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山东省济南第一中学2018届高三上学期期中考试数学(理)


济南一中2017—2018学年度第一学期期中考试

高三数学试题(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分, 满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 考 试结束后,将本试卷和答题卡一并收回. 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试卷上.

第 I 卷(选择题 共 75 分)
一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 5 分,共 75 分. ) 1. 集合 M ? x lg ?1 ? x ? ? 0 ,集合 N ? x ? 1 ? x ? 1 ,则 M ? N ? A.

?

?

?

?

? 0,1?
?
?

B.

?0,1?

C.

??1,1?
? ?

D.

??1,1?
?

2.设 a ? ( 3,1), b ? ( x, ?3) ,且 a ? b ,则向量 a ? b 与向量 b 夹角为 A. 30 B. 60
?

?

C.

120?

D. 150

?

3.下列各式中错误的是 A. 0.83 ? 0.73 B. log0..5 0.4 ? log0..5 0.6 C. 0.75?0.1 ? 0.750.1 D. lg1.6 ? lg1.4

4.若 cos? ? sin ? ? ? A

? 5 ,则 cos( ? 2? ) 的值为 2 3
C

4 9

B

2 9

?

2 9

D ?

4 9

5.已知函数 y ? f ? x ? 是奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? lg x ,则 f ? f ? A. -lg2 1 B.- lg2 C.lg2 1 D. lg2

? ? 1 ?? ? ? 等于 ? ? 100 ? ?

x ?x 6. 已知命题 p : 对于 x ? R 恒有 2 ? 2 ? 2 成立;命题 q : 奇函数 f ( x ) 的图像必过原点,则

下列结论正确的是( A. p ? q 为真 7.函数 f ? x ? ?

) C. ? ?q ? 为假 D. p ? ? ?q ? 为真

B. ? ?p ? ? q 为真

2x ? 1 定义域为 log2 x

A. ?0,??? 8.要得到函数 A.向左平移 C.向左平移

B. ?1,???

C. ?0,1?

D. ?0,1? ? ?1,??? 的图像

的图像,只需将函数 个单位 B.向右平移 D.向右平移
1

?
12

?
12

个单位

?

6

个单位

?

6

个单位

9、若x 0 是方程2- x ? x 3的解,则x 0 属于区间

?2 ? A. ? ,1? ?3 ?
10.函数 f ( x ) ?

?1 2? B. ? , ? ? 2 3?
cos ?x 的图象大致是 x2
3
2

?1 1? C. ? , ? ?3 2?

? 1? D. ? 0, ? ? 3?

y

3
2

y

1

1 1
2

?3 ?2

?1 O ?1 ?2

3

x

?3 ?2

?1 O ?1 ?2

1

2

3

x

A
3
2

B
y
3
2

y

1

1
1

?3 ?2

?1 O ?1

2

3

x

?3 ?2

?1 O ?1

1

2

3

x

?2

?2

??? ? ???? 11.若圆 O 的半径为 3,直径 AB 上一点 D 使 AB ? 3 AD , E、F 为另一直径的两个端点, ??? ? ???? 则 DE ? DF ? A. ?3 B. ?4 C. ?8 D. ?6
12.下列四个结论中正确的个数是

C

D

(1) " x 2 ? x ? 2 ? 0" 是 " x ? 1" 的充分不必要条件;
(2) 命题: "?x ? R,sin x ? 1" 的否定是 "?x0 ? R,sin x0 ? 1" ;

(3) " 若 x ?

?
4

则 tan x ? 1" 的逆命题为真命题;

(4) 若 f ( x) 是 R 上的奇函数,则 f (log3 2) ? f (log2 3) ? 0
A. 0 B. 1 C. 2 D.3

13. f ( x) ? A cos(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为奇函数,该函数的部分图象如图所示,

?EFG 是边长为 2 的等边三角形,则 f (1) 的值为
A. ?

3 2

B. ?

6 2

C. 3

D. ? 3

14. 在 ? ABC 中, P, Q 分别是 AB, BC 的三等分点,且 AP ?

1 1 AB, BQ ? BC , 若 3 3

??? ? ? ??? ? ? ??? ? AB ? a, AC ? b ,则 PQ ?
A.

1? 1? a? b 3 3

B. ? a ?

1? 3

1? b 3

C.

1? 1? a? b 3 3

D. ? a ? b

1? 3

1? 3

15、函数f ( x)定义域为R, f (?1) ? 2, 对任意x ? R, f ?( x) ? 2, 则f ( x) ? 2x ? 4的解集为
A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 16.若 ?ABC 的面积 S= (b ? c ? a ) ,则 A =
2 2 2

1 4

17. 已知 f ( x ) ? ?

x?0 ?sin πx 5 ,则 f ( ) 的值为 6 ? f (x-1)+1 x >0

2 18、设点P是曲线y ? x 3 ? 3x ? 上的任意一点,点P处切线倾斜角为?,则角?的取值范围是____ 3
19.已知 | a |?| b |?| a ? b |? 2 ,则 | 3a ? 2b | =

?

?

? ?

?

?

.

x+2?-2≤x<0? ? ? 20. 函数 f(x)=? π 2cosx?0≤x≤2? ? ?

的图象与 x 轴所围成的图形面积 S______

三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤) 21.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos? ?? x ? 中? ? 0 ) . (1)求函数 f ( x) 的值域; (2)若函数 f ( x) 的最小正周期为

??

?

?? ? (其 ? ? cos? ? x ? ? , x ? R , 3? 3? ?

? ,则当 x ? ?0, ? ? 时,求 f ( x) 的单调递减区间. ? 2 ? 2? ?

22.(本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x 2 (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4 23.(本题满分 12 分)在△ABC 中 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,

? 3 1? ? ?

m ? (2a ? c, b), n ? (cosB, cosC),且m ? n ? 0.
(1)求角 B 的大小; (2)设 f ( x) ? 2sin x cos x cos(A ? C ) ? 值时的 x 的值.

3 cos 2x , 求f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 取得最大 2

24. (本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? e ? ax ? a (其中 a ? R, e 是自然对数的底数,
x

e ? 2.71828 …).
(I)当 a ? e 时,求函数 f ? x ? 的极值; (II)当 0 ? a ? 1 时,求证 f ? x ? ? 0 ; (III)求证:对任意正整数 n,都有 ? 1 ?

? ?

1 ?? 1 ? ? 1 ? ??1 ? 2 ? ??? ?1 ? n ? ? e . 2 ?? 2 ? ? 2 ?

济南一中2017—2018学年度第一学期期中考试

高三数学试题(理科)答案
二、选择题(本大题共 15 小题,每小题 5 分,共 75 分. ) 1 A 2 D 3 C 4 D 5 A 6 D 7 D 8 D 9 C 10 B 11 C 12 A 13 D 14 C 15 B

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

? 16. 4

1 17. 2

? ? ? ? 2? ? 0, ? ? ? ,? ? ? 2 3 ? ? ? 18. ?

19. 2 7

20. 4

三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤)

?? 21. [解](1) f ( x) ? 3 sin ? x ? cos? x ? 2 sin? ?? x ? ? 6? ?
(2)∵ f ( x) 的最小正周期为

∴ f ( x) 的值域为 [?2,2]

? 2? ? ? ,即 ? ? 4 ,∴ 2 ? 2 ? ? ? ? 13 ∴ f ( x) ? 2 sin( 4 x ? ) ∵ x ? [0, ] ,∴ 4 x ? ? [ , ? ] 6 2 6 6 6 ? ? 3? ] ∵ f ( x) 递减,∴ 4 x ? ? [ , 6 2 2 ? ? 3? ? ? ? ? ? x ? ,∴ f ( x) 单调递减区间为 [ , ] 由 ? 4x ? ? ,得到 2 6 2 12 3 12 3

? 3 ? ? 2 ? 2 2 4 x ? 6 x ? 2 2(2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? ? (Ⅰ) f ?( x) ? . 2x ? 3 2x ? 3 2x ? 3 3 当 ? ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; 2 1 当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ; 2 1 当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 ? 3 ? ? 1 ? 从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , ? 1? , ? ? , ? ∞? 单调增加, ? 2 ? ? 2 ?
22. 解: f ( x ) 的定义域为 ? ? , ? ∞? . 在区间 ? ?1 , ?

? ?

1? ? 单调减少. 2? ? 3 1? ? ? ? 1? ? ? 1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最小值为 f ? ? ? ? ln 2 ? . 4 4 2 4

又 f ? ? ? ? f ? ? ? ln

? 3? ? 4?

?1? ?4?

3 9 7 1 3 1 1? 49 ? ? ? ln ? ? ln ? ? ?1 ? ln ? ? 0 . 2 16 2 16 7 2 2? 6 ?

所以 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值为 f ? ? ? ? ln . 2 ? 4 4? ? 4 ? 16 23. 解: (1)由 m ? n ? 0, (2a ? c) cos B ? b cosC ? 0

? 3 1?

?1?

1

7

? 2a cos B ? c cos B ? b cos c ? 0 由正弦定理,得 2 sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0
即 2 sin A cos B ? sin(C ? B) ? 0 ? sin A(2 cos B ? 1) ? 0 在 ?ABC中, sin A ? 0 ? 2 cos B ? 1 ? 0 ? B ? (2)因为 B ?

2 ? ?,?A?C ? 3 3

2 ?. 3

? f ( x) ?

1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 3

? f ( x)的周期为? ,
令2 x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,得 x ? k? ?

即当 x ? k? ? 24.

5? 时 (k ? Z)时 f ( x) 取最大值 12

5? (k ?Z ) 12


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