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任意角的三角函数线


任意角的三角函数线

前面我们学习了任意角的三 角函数,它主要从数上研究了它 们,能否从图形上来研究呢?

思考1:如图,设角α为第一象限角,其终边与 y 单位圆的交点为P(x,y),则 sin ? ? ,

cosα = x 都是正数,你能分别用一条线段表
示角α的正弦值和余弦值吗?

y

| MP |= y = sinα
| OM |= x = cosα
O
M

P (x ,y )

x

思考2:若角α为第三象限角,其终边与单位圆 sin ? ? y 的交点为P(x,y),则 ,

cos? ? x 都是负数,此时角α的正弦值和余弦
值分别用哪条线段表示?

y M

? | MP |? y ? sin ?
? | OM |? x ? cos ?
O x

P (x ,y )

思考3:为了简化上述表示,我们设想将线 段的两个端点规定一个为始点,另一个为终 点,使得线段具有方向性,带有正负值符号。 根据实际需要,应如何规定线段的正方向和 负方向?

规定:线段从始点到终点与坐标轴同向 时为正方向,反向时为负方向。

一、有向线段

y
M

y α终边
p(x , y)

o

x

o

M

x

p(x , y)
α终边

象OM、MP这种被看 作带有方向的线段, 叫做有向线段。

我们规定OM与x轴同向时,OM的方向 是正向,x为正值;OM与x轴反向时, OM 的方向是负向,x为负值;无论是那种情况 都有:OM=x=cosα。 我们规定MP与y轴同向时,MP的方向 是正向,y为正值;MP与y轴反向时,MP的 方向是负向,y为负值;无论是那种情况都 有:MP =y=sinα。

二、正弦线、余弦线 设任意角α与单位圆交于点 p(x , y),则r = |op| = 1.

y
p(x , y)
α

sinα= y cosα = x

o

x

因此,p(x , y)坐标也表示为p(cosα , sinα).

p
M

y

y α 终边
p(x , y)

o y
M

x
正弦线

o

M

x

余弦线 x o

y
M

o

x
p

p

三、正切线 过A(1,0)作圆的切线, 称AT为角α的正切线.

y α 终边
p T A x

o

α 终边

p

y

y 过A(1,0)作圆的切线 p

T
α 终边

M

o

A(1,0) x T T

o

A(1,0) x M

y

y

M

o
α 终边

A(1,0) x

o

M A(1,0) x p
α 终边

p

T

例7:不查表,比较大小。

2? 4 ? ⑴ sin 和 sin 3 5
解: 由图形得到

y 1 o

2π 4π sin > sin 3 5

1x

2? 4 ? (2)cos 和 cos 3 5
解: 由图形得到

y

1
o

2π 4π cos > cos 3 5

1x

2? 4? ⑶ tan 和 tan 3 5
解: 由图形得到

y 1 o

2π 4π tan < tan 3 5

x

结论
三角函数线是三角函 数的几何表示,它可 以直观刻画三角函数 的概念与三角函数的 定义结合起来,可以 从数与形两方面认识 三角函数的定义.

1、正弦线

2、余弦线
3、正切线

注意:正弦线、余弦线、正切 线都是有向线段,有正负之分.


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