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2016年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(二)数学理科答案


2016 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(二) 数学理科参考答案
一、选择题:每小题 5 分,满分 40 分 题号 1 2 3 4 答案 C A C B 二、填空题: 每小题 5 分,共 30 分. 9.50 ; 10. 5 B 6 D 7 A 8 A

2 ; 3

11.

10 ?; 3

12. ;

2 3

13.

32 ; 3

14.? ? , 0 ? ? ? 0, ?

? 1 ? 8

? ?

? ?

1? 8?

三、解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分13分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若 f ( x0 ?

6 ?? ? ? ) ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值. 12 5 ?4 2?

?

解析:(Ⅰ) f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 ? sin 2x ? 3 cos 2 x ………3 分

2? ?? , 2 ? 6 ?? ? ? (Ⅱ)解:由(1)可知 f ( x0 ? ) ? , x0 ? ? , ? 12 5 ?4 2? ? ? 2? 7? ? ?? ? ? x0 ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , ? 6 ? 3 6 ? ?4 2?
因此 f ( x ) 的最小正周期为 T ?
从而 cos(2 x0

? 2sin(2 x ? ) , 3

?

……………4 分 ……………5 分
所以 sin(2 x0 ?

?
6

)?

3 5

…7 分

……………8 分 …………9 分

? ? 4 ? ) ? ? 1 ? sin 2 (2 x0 ? ) ? ? 6 6 5

? ?? ? ? cos 2 x0 ? cos ?(2 x0 ? ) ? ? 6 6? ?
? cos(2 x0 ? ) cos ? sin(2 x0 ? ) sin 6 6 6 6

…………11 分

?

?

?

?

…………12 分

?

3? 4 3 10

……………13 分

(数学理科)第 1 页 共 8 页

16. (本小题满分 13 分) 国家旅游局确定 2016 年以“丝绸之路旅游年”为年度旅游宣传主题,甘肃武威为配 合国家旅游局,在每张门票后印有不同的“丝绸之路徽章” 。某人利用五一假期,在该地 游览了文庙,白塔寺,沙漠公园,森林公园,天梯山石窟五处景点,并收集文庙纪念徽 章 3 枚,白塔纪念徽章 2 枚,其余三处各 1 枚.,现从中任取 4 枚。 (Ⅰ)求抽取的 4 枚中恰有 3 个景点的概率; (Ⅱ)抽取的 4 枚徽章中恰有文庙纪念徽章的个数为 ? 枚,求 ? 的分布列和数学期望. (Ⅰ)记“抽取的 4 枚徽章中恰有 3 个景点”为事件 A ……………1 分 ……………5 分

P( A) ?

1 1 2 1 1 C32 ? (C2 ? C3 ? C32 ) ? C2 ? (C3 ? C3 ? C32 ) 39 ? C84 70

(Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3,

……………6 分
1 3 C3 C 30 p(? ? 1) ? 4 5 ? C8 70 3 1 C3 C5 5 ? C84 70

C54 5 p(? ? 0) ? 4 ? C8 70 p(? ? 2) ? C32C52 30 ? C84 70

p(? ? 3) ?
ξ 0

……………10 分 3

1

2

所以 ? 的分布列为 .

P

1 14

3 7

3 7

1 14
……………12 分

E? ? 0 ?

1 3 3 1 21 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 14 7 7 14 14

……………13 分

(数学理科)第 2 页 共 8 页

17. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , AC ? AD, AB ? BC ,

uuur uuu r ?BCA ? 600 , AP ? AC ? AD ? 2 , E 为 CD 的中点, M 在 AB 上,且 AM ? 2MB .
z
P

(Ⅰ)求证: EM / / 平面 PAD ; (Ⅱ)求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值; (Ⅲ)点 F 是线段 PD 上异于两端点的任意一点,若满足 异面直线 EF 与 AC 所成角 45 ,求 AF 的长.
D

M

B

0

A

C E

y

解:以 A 为原点,建立如图的空间直角坐标系

x

A(0, 0, 0) D(2,0,0) C (0, 2,0) E (1,1, 0) B(?

3 3 , , 0) P(0, 0, 2) ……2 分 2 2 3 3 ? x, ? y , ? z ) 2 2

(Ⅰ)设 M ( x, y, z ) , Q AM ? 2MB ? ( x, y, z ) ? 2(?

uuur

uuu r

? 3 ?x ? ? ?x ? ? 3 ? 2x 3 ? ? 3 ? ,1, 0) ? ? y ? 3 ? 2 y ? ? y ? 1 ? M (? 3 ? z?0 ? z ? ?2 z ? ? ? ?

…………3 分

uuur u r 3 ? EM ? (? ? 1, 0, 0) ,平面 PAD 的法向量 p ? (0,1,0) 3

……………4 分

uu u r u r uuu r u r ? EF gp ? 0 ? E F ? p 又 Q EM ? 平面 PAD
? EM / / 平面 PAD
(Ⅱ)设平面 PBC 的法向量 m ? ( x, y, z) ……………5 分

u r

uuu r uuu r 3 1 Q PC ? (0, 2, ?2), BC ? ( , ,0) 2 2

(数学理科)第 3 页 共 8 页

u r uuu r ? u r ? ? y?z ?0 ?mgPC ? 0 ,即 ? 令 x ? ?1,? y ? 3, z ? 3 ?m ? (?1, 3, 3) r uuu r ?u ? ? 3x ? y ? 0 ? ?mgBC ? 0
……………7 分

u r 平面 PAD 的法向量 p ? (0,1,0)
设二面角所成的锐二面角为 ?

u r u r mgp u r u r 21 ? cos ? ? cos m, p ? u r u r ? 7 mgp

平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 (Ⅲ)令 PF ? ? PD,(0 ? ? ? 1)

21 . 7

……………9 分

uu u r

uuu r

u uur 分 P F ? ?( 2 , 0? , 2 ? ), F ? ( 2 ,? 0? , 2 …… 210 )

uu u r EF ? (2? ?1, ?1,2 ? 2?)
uuu r uuu r EF gAC uuu r uuu r 2 2 ? ? cos EF , AC ? uuu r uuu r ? 2 EF g AC 2 (2? ? 1) 2 ? 1 ? (2 ? 2? ) 2
? 4? 2 ? 6? ? 2 ? 0
18. (本题满分 13 分)

…11 分

?? ?

1 或 1(舍) ? F ( 1 , 0 , 1 ? ), AF ? 2

… 2 …13 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 和圆 C2 : x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,已知圆 C2 的直径 a 2 b2 6 是椭圆 C1 焦距长的 2 倍,且圆 C2 的面积为 4? ,椭圆 C1 的离心率为 ,过椭圆 C1 的 3 上顶点 A 有一条斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 与椭圆 C1 的另一个交点是 B,与圆 C2 相交于 点 E, F . (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; uu u r uuu r (Ⅱ)当 AB g EF ? 3 7 时,求直线 l 的方程,并求 ?F2 AB 的面积(其中 F2 为椭圆 C1 的
已知椭圆 C1 : 右焦点).. 解:(Ⅰ)依题意 ? r ? 4? , r ? 0,? r ? 2
2

………1 分 ………2 分
2

?2r ? 2 g2c,?r ? 2c ? c ? 2
又Q e ?

x 6 2 2 2 ? y2 ? 1 , a ? b ? c ? a ? 3, b ? 1? 椭圆方程为 3 3
(数学理科)第 4 页 共 8 页

………4 分

(Ⅱ)由 1)知圆 C2 的圆心 O(0,0), r ? 2, A(0,1). 设直线 l : y ? kx ? 1 圆心 O 到直线 l 的距离 d ?

1 k 2 ?1

,

……………5 分 ……………6 分

1 4k 2 ? 3 EF ? 2 4 ? 2 ?2 k ?1 k 2 ?1 ? y ? kx ? 1 ? 2 得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kx ? 0 设 B( x1 , y1 ) ?x 2 ? ? y ?1 ?3
2 2 2 1 2

? x1 ?

?6 k 3k 2 ? 1

…………7 分

2 6 k k 2 ?1 ? ?6k ? ? ?6k ? ? AB ? x ? ( y1 ? 1) ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? 3k 2 ? 1 ? 3k ? 1 ? ? 3k ? 1 ?

……………8 分

2 4k 2 ? 3 12 k 4k ? 3 ? AB gEF ? ?2 ? ?3 7 3k 2 ? 1 k 2 ?1 3k 2 ? 1 ? k 4 ? 6k 2 ? 7 ? 0 ?(k 2 ? 7)(k 2 ?1) ? 0 ? k 2 ? 1 Q k ? 0 ? k ? 1? 直线 l : y ? x ? 1

6k

k 2 ?1

………10 分 ………11 分

AB ?

3 2 2 ?1 13 2 ,点 F2 到直线 l 的距离 d1 ? ? S?F2 AB ? 2 2 2 2

2 ? 1 3( 2 ? 1) ? 4 2
…………13 分

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足 an +2 ? ? (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? an an ?1 , n ? N * ,求数列 {bn } 的前 2 n 项和 S 2 n ; (Ⅲ)设 cn ? a2 n ?1a2 n ? (?1) n ,证明:
?

?an ? 2, n为奇数 ?2an , n为偶数

,且 n ? N , a1 ? 1, a2 ? 2,
*

1 1 1 1 5 ? ? ?L ? ? . c1 c2 c3 cn 4

解:(Ⅰ)当 n ? 2k ?1, k ? N 时, ?an ? 构成以 1 为首项,2 为公差的等差数列 则 an ? a2k ?1 ? 1 ? (k ?1)2 ? 2k ?1 ? n
?

……………2 分

当 n ? 2k , k ? N 时, ?an ? 构成以 2 为首项,2 为公比的等比数列 则 an ? a2 k ? 2g2
k ?1

?2 ?2
k

n 2

……………4 分

(数学理科)第 5 页 共 8 页

? n 是奇数, an ? n ; n 是偶数, an ? 2 2 .
(Ⅱ) b2n?1 ? b2n ? a2n?1a2n ? a2n a2n?1 ? a2n (a2n?1 ? a2n?1 )

n

? 2n (2n ?1 ? 2n ? 1) ? ng2n?2

……………5 分

S2n ? 23 ? 2g24 ? 2g25 ? ... ? ng2n?2

2S2n ? 24 ? 2g25 ? ... ? ? n ?1?g2n?2 ? ng2n?3
??S2n ? 23 ? 24 ? 25 ? ... ? 2n?2 ? n2n?3 ?

……………6 分

8 ? 2n ?3 ? ng2n?3 ? (1 ? n)2n?3 ? 8 ……8 分 1? 2
……………9 分 ……………10 分

? S2n ? (n ?1)2n?3 ? 8
(Ⅲ) cn ? a2n?1a2n ? (?1)n ? (2n ?1)2n ? (?1)n

Q (2n ?1)2n ?1 ? 2g2n ? (2n ? 3)2n?1 ? 0 对 n ? 2 时恒成立,?(2n ?1)2n ?1 ? 2g2n
? 1 1 ? n (2n ? 1)2 ? 1 2g2n
(n ? 2) ……………11 分

当n ? 2时

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ? ? .... ? c1 c2 cn 1? 2 ? 1 3 ? 4 ? 1 5 ? 8 ? 1 (2n ? 1)2n ? 1

1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 1 1 1 5 1 5 2 ? 1 ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 ? 1 ? 8 ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? ? n ?1 ? 1 2 2 2 4 2 4 2 4 1? 2
…………13 分 当 n =1时

1 5 ?1? c1 4
………14 分

? 综上,对于 n ? N ? 原不等式成立.

(数学理科)第 6 页 共 8 页

20. (本小题满分 14 分) 已知直线 y ?

1 ax 是函数 f ( x ) ? x 的切线(其中 e ? 2.71828L ).. e e

(Ⅰ)求 a 的值;

m 成立,求实数 m 的取值范围; 2 x ? x2 x ? x2 ). (Ⅲ)若函数 g ( x) ? ln f ( x) ? b 的两个零点为 x1 , x2 , 证明:g ?( x1 ) + g ?( x2 ) ? g ?( 1 2 a (1 ? x ) 1 解:(Ⅰ)由题意得 f ?( x ) ? ,设切点( x0, ) x e e 1 a 所以 f ?( x0 ) ? 0 ,得 x0 ? 1 . 则 ? ,? a ? 1 ……………3 分 e e x m (Ⅱ)由(1)知 f ( x) ? x ? 对任意 x ? (0, 2) 都成立, e 2x ? x2 2 x 2 ? x3 2 Q 2 x ? x ? 0 ,即 m ? 对任意 x ? (0, 2) 都成立, ………5 分 ex 2 x 2 ? x3 令 h( x ) ? , ………6 分 ex x( x ? 1)( x ? 4) h?( x) ? ? 0, x ? 1 ex ? x ? (0,1), h?( x) ? 0 ;? x ? (1, 2), h?( x) ? 0
(Ⅱ)若对任意的 x ? (0, 2) ,都有 f ( x) ?

? h( x) 在 (0,1) 上单增, ?1, 2 ? 上单减,
1 1 ? h( x) max ? h(1) ? , ? h( x ) ? h(1) ? , e e 1 ?m ? e
(Ⅲ)证明:由题意知函数 g ( x) ? ln x ? x ? b ,所以 g ?( x ) ? 因为 x1 , x2 是函数 g ( x) 的两个零点,所以 ?

………7 分 ………8 分 …………9 分

1 ?1, x

? x1 ? b ? ln x1 x ,相减得 x2 ? x1 ? ln 2 , x1 ? x2 ? b ? ln x2
………10 分

1 t x ln t ,x2 ? ln t , 不妨令 2 ? t ? 1 , 则 x2 ? tx1 , 则 tx1 ? x1 ? ln t , 所以 x1 ? t ?1 t ?1 x1
………11 分 要证 g ?( x1 ) + g ?( x2 ) ? g ?(

x1 ? x2 ) 2
(数学理科)第 7 页 共 8 页

只要证

1 1 2 ? ? ?1 x1 x2 x1 ? x2
t ?1 t ?1 2(t ? 1) ? ? ?1 ln t t ln t (1 ? t ) ln t
1 2(t ? 1) ? ln t ? 0 t t ?1
………12 分

只要证

即证 t ? ?

1 2(t ? 1) ? ln t t t ?1 1 1 4 t 4 ? t 3 ? 4t 2 ? t ? 1 ? ?(t ) ? 1 ? 2 ? ? ? t t (t ? 1)2 t 2 (1 ? t )2
令 ? (t ) ? t ? ? 令 m(t ) ? t ? t ? 4t ? t ? 1
4 3 2

m?(t ) ? 4t 3 ? 3t 2 ? 8t ? 1 m??(t ) ? 12t 2 ? 6t ? 8 ? 0 对 t ? 1 恒成立? m?(t ) 在 ?1, ?? ? 上单增
? m?(t ) ? m?(1) ? 0 ? m(t ) 在 ?1, ?? ? 上单增,? m(t ) ? m(1) ? 0
即 ? ?(t ) ? 0

?? (t ) 在 ?1, ?? ? 上单增

?? (t ) ? ? (1) ? 0 ,即原不等式成立.
……………14 分

(数学理科)第 8 页 共 8 页


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