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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件:第三章 直线与方程


成才之路· 数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
直线与方程

第三章 直线与方程

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第三章
章末归纳总结

第三章 直线与方程

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知识结构

第三章

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直线与方程

?倾斜角?定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角 ? ? ?范围:[0°,180°? ? ?定义:倾斜角α?α≠90°?的正切值叫做这条直线的斜率,即k=tanα ?斜率?斜率公式:过两点P ?x ,y ?,P ?x ,y ??x ≠x ?的直线的斜率公式:k=y -y x -x ? ? ?两条直线平行的判定:l ∥l ??k =k 的斜率均不存在 ? ?或l ,l ? ?两条直线垂直的判定:l ⊥l ??k k =-1 ? ?或l 斜率不存在,l 的斜率为0 ?
2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

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专题突破

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专题一

直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念, 它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度. (1)倾斜角的范围是[0° ,180° ). (2)倾斜角与斜率的对应关系 ①α≠90° 时,k=tanα; ②α=90° 时,斜率不存在. (3)倾斜角与斜率的单调性问题

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当直线l的倾斜角α从0° 增大到90° 时,直线l的斜率从0增 大到+∞;当直线l的倾斜角α从90° 增大到180° 时,直线l的斜 率从-∞增大到0. (4)斜率公式:经过A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)两点的直 y2-y1 线的斜率公式k= (x ≠x ),应用时注意其适用的条件 x2-x1 1 2 x1≠x2,当x1=x2时,直线的斜率不存在.

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[例1]

已知直线l过点P(-1,2)且与以A(-2,-3)、B(3,0)

为端点的线段相交,求直线l的斜率的取值范围. [分析] 利用数形结合思想,观察直线的变化情况,根

据斜率公式及范围求解,要特别注意当直线与x轴垂直时的情 形.

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[解析]

如图所示,直线PA的斜率

2-?-3? kPA= =5, -1-?-2? 0-2 1 直线PB的斜率kPB= =-2. 3-?-1?

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当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时,它 的斜率变化范围是[5,+∞), 当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时,它的斜率的变 1 化范围是(-∞,-2]. 1 ∴直线l的斜率的取值范围是(-∞,-2]∪[5,+∞).

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规律总结:借助数形结合思想既可以定性地分析倾斜 角与斜率的关系,也可以定量地求解倾斜角与斜率的取值范 围,此外在特殊位置处应利用分类讨论的思想方法.

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专题二 直线方程的五种形式的应用问题 [例2] 已知△ABC中,A(1,3),AB、AC边上中线方程为x

-2y+1=0和y-1=0,求△ABC各边所在的直线方程. [分析] 本题利用中线的特点(即AB的中点D在AB边的中

线上)可解出各顶点的坐标,然后利用两点式可求出各边的方 程.

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[解析] 为中点,

设AB、AC边的中线分别为CD、BE,其中D、E

∵点B在中线y-1=0上, ∴设点B的坐标为(xB,1). ∵点D为AB的中点,又点A的坐标为(1,3), xB+1 ∴点D的坐标为( ,2). 2 ∵点D在中线CD:x-2y+1=0上, xB+1 ∴ 2 -2×2+1=0,∴xB=5.
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∴点B的坐标为(5,1). ∵点C在直线x-2y+1=0上, ∴设点C的坐标为(2t-1,t). t+3 ∴AC的中点E的坐标为(t, ). 2 ∵点E在中线BE:y=1上, t+3 ∴ 2 =1,∴t=-1. ∴点C的坐标为(-3,-1), ∴△ABC各边所在直线的方程为AB:x+2y-7=0; BC:x-4y-1=0,AC:x-y+2=0.
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专题三

两条直线的位置关系

(1)已知直线的斜截式方程:l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+ b2,则l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2; l1⊥l2?k1k2=-1; l1与l2相交?k1≠k2.

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(2)已知直线的一般式方程: l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, 则:l1∥l2?A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1; l1⊥l2?A1A2+B1B2=0; l1与l2相交?A1B2≠A2B1.

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(3)与直线l:Ax+By+C=0平行的直线系方程可设为Ax +By+C1=0;与其垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0.

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[例3]

已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y

+b=0,分别求满足下列条件的a,b的值. (1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与直线l2垂直; (2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相 等. [分析] 对于(1),由题意列出关于a,b的方程组求解;

对于(2),先得出关于a,b的关系,再由原点到l1,l2的距离相 等求解.

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[解析] =0. ①

(1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(-b)=0,即a2-a-b

又点(-3,-1)在l1上,∴-3a+b+4=0. 由①②解得a=2,b=2. (2)∵l1∥l2且l2的斜率为1-a, a a ∴l1的斜率也存在,b=1-a,b= , 1-a 故l1与l2的方程分别为



4?a-1? a l1:(a-1)x+y+ a =0,l2:(a-1)x+y+ =0. 1-a
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∵坐标原点到l1,l2的距离相等, a-1 a 2 ∴4| a |=| |,a=2或a=3. 1-a
?a=2, ? 因此? ?b=-2, ?

? 2 ?a= , 或? 3 ?b=2. ?

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专题四

点、直线间的距离

(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. (2)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d= |Ax0+By0+C| . 2 2 A +B (3)两平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2= |C1-C2| 0(C1≠C2)之间的距离为d= 2 2. A +B

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(4)当直线垂直于坐标轴时画图求解即可,不必用公式. 求点到直线的距离时,要注意把直线方程化成一般式的 形式;求两条平行线间的距离时,先把平行线方程中x,y的 对应项系数转化为相等的形式,再利用距离公式求解,也可 转化成点到直线的距离求解.

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[例4]

已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:-

7 4x+2y+1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是10 5. (1)求a的值; (2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件: ①P是第一象限的点; 1 ②P点到l1的距离是P点到l2的距离的2; ③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 2 ? 5 .若能, 求出P点坐标;若不能,说明理由.
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[解析]

1 (1)l2即2x-y- =0, 2

1 |a-?-2?| 7 5 ∴l1与l2的距离d= 2 2= 10 , 2 +?-1? 1 |a+ | 2 7 5 1 7 ∴ = 10 ,∴|a+2|=2, 5 ∵a>0,∴a=3.

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(2)设点P(x0,y0),若P点满足条件②, 则P点在与l1,l2平行的直线l′:2x-y+C=0上, 1 |C-3| 1 |C+2| 13 11 且 = 2· ,即C= 2 或C= 6 , 5 5 13 11 ∴2x0-y0+ 2 =0,或2x0-y0+ 6 =0; 若P点满足条件③,由点到直线的距离公式,

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|2x0-y0+3| 2 |x0+y0-1| 有 = · , 5 5 2 即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, ∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0; 由于P在第一象限,∴3x0+2=0不可能. 13 联立方程2x0-y0+ 2 =0和x0-2y0+4=0, ?x0=-3 ? 解得? ,应舍去. 1 ?y0=2 ?

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1 ? 11 ? ?x0=9 ?2x0-y0+ =0 6 由? ,解得? ?x0-2y0+4=0 ?y0=37 ? 18 ?

.

1 37 ∴P(9,18)即为同时满足三个条件的点.

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专题五

分类讨论的思想

在解题过程中,遇到某一步被研究的对象包含多种可能 的情形时,把被研究的对象划分成几个能用不同形式去解决 的小问题,从而使问题得到解决,这就是分类讨论的思想. 利用分类讨论的思想解答问题已成为高考中考查学生知 识和能力的热点问题之一,这是因为:其一,分类讨论的问 题都覆盖较多的知识点,有利于对学生知识面的考查;其 二,解分类讨论问题需要有一定的分析能力及分类讨论思想 与技巧,因此有利于对能力的考查;其三,分类讨论问题常 与实际问题相结合.
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[例5]

已知直线l经过点P(3,1),且被两平行直线l1:x+y

+1=0和l2:x+y+6=0截得的线段的长为5,求直线l的方 程. [错解] 设直线l的方程为y=k(x-3)+1,解方程组

? 3k-2 ?x= , ?y=k?x-3?+1, k+1 ? ? ? 得? ?x+y+1=0 4k-1 ? ? ?y=- k+1 . ?

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3k-2 4k-1 ∴直线l与l1交于A( ,- ). k+1 k+1 ? 3k-7 ?x= , ?y=k?x-3?+1, k+1 ? ? 解方程组? 得? ?x+y+6=0 9k-1 ? ? ?y=- k+1 . ? 3k-7 9k-1 ∴直线l与l2交于B( ,- ). k+1 k+1

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由题意,得|AB|=5, 3k-2 3k-7 2 4k-1 9k-1 2 ∴( - ) +(- + ) =52,解得k=0. k+1 k+1 k+1 k+1 ∴所求直线l的方程为y=1.

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[剖析]

直线的点斜式方程是以直线斜率存在为前提的,

当直线斜率不存在时,不能建立和使用直线的点斜式方 程.在错解中,设直线l的方程为y=k(x-3)+1,已经默认了 直线l的斜率存在,从而漏去了直线l斜率不存在的情况,而本 题中过P点且斜率不存在的直线恰好符合题意,所以错解丢掉 了一个解.

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过点P作两条已知平行直线的第一线,被两平行直线截 得的线段长度d恰好是两平行直线之间的距离d(如右图).当 直线绕点P转过一个角度φ(φ为锐角),直线被两平行直线截得 d 的线段长度增大到 cosφ ,由右图可知φ与直线和平行直线中任 d 一条所成的角θ互为余角,所以截线段的长度也可表示为sinθ.

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[正解]

正解1:若直线l的斜率存在,由前面解法,知所

求直线l的方程为y=1. 若直线l的斜率不存在,则直线方程为x=3,此时与l1和l2 的交点分别为A(3,-4)和B(3,-9),截得的线段AB的长|AB| =|-4+9|=5,符合题意. 综上所述,直线l的方程为y=1或x=3.

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|1-6| 正解2:由题意,直线l1,l2之间的距离为d= 2



5 2 2 ,且直线l1∥l2,又直线l被直线l1,l2所截得的线段AB长为 5 2 2 2 5,如右图,设直线l与直线l1的夹角为θ,则sinθ= 5 = 2 , ∴θ=45° .∵直线l1:x+y+1=0的倾斜角为135° , ∴直线l的倾斜角为0° 或90° . 又直线l过点P(3,1), ∴直线l的方程为y=1或x=3.
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[点评]

由上面分析可知,求过一定点,且被两已知平

行直线截得线段长为定长a的直线,当a小于两平行直线之间 的距离d时无解;当a=d时有唯一解;当a>d时有且只有两个 解.此题按以上思路分析,先求出夹角θ后再求直线l的斜率 或倾斜角,从方法上看较为简便,即解法2较为简便.

第三章

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