (2) cos( ? ) 3

(3) tan(?690 )
0

4.几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2
1 2

? 2 1

?

1
0

tanα

3 2 3 3

0

1

3 不存在

0 ?1 0 1 ?1 0 0 不存在 0

3? 2

2?

[例4]计算
11? 7? sin( ? ) ? 4 cos 0 ? tan 3? ? cot( ? ) 2 2

小结
1、三角函数的定义:
P(x,y) o

x

y sin ? ? r x cot? ? y

x cos? ? r r sec ? x
定 义 R R 域

y tan? ? x r csc ? ? y

sin ? cos? tan ? , sec ? cot ? , csc ?

三角函数

{? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }

{? | ? ? k? , k ? Z}

2、终边相同的角的同一三角函数值相等

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan(? ? k ? 2? ) ? tan ?
? 应用 (1)判断符号 ? (2)求值

(k ? z)

? 0 ?? 把角?化到0 ? ?

~ 360

0

3、三角函数在象限内的符号
(+ ) ( ) (+ ) ( ) ( )

-

(+ )

( )

-

(+ )

-

-

( )

  a    a    a sin tan cos

-

(+ )

(+ )

( )

-

4.几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2
1 2

? 2 1

?

1
0

tanα

3 2 3 3

0

1

3 不存在

0 ?1 0 1 ?1 0 0 不存在 0

3? 2

2?


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