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数列通项公式的常见求法


数列通项公式的常见求法
求数列的通项公式是数列的一个重要问题,常见的有以下三种类 型. 一:用归纳法求通项公式 就是通过观察数列的前几项的规律归纳出数列的通项公式. 例 1:写出下面数列的一个通项公式. (1) 2

1 1 1 1 , 4 , 6 , 8 ,ggg 2 4 8 16 8 15 24 1, , , ,ggg 5 7 9

r />(2)10,11,10,11,10,11,… (3) -

(4)5,55,555,5555,… (5)5,0,-5,0,5,0,-5,0,… 解(1)这是一个混合数列,可看成 2 + 1 , 4 + 1 , 6 + 1 , 8 + 1 ,
2 4 8 16

故通项公式为a n

= 2n +

1 . 2
n
n

(2)原数列可变形为 10,10+1,10,10+1,10,10+1,…故其一个通项

1 + (- 1) a = 10 + 公式为 2
n

.

n + 2n (3)a = (- 1) 2n + 1 5 (4) 原数列可变形为 (9, 99, 999, 9999,ggg ) , 故其通项公式 9
2 n n

为a n

=

5 (10 - 1). 9
n

(5) 这 是 一 个 周 期 数 列 , 周 期 为 4, 它 的 一 个 通 项 公 式 为

a = 5 sin
n

n p 2
n 项和为 S n ,且 a1

二:由数列的前 n 项和求通项公式 例 2 :数列

{a }的前
n
+

= 1, a
n

n+1

=

n? N

,求a2 , a 3 , a 4 的值及数列的

{a }通项公式。

1 S 3

n



解:由已知得:a 2

1 1 1 S = a = 3 3 3 1 1 4 a = S = (a + a ) = 3 3 9 1 1 16 a = S = (a + a + a ) = 3 3 27 1 又 a = S (n ? 2) 3 1 1 a - a = (S - S ) = a (n ? 2) 3 3 4 1 a = a (n ? 2),又a = 3 3 1骣 4÷ a = ? (n ? 2) ? ÷ 3桫 3 ì 1(n = 1) ? ? ? 则数列的通项公式为a = í 1 骣 4÷ ? ? (n ? 2) ? ÷ ? 桫 ? ? ?3 3 注:由S 求a 时,a = S - S 成立的条件是n ? 2 。若 =a =
1+ 1 1 1 3 2 1 2 4 3 1 2 3 n n- 1 n+1 n n n- 1 n n+1 n 2
n- 2 n
n- 2 n
n

n

n

n

n- 1

a 也适合上式时可统一成一个式子,若a 不适合上式时,可写成
1 1

ì S (n = 1) ? ? 分段的形式a = í ? S - S (n ? 2) ? ?
1 n n n- 1

三:由数列的递推公式求通项公式 例 3:已知数列

{a }满足:a = 1, a = 3 + a (n ? 2),
n- 1

n

1

n

n- 1

求它的通项公式。 解:由已知得
2 1

a - a
n 1 3

n- 1

= 3
2

n- 1


2

a - a = 3 ,a - a = 3 a - a
n n n- 1



a - a = 3
4 3

3

,。。。, 的

= 3

n- 1


2 3 n- 1



a - a = 3+ 3 + 3 + 鬃 ? 3
1 2 3 n

a = 1+ 3 + 3 + 3 + 鬃 ? 3 1- 3 3 - 1 = = n? 2 1- 3 2 当n = 1 时,也适合上式,所以通项公式为 3 - 1 a = 2
n- 1

n

n

n

n


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