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立体几何专题之


立体几何专题之 三垂线定理
北京大学光华管理学院 何洋

写在前面的话
? 高三同学在对立体几何的基本知识进行了系统 的复习之后,对于比较重要的定理、概念以及 在学习过程中感到难于掌握的问题进行综合性 的专题复习是很必要的。在专题复习中应通过 分类、总结,提高对所学内容的认识和理解。 今天我和大家共同探讨高中立体几何中的三垂 线问题。

写在前面的话
? 学习三垂线定理中,感到困难的是分辨 直线与直线之间的位置关系,加上往往 题目中线条较多,加大了判断难度。另 外,许多同学对定理内容不清楚,导致 做题时思路混乱。我们首先来说明以下 几点,以澄清定理内容:

三垂线定理说明(1)
? 对于平面α的斜线OP,在平面α内 必存在射影OA
P

A O α

a

三垂线定理说明(2)
? 如果平面α内的直线a垂直于斜线 OP的射影OA,那么α必垂直于斜线 OP;反之也成立
P a O α

A

三垂线定理说明(3)
? 满足条件(2)的直线a必垂直于斜 线及射影所确定的平面
P

A O α

a

三垂线定理说明(4)
? 运用三垂线定理及逆定理的规律: 确定平面、找到斜线、找到(做出) 垂线、连成射影、查面内线
P

A O α

a

三垂线定理说明(5)
? 关于三垂线定理及逆定理的图形, 有以下三种情况:①直线a可能过O 点;②直线a可能与OA相交;③直 线a可能与AO或OA的延长线相交
P

A O α

a

举两个例子
? ①直线a可能过O点
如图,已知在直角三角形ABC中,?C=90o,AC=18, BC=32,D是AB的中点,DE ? 平面ABC,DE=12, 求:E到AC、BC的距离
E A

F

D

C

G

B

举两个例子
解:作DF ? AC,DF ? AC ? F,连接EF, 根据三垂线定理可知EF ? AC, ? DF ? 1 BC ? 16,DE ? 12 2

? Rt ?DEF,EF ? DF 2 ? DE 2 ? 20 即E点到AC的距离是20,同理可求得 E到BC的距离是15。
A F E

D

C

G

B

举两个例子
? ③直线a可能与AO或OA的延长线相交
如图,已知在四面体ABCD中,AB ? CD, AC ? BD,求证:AD ? BC
A

D F O B G C E

举两个例子
证明 : 作AO ? 底面BCD,O为垂足,连结BO 并延长交CD于E, 则BO、CO分别为AB、AC在底面BCD上的射影。 ? AB ? CD, BE ? CD ? (三垂线定理的逆定理) 同理可证:CF ? BD ? O为? BCD的垂心,连DO并延长交BC于G, 则DG ? BC 由三垂线定理知,AD ? BC
B F O G C D E A

三垂线定理说明(6)
? 平行于平面α的直线a,如果垂直于 斜线OP在平面α内的射影OA,那么 直线a也垂至于斜线OP,它在解某些 较复杂的问题时可能化难为易
P a

A O α

举一个例子
如图,线段AB平行于平面?,BD、AC为 垂直于AB的两条相等的斜线,且分别在 AB的两侧,若AB ? 5cm,AC ? BD ? 8cm, AB和平面?的距离为7cm,求CD的长
A B

C B1 A1 α O D

举一个例子
分析:①因为AB ? 平面?,又因为AB ? AC , AB ? BD,则应想到AB也垂直于AC、BD 在平面?内的射影A1C、B1 D ②因为AA1 ? BB1 ? 7cm且AA1 ? BB1, 所以A1 B1 ? AB ? 5cm 所以A1O ? 2.5cm ④因为A1C ? AC 2 ? AA12 ? 15cm 所以CD ? 2CO ? 2 A1C 2 ? A1O 2 ? 2 85cm
C B1 A1 α O D A B

③因为直角? A1CO ? 直角? B1 DO (锐角、直角边),

三垂线定理说明(7)
? 大家往往习惯于在水平放置地平面上运 用三垂线定理,而在竖直或倾斜放置的 平面上需用三垂线定理解题时,即使是 很明显的问题,有时也会感到力不从心。 应明确的是,三垂线定理及其逆定理的 适用与平面所在的位置无关。可做一些 练习加深这种印象。

举一个例子
如图,已知正方体ABCD ? A1 B1C1 D1, 求证:AC1 ? 平面A1 BD
D1 A1 B1 C1

D C A B

举一个例子
证明:如图,连结AD1,对于平面AA1 D1D,AC1是斜线,AD1是它的射影, A1 D是面内直线, ? A1 D ? AD1 ? AC1 ? A1D (三垂线定理)同理AC1 ? BD ? AC1 ? 平面A1BD
D1 A1 B1 C1

D C A B

三垂线定理说明(8)
? 应用这两个定理时,首先要明确是针对 哪个平面应用定理,尤其是应注意此平 面非水平面放置的情况,然后再明确斜 线、垂线、斜线的射影及面内直线的位 置,有时需要添加其中某些线,这样可 以确保正确应用定理

三垂线定理应用归类
? 判定空间中两条直线相互垂直 ? 求平面外一点到平面内一条定直线 的距离 ? 求二面角的平面角

一些例子
? 判定空间中两条直线相互垂直
已知:正方体中截去以P为定点的一角得截面ABC 求证:所截得的? ABC是锐角三角形
P C A

B

一些例子
? 判定空间中两条直线相互垂直
证明:过P作PD ? AB于D, ABP是Rt ?, PD的垂足D在AB内, ?? ? 连结CD,由三垂线定理可知,CD ? AB, ? CD为? ABC中AB边上的高线且满足垂足在AB内, 同理可证? ABC中BC边、AC边上的高线的垂足也在BC、AC内 ?? ABC的垂心在? ABC内,故? ABC为锐角三角形
P A D B C

一些例子
? 判定空间中两条直线相互垂直
证明:由余弦定理, b2 ? c2 ? a 2 cos ?CAB ? 2bc ( x2 ? z 2 ) ? ( x2 ? y 2 ) ? ( y 2 ? z 2 ) ? 2 x2 ? z 2 x2 ? y 2 ? 2x2 2 x ?z
2 2

P C A

B

x ?y
2

2

?0

??CAB为锐角,同理?ABC,?ACB也是锐角, ?? ACB为锐角三角形

一些例子
? 求平面外一点到平面内一条定直线 的距离
已知:正? ABC的边长为a,D、E分别为AB、 的中点, AC 将? ABC沿线段DE折成90o的二面角,此时A点变到A'点的位置 求:A'点到BC的距离
C E A F D B G

一些例子
? 求平面外一点到平面内一条定直线 的距离
解:过A作A' F ? DE,A' F ? DE ? F, 平面A' DE ? 平面ABC, ? ? A' F ? 平面ABC, A' DE是正三角形,又 ? A' F ? DE, ? ? F 为DE的中点,连结AF,并使其延长线交BC于G, 则AG ? BC,连结A'G则A'G ? BC ? AG ? 3 6 a ? A 'G ? a 4 4 6 即A'点到BC的距离是 a 4 ? A' F ? FG ? 3 a, 2
A F D B G C E

一些例子
? 求平面外一点到平面内一条定直线的距离 ? 说明:这种求平面外一定点到平面内一条定直 线的距离的问题,一般方法是过定点做平面的 垂线,再过垂足作定直线的垂线,找到这条垂 线与定直线的交点,则定点和交点的距离就是 所求的距离。这种运用三垂线定理的练习十分 多,比如上题可以转换成其他角度即为多个练 习,同学们可以自己尝试一下。

一些例子
? 求二面角的平面角
已知:如图,ABCD ? A1 B1C1 D1是正四棱柱,侧棱长为1, 底面边长为2,E是侧棱BC的中点 求:面C1 DE与面CDE所成二面角的正切值
D1 C1

A1 D

B1 C F E B

A

一些例子
? 求二面角的平面角 ? 说明:运用三垂线定理及其逆定理是找 出二面角的平面角的常用手段,应当熟 练掌握,其过程是在二面角的一个面上 找一点P,过P分别作棱和另一个面的垂 线,设其垂足分别是E、F,连结EF,则 角PEF即是所要找的二面角的平面角

写在最后的话
? 三垂线定理是立体几何的重点定理, 建议对其掌握不好的同学,一方面 扎实基础,牢牢掌握三垂线定理的 各种情况,另一方面所作相关练习, 重点突破 ? 祝大家学习成功,高考顺利!

谢谢大家!


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