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2015年高中数学学业水平考试专题训练13 圆锥曲线Ⅱ


2015 年高中数学学业水平考试专题训练 13 圆锥曲线Ⅱ
基础过关 1. 抛物线 x2=4ay 的准线方程为( A. x=-a C. y=-a 2. 方程 x2+2y2=4 所表示的曲线是( A. 焦点在 x 轴的椭圆 C. 抛物线 ) B. 焦点在 y 轴的椭圆 D. 圆 ) ) B. x=a D. y=a

x2 y2 x2 y2 3. 椭圆 C1:25+ 9 =1 和椭圆 C2: + =1(0<k<9)有( 9-k 25-k A. 等长的长轴 C. 相等的离心率 B. 相等的焦距 D. 等长的短轴

1 4. 已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为3,长轴长为 12,则椭圆方程为 ( ) x2 y2 A. 4 + 6 =1 x2 y2 x2 y2 C. 36+32=1 或32+36=1 x2 y2 B. 6 + 4 =1 x2 y2 D. 36+32=1

5. 如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围 是( ) A. (1,+∞) B. (1,2) 1 C. (2,1) D. (0,1) )

6. 已知抛物线的准线方程为 x=-7,则抛物线的标准方程为( A. x2=-28y C. y2=-28x B. y2=28x D. x2=28y

x2 7. 焦点为(0, ±6)且与双曲线 2 -y2=1 有相同渐近线的双曲线方程是( x2 y2 A. 12-24=1 y2 x2 B. 12-24=1

)

y2 x2 C. 24-12=1

x2 y2 D. 24-12=1

5 8. 中心在坐标原点,离心率为3的双曲线的焦点在 y 轴上,则它的渐近线方 程为( ) 4 B. y=± 5x 3 D. y=± 4x

5 A. y=± 4x 4 C. y=± 3x

9. 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如 果 x1+x2=6,那么|AB|等于( A. 8 B. 10 ) C. 6 D. 4

10. 设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4, 则点 P 到该抛物线焦点的 距离是( A. 4 ) B. 6 C. 8 D. 12

11. 若椭圆的短轴为 AB,它的一个焦点为 F1,则满足△ABF1 为等边三角形 的椭圆的离心率是( A. 1 4 B. 1 2 ) C. 2 2 D. 3 2

12. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离 心率是( 4 A. 5 ) 3 B. 5 2 C. 5 1 D. 5

13. 动圆的圆心在抛物线 y2=8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则动圆 必过点( ) B. (2,0) C. (0,2) D. (0,-2)

A. (4,0)

x2 y2 14. 设 P 是椭圆25+16=1 上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1| +|PF2|等于( A. 4 ) B. 5 C. 8 D. 10

15. 椭圆 x2+my2=1 的焦点在轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为 ( ) 1 A. 4 B. 1 2 C. 2 D. 4

x2 y2 1 16. 已知双曲线 4 -b2=1(b>0)的渐近线方程为 y=±2x, 则 b 等于________. 3 17. 若中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0),离心率为 2 , 则椭圆的标准方程为____________________________. x2 2 18. 设 F1 和 F2 是双曲线 4 -y =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足 ∠F1PF2=90°,则△F1PF2 的面积为________. 19. 已知点 A(-2,0),B(2,0),过点 A 作直线 l 交以 A,B 为焦点的椭圆 4 于 M, N 两点, 线段 MN 的中点到 y 轴的距离为5, 且直线 l 与圆 x2+y2=1 相切, 求该椭圆的方程.

20. 已知抛物线 y2=6x,过点 P(4,1)引一条弦 P1P2 使它恰好被点 P 平分, 求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.

冲刺 A 级 x2 y2 21. 已知 F1,F2 是双曲线a2-b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为双曲线左支

|PF2|2 上一点.若 |PF | 的最小值为 8a,则该双曲线的离心率的取值范围是( 1 A. (1,3) B. (1,2) C. (1,3]

)

D. (1,2]

22. 已知△ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0), △ABC 的内切圆圆心在直线 x =3 上,则顶点 C 的轨迹方程是( x2 y2 A. 9 -16=1 x2 y2 C. 9 -16=1(x>3) ) x2 y2 B. 16- 9 =1 x2 y2 D. 16- 9 =1(x>4)

x2 y2 23. 过双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆 x2+y2=a2 的两条切 线,切点分别为 A,B.若∠AOB=120°(O 是坐标原点),则双曲线 C 的离心率为 ________. 3π 24. 过抛物线 y2=4x 的焦点,作倾斜角为 4 的直线交抛物线于 P,Q 两点, O 为坐标原点,则△POQ 的面积等于________. x2 y2 1 25. 已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为 F1(1,0),离心率为2. (1)求椭圆 C 的方程及左顶点 P 的坐标; (2)设过点 F1 的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,若△PAB 的面积为错误!,求直 线 AB 的方程.

专题训练 13 圆锥曲线Ⅱ 1. C 2. A [提示:根据椭圆的定义得到焦点在 x 轴上.] 3. B [提示: 依题意知椭圆 C2 的焦点在 y 轴上,对于椭圆 C1:焦距= 2 25-9=8,对于椭圆 C2:焦距=2 (25-k)-(9-k)=8,故答案为 B.] 1 4. C [提示: ∵长轴长 2a=12, ∴a=6.又∵e=3∴c=2, ∴b2=a2-c2=32, x2 y2 x2 y2 ∵焦点不定,∴椭圆方程为36+32=1 或32+36=1.] x2 y2 2 2 2 5. D [提示:把方程 x +ky =2 化为标准形式 2 + 2 =1,依题意有 k>2,∴ k 0<k<1.] p 6. B [提示:由条件可知2=7,∴p=14,抛物线开口向右,故抛物线方程 为 y2=28x.] x2 x2 7. B [提示:与双曲线 2 -y2=1 有共同渐近线的双曲线方程可设为 2 -y2

y2 x2 - =1.∵双曲线方 -λ -2λ y2 x2 程的焦点为(0,±6),∴-λ-2λ=36.∴λ=-12.∴双曲线方程为12-24=1.] 2 2 c 5 c2 a +b 25 b2 16 b 4 a 3 8. D [提示: ∵a=3,∴a2= a2 = 9 ,∴a2= 9 ,∴a=3,∴b=4.又 a ∵双曲线的焦点在 y 轴上,∴双曲线的渐近线方程为 y=± bx,∴所求双曲线的 3 渐近线方程为 y=± 4x.] 9. A [提示:由题意,得|AB|=x1+1+x2+1=(x1+x2)+2=6+2=8.] 10. B [提示:由抛物线的定义可知,点 P 到抛物线焦点的距离是 4+2=6.] c 11. D [提示:△ABF1 为等边三角形,∴2b=a,∴c2=a2-b2=3b2,∴e=a c2 3b2 3 = a2= 4b2= 2 .] 12. B [提示:本题考查了离心率的求法,这种题目主要是设法把条件转化 为含 a,b,c 的方程式,消去 b 得到关于 e 的方程,由题意得:4b=2(a+c)?4b2 3 =(a+c)2 ? 3a2 - 2ac- 5c2 = 0 ? 5e2 + 2e- 3 = 0(两边都除以 a2)? e =5 或 e=- 1(舍),故选 B.] 13. B [提示:直线 x+2=0 是抛物线的准线,又因为动圆的圆心在抛物线 上,由抛物线的定义知,动圆必过抛物线的焦点(2,0).] 14. D [提示:由题可知 a=5,P 为椭圆上一点,∴|PF1|+|PF2|=2a=10.] x2 y2 15. A [提示:椭圆方程可化为 1 + 1 =1,由焦点在 y 轴上可得长半轴长为 m 1 1 1 ,短半轴长为 1 ,所以 = 2 ,解得 m = m m 4.] b 1 16. 1 [提示:由题意知2=2,解得 b=1.] x2 y2 x2 y2 3 17. 16+64=1 或16+ 4 =1 [提示:若焦点在 x 轴上,则 a=4,由 e= 2 , x2 y2 可得 c=2 3, ∴b2=a2-c2=16-12=4, 椭圆方程为16+ 4 =1.若焦点在 y 轴上, 3 c 3 3 1 则 b=4,由 e= 2 ,可得a= 2 ,∴c2=4a2.又 a2-c2=b2,∴4a2=16,a2=64.∴ x2 y2 椭圆方程为16+64=1.] 18. 1 [ 提 示: 由题设 知 |PF1| - |PF2| = 4① , |PF1|2 + |PF2|2 = 20② , 得 1 |PF1|?|PF2|=2.∴△F1PF2 的面积 S=2|PF1|?|PF2|=1.] 19. 解:易知直线 l 与 x 轴不垂直,设直线 l 的方程为 y=k(x+2)①,椭圆方 x2 y2 |2k| 程为a2+ 2 =1(a2>4)②.因为直线 l 与圆 x2+y2=1 相切, 故 2 =1,解得 a -4 k +1 =λ(λ≠0). 又∵双曲线的焦点在 y 轴上, ∴方程可写为

1 1 k2=3.将①代入②整理, 得(a2k2+a2-4)x2+4a2k2x+4a2k2-a4+4a2=0, 而 k2=3, 3 a2 即(a2-3)x2+a2x-4a4+4a2=0.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=- 2 ,由 a -3 2 a 4 x2 题意有 2 =2?5(a2>3),求得 a2=8.经检验,此时Δ >0.故所求的椭圆方程为 8 a -3 y2 + 4 =1. 20. 解: 设直线上任意一点坐标为(x, y), 弦两端点 P1(x1, y1), P2(x2, y2). ∵P1, 2 2 P2 在抛物线上,∴y1 =6x1,y2 =6x2.两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2).∵y1 y1-y2 6 +y2=2,∴k= = =3.∴直线的方程为 y-1=3(x-4),即 3x-y-11 x1-x2 y1+y2 2 ?y =6x, = 0. 由 ? 得 y2 - 2y - 22 = 0 ,∴ y1 + y2 = 2 , y1 ? y2 =- 22.∴|P1P2| = ?y=3x-11, 1 2 230 1+9? 22-4?(-22)= 3 . 冲刺 A 级 2 |PF2|2 (|PF1|+2a) 4a2 4a2 21. C [提示: = = | PF | + + 4 a ≥ 8 a , 当 | PF | = 1 1 |PF1| |PF1| |PF1| |PF1|, 即|PF1|=2a 时取等号.又∵|PF1|≥c-a,∴2a≥c-a.∴c≤3a,即 e≤3.∴双曲 线的离心率的取值范围是(1,3].]

22. C [提示: 如图,|AD|= |AE|=8,|BF|=|BE|=2, |CD| =|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线定义,所求轨迹是: x2 y2 以 A,B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支,方程为 9 -16=1 (x>3).]

(第 22 题)

[提示:如图,设双曲线一个焦点为 F,则△AOF 中,|OA|=a, c |OF|=c,∠FOA=60°.∴c=2a,∴e=a=2.]
(第 23 题)

23. 2

?y=-(x-1), [提示:设 P(x1, y1), Q(x2, y2), F 为抛物线焦点, 由? 2 ?y =4x, 2 2 得 y +4y-4=0,∴|y1-y2|= (y1+y2) -4y1y2= (-4)2+4?4=4 2.∴S 1 △POQ= |OF||y1-y2 |=2 2.] 2 24. 2 2

x2 y2 C 的标准方程为 4 + 3 =1,左顶点 P 的坐标是(-2,0). (2)根据题意可设直线 AB 的方程为 x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),可得(3m2+4)y2+6my-9=0.所以 6m 9 Δ=36m2+36(3m2+4)>0,y1+y2=- 2 ,y1y2=- 2 .所以△PAB 的面积 3m +4 3m +4 2 6m ?2 1 1 3 36 ? ?-3m2+4? + 2 S = 2 |PF1| |y2-y1| = 2 ? 3? (y2+y1) -4y2y1 = 2 = 3m +4 ? ? 18 m2+1 m2+1 2 36 1 .因为△PAB 的面积为13, 所以 2 =13.令 t= m2+1, 解得 t1=6(舍 2 3m +4 3m +4 去),t2=2.所以 m=± 3.所以直线 AB 的方程为 x+ 3y-1=0 或 x- 3y-1= 0.

c 1 25. 解:(1)由题意可知 c=1,a=2,所以 a=2.所以 b2=a2-c2=3.所以椭圆


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