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高考复习方案】全套专题限时集训打包-2015年高三数学(理科)二轮复习-浙江省专用


专题限时集训(一)A
[第 1 讲 集合与常用逻辑用语] (时间:5 分钟+30 分钟)

基础演练
1.设 U={1,2,3,4,5},A={1,5},B={2,4},则 B∩(?UA)=( ) A.{2,3,4} B.{2} C.{2,4} D.{1,3,4,5} 2.命题“对任意 x∈R,都有 x3>x2”的否定是( ) 3 A.存在

x0∈R,使得 x0 >x2 0 2 B.不存在 x0∈R,使得 x3 0>x0 3 2 C.存在 x0∈R,使得 x0≤x0 D.对任意 x∈R,都有 x3≤x2 3.若 p:(x-3)(x-4)=0,q:x-3=0,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知集合 M={x|-2≤x<2},N={x|y=log2(x-1)},则 M∩N=( ) A.{x|-2≤x<0} B.{x|-1<x<0} C.{x|1<x<2} D.{-2,0} 5.已知命题 p:在△ABC 中,“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件;命题 q:“a>b” 是“ac2>bc2”的充分不必要条件,则下列选项中正确的是( ) A.p 真 q 假 B.p 假 q 真 C.p∨q 为假 D.p∧q 为真

提升训练
6.已知全集 I={1,2,3,4,5,6},集合 M={3,4,5},N={1,2,3,4},则图 11 中阴影部分表示的集合为( )

图 11 A.{1,2} B.{1,2,6} C.{1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,6} 1 ? ? x- =0,x∈R?, 7. 已知集合 A=?x? 则满足 A∪B={-1, 0, 1}的集合 B 的个数是( x ? ? ? A.2 B.3 C.4 D.9 8.命题“若 a,b,c 成等比数列,则 b2=ac”的逆否命题是( ) 2 A.若 a,b,c 成等比数列,则 b ≠ac B.若 a,b,c 不成等比数列,则 b2≠ac C.若 b2=ac,则 a,b,c 成等比数列 D.若 b2≠ac,则 a,b,c 不成等比数列 9.已知集合 M={x|x2-3x=0},集合 N={x|x=2n-1,n∈Z},则 M∩N=( ) A.{3} B.{0} )

C.{0,3} D.{-3} 10.设集合 A={y|y=sin x,x∈R},集合 B={ x |y=lg x },则(?RA)∩B=( ) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.[-1,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 11. 已知 a, b∈(0, 1), 则“a+b=1”是“不等式 ax2+by2≥(ax+by)2 对任意的 x, y∈R 恒成立”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.下列命题中为真的是( ) A.?x0∈R,ex0≤0 B.?x∈R,2x>x2 C.若 ab>1,则 a,b 至少有一个大于 1 2 D.sin2x+ 2 ≥3(x≠kπ ,k∈Z) sin x 13. 已知命题 p: x∈A, 且 A={x|a-1<x<a+1}; 命题 q: x∈B, 且 B={x|x2-4x+3≥0}. (1)若 A∩B=?,A∪B=R,则实数 a=________; (2)若 p 是 q 的充分条件,则实数 a 的取值范围是______. 14.已知命题 p:方程 2x2+ax-a2=0 在区间[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等式 x2 0+2ax0+2a≤0.若命题“p∨q”是假命题,则实数 a 的取值范围是________.

专题限时集训(一)B
[第 1 讲 集合与常用逻辑用语] (时间:5 分钟+30 分钟)

基础演练
1.已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=( ) A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} 2.已知命题 p:x≥a,命题 q:|x-1|<1.若 p 是 q 的必要非充分条件,则实数 a 的取值 范围是( ) A.a≥0 B.a≤0 C.a≥2 D.a≤2 3.已知集合 A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},则 B 中所含元素的个 数为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 1 ? ? 4. 已知集合 A=?xx <1,x∈R?, 集合 B 是函数 y=lg(x+1)的定义域, 则 A∩B=________. ? ?

提升训练
5. “3a>3b”是“log3a>log3b”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

6.已知集合 A={x||x-2|≤1},B=? x?
? ?

? ?

? ?x-3 ≥0? ?,则( x - 1 ? ? ?

)

A.A=B B.A∪B=R C.A?B D.A∩B=? 7.已知集合 A={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈R},B={(x,y)|y=x2+1,x,y∈R},则集 合 A∩B 的元素个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 x 8.已知集合 A={x|y=2 },B={y|y=2x},则 A∩B=( ) A.[0,+∞) B.(0,+∞) C.R D.? 9. “a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 π 10.设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小正周期为 ;命题 q:函数 y=cos x 的图像关于直 2

π 线 x= 对称,则下列判断正确的是( ) 2 A.p 为真 B. q 为假 C.p∧q 为假 D.p∨q 为真 1 ? ? 11.设集合 A=?x-2<x<2?,B={x|-1≤x≤1},则 A∩B=________. ? ? 12.已知集合 A={x|-1<x<0},B={x|x≤a},若 A?B,则 a 的取值范围是________. 13.已知下列说法: ①命题“若 x2-3x-4=0,则 x=4”的逆否命题为“若 x≠4,则 x2-3x-4≠0”; ②“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件; ③命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆命题为真命题; ④任意 a∈R,直线 ax+y-a=0 恒过定点(1,0). 其中,说法错误的是________. 14.对于集合 M,N,定义 M-N={x|x∈M 且 x?N},M⊕N=(M-N)∪(N-M).设 A= {y|y=3x,x∈R},B={y|y=-(x-1)2+2,x∈R},则 A⊕B=________.

专题限时集训(二)A
[第 2 讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质] (时间:5 分钟+30 分钟)

基础演练
1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A.y=x+1 B.y=-x2 1 C.y= D.y=x|x| x 2.已知 a=21.2,b=0.50.8,c=log23 则( ) A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b 3.已知函数 y=f(2x)+x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(-2)=( A.2 B.3 C.4 D.5 ln(x+1) 4.函数 y=- 的定义域为________. -x2-3x+4 ?2x,x>0, ? 4 - ?=________. 5.已知 f(x)=? 则 f? 3? ? ?f(x+1),x≤0, ?

)

提升训练
6.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4)=2- 3,且对任意的 x 都有 f(x+2)= 则 f(2014)=( ) A.-2- 3 B.-2+ 3 C.2- 3 D.2+ 3 7.若函数 f(x)(x∈R)是奇函数,函数 g(x)(x∈R)是偶函数,则( A.函数 f(x)· g(x)是偶函数 B.函数 f(x)· g(x)是奇函数 C.函数 f(x)+g(x)是偶函数 D.函数 f(x)+g(x)是奇函数 1 , -f(x)

)

1? 8. 若当 x∈R 时, 函数 f(x)=a|x|始终满足 0<|f(x)|≤1, 则函数 y=loga? ?x?的图像大致为(

)

C D 图 21 9.定义区间[x1,x2]的长度为 x2-x1.若函数 y=|log2x|的定义域为[a,b],值域为[0,2], 则区间[a,b]的长度的最大值为( ) 15 15 A. B. 2 4 3 C.3 D. 4 ?x-1?在区间(1,+∞)上单调递减,则 f(x)( 10.设 a>0,且 a≠1,函数 f(x)=loga? ) ? ?x+1? A.在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,1)上单调递增 B.在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,1)上单调递减 C.在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,1)上单调递增 D.在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,1)上单调递减 11.设函数 f(x)=x2sin x,则函数 f(x)的图像可能为( )

A

B

A

B

C

D

图 22 12.已知函数 y=f(x),若对于任意的正数 a,函数 g(x)=f(x+a)-f(x)都是其定义域上的 增函数,则函数 y=f(x)可能是( ) A.y=2x B.y=log3(x+3) C.y=x3 D.y=-x2+4x-6 -x x 13.函数 f(x)=2 +2 的图像关于______对称. 14.已知 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(m) <f(1) 的实数 m 的取值范围是________. 15. 设函数 f(x)的定义域为 D, 若存在非零实数 l, 使得对于任意 x∈M(M?D), 有 x+l∈D, 且 f(x+l)≥f(x),则称 f(x)为 M 上的 l 高调函数.如果函数 f(x)=(x-1)2 为区间[0,+∞)上的 m 高调函数,那么实数 m 的取值范围是________. a2 16. 设 a 为实常数, y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x<0 时, f(x)=9x+ +7.若 f(x)≥a x +1 对一切 x≥0 成立,则 a 的取值范围为________.

专题限时集训(二)B
[第 2 讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
1.设函数 f(x)=x2-ax+a.已知命题 p:方程 f(x)=0 有实数根;q:函数 f(x)在区间[1, 2]上是增函数.若 p 和 q 有且只有一个为真,求实数 a 的取值范围.

2.已知函数 f(x)=lg(2+x)+lg(2-x). (1)求函数 y=f(x)的定义域; (2)判断函数 y=f(x)的奇偶性; (3)若 f(m-2)<f(m),求 m 的取值范围.

x2+b 3.已知函数 f(x)= (b 为常数). x (1)当 f(1)=f(4),函数 F(x)=f(x)-k 有且仅有一个零点 x0,且 x0>0 时,求 k 的值; (2)若函数 y=f(x)在区间(1,4)上为单调函数,求 b 的取值范围.

提升训练
4.已知函数 f(x)=ax-(k-1)a x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 的值; 3 - (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a 2x-2m· f(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求 m 的值. 2


5.已知函数 f(x)=-x2+2|x-a|. (1)若函数 y=f(x)为偶函数,求 a 的值; 1 (2)若 a= ,求函数 y=f(x)的单调递增区间; 2 (3)当 a>0 时,若对任意的 x∈[0,+∞),不等式 f(x-1)≥2f(x)恒成立,求实数 a 的取值 范围.

专题限时集训(三)
[第 3 讲 函数与方程、函数模型及其应用] (时间:5 分钟+30 分钟)

基础演练
1.设 f(x)=ln x+x-2,则函数 f(x)的零点所在的区间为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2. “m<0”是“函数 f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 π 1 3.函数 f(x)=tan x- 在区间?0, ?内零点的个数是( ) x 2? ? A.0 B.1 C.2 D.3 4. 已知函数 f(x)与 g(x)的图像在 R 上连续, 由下表知方程 f(x)=g(x)的实数解所在的区间 是( ) 0 1 2 3 -1 3.011 5.432 5.980 7.651 -0.677 3.451 4.890 5.241 6.892 -0.530 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 5. 若函数 f(x)=ax+b 的零点为 x=2, 则函数 g(x)=bx2-ax 的零点是 x=0 和 x=________. x f(x) g(x)

提升训练
?0,x≤0, ? 6.已知函数 f(x)=? x 则使函数 g(x)=f(x)+x-m 有零点的实数 m 的取值范围是 ?e ,x>0, ? ( ) A.[0,1) B.(-∞,1) C.(-∞,0]∪(1,+∞) D.(-∞,1]∪(2,+∞) 1 7.已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且当 x≤0 时,f(x)=2x- x+a,则函数 f(x)的 2 零点的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 1 ? 8.已知函数 f(x)=4-ax,g(x)=4-logbx,h(x)=4-xc 的图像都经过点 P? ?2,2?,若函数 f(x),g(x),h(x)的零点分别为 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3=( ) 7 6 5 3 A. B. C. D. 6 5 4 2 9.若直角坐标平面内的两个不同的点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数 y=f(x)的图像 上;②P,Q 关于原点对称.则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对[P, 1?x ? ?? ,x>0, Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”).已知函数 f(x)=??2? 则此函数的“友好

? ?-x2-4x,x≤0,

点对”有( ) A.0 对

B.1 对

D.3 对 1 ? ? 1? 10.若关于 x 的方程? ?x+x?-?x-x?-kx-1=0 有五个互不相等的实根,则 k 的取值范 围是( ) 1 1? A.? ?-4,4? 1? ?1 ? B.? ?-∞,-4?∪?4,+∞? 1 1 -∞,- ?∪? ,+∞? C.? 8? ?8 ? ? 1 1 ? ? ? D.? ?-8,0?∪?0,8? 11.对于任意实数 x,[x]表示不超过 x 的最大整数,如[1.1]=1,[-2.1]=-3.已知定义 在 R 上的函数 f(x)=[2x]+[4x]+[8x],若 A={y|y=f(x), 0≤x≤1},则 A 中所有元素的 和为( ) A.65 B.63 C.58 D.55 1 12.已知函数 f(x)= -m|x|有三个零点,则实数 m 的取值范围为________. x+2 13.已知定义在 R 上的函数 f(x)为增函数,且对任意 x∈(0,+∞),有 f[f(x)-log2x]=1 恒成立,则函数 f(x)的零点为________. ?1,x>0, 14.已知函数 g(x)=?0,x=0, 若函数 f(x)=2x· g(ln x)+1-x2,则函数 f(x)的零点个数

C.2 对

?

? ?-1,x<0,

为________. 15.若实数 t 满足 f(t)=-t,则称 t 是函数 f(t)的一个次不动点.设函数 f(x)=ln x 与函数 g(x)=ex 的所有次不动点之和为 m,则 m=________. 16.定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2-x1.已知函数 y=|log0.5x|的定义域为[a,b],值 域为[0,2],则区间[a,b]的长度的最小值为________.

专题限时集训(四)A
[第 4 讲 不等式与线性规划] (时间:5 分钟+30 分钟)

基础演练
1.已知集合 A={x|0<x<2},B={x|(x-1)(x+1)>0},则 A∩B= ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(-∞,-1)∪(0,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) ? ?x-1 ? <0?,N={x|x2-x<0},则集合 M,N 的关系用 2.已知全集 U=R,集合 M=?x? x + 1 ? ? ? 图示法可以表示为( )

图 41 ?x+y≥1, 3.设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥0, 3 A. 2 B .1

?

? ?2x-y-2≤0,

则目标函数 z=x-2y 的最大值为(

)

1 C.- D.-2 2 4.若 a<b<0,则下列不等式不成立的是( 1 1 1 1 A. > B. > a b a-b a C.|a|>|b| D.a2>b2 x+y 5.若 x>0,y>0,则 的最小值为( x+ y A. 2 B .1 2 1 C. D. 2 2

)

)

提升训练
6.已知集合 A={x|x2-2x-3<0},集合 B={x|2x 1>1},则?BA=(


)

A.(3,+∞) B.[3,+∞) C.(-∞,-1]∪[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞) 7.已知集合 A={x|x2-6x+5≤0},B={y|y=2x+2},则 A∩B=( ) A.? B.[1,2) C.[1,5] D.(2,5] 1 1 8. 已知向量 a=(m, 1-n), b=(1, 2), 其中 m>0, n>0.若 a∥b, 则 + 的最小值是( m n

)

A.2 2 B.3+2 2 C.4 2 D.3+ 2 9.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a2+b2=3c2,则 cos C 的最 小值为( ) 1 1 A. B. 2 4 3 2 C. D. 2 3 ?x≥0, 10.已知?x-3y≤0,

?

? ?2x+3y-9≤0,

则 z=x-y 的最大值是________.

y≥0, ? ? 11.设 x,y 满足约束条件?y≤x, 若目标函数 z=3x+y 的最大值为 6,则 a= ? ?x+2y-a≤0, ________. 12.已知 x,y 均为正实数,且 xy=x+y+3,则 xy 的最小值为________. 13.已知正实数 a,b 满足 2ab=a+b+12,则 ab 的最小值是________. 14.已知函数 f(x)=x(x-a)(x-b)的导函数为 f′(x),且 f′(0)=4,则 a2+2b2 的最小值为 ________. 2x-y+2≥0,

? ?8x-y-4≤0, 15.设 x,y 满足约束条件? 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值 x≥0, ? ?y≥0,

为 8,则 ab 的最大值为________.

专题限时集训(四)B
[第 4 讲 不等式与线性规划] (时间:5 分钟+30 分钟)

基础演练
y≤x, ? ? 1.已知 x,y 满足不等式组?x+y≥2,则 z=2x+y 的最大值与最小值的比值为( ? ?x≤2, 1 A. 2 3 C. 2 B.2 4 D. 3 1 1 2.若正实数 x,y 满足 x+y+ + =5,则 x+y 的最大值是( ) x y A.2 B.3 C.4 D.5 x+y≤7, ? ? y 3.设变量 x,y 满足约束条件?x-y≤-2,则目标函数 z= 的最大值为( ) x ? ?x-1≥0, 9 A. B.3 5 C.6 D.9 4.若存在实数 x 使|x-a|+|x-1|≤3 成立,则实数 a 的取值范围是________. )

提升训练
x-y≥0, ? ?2x+y≤2, 5.若不等式组? 所表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( y≥0, ? ?x+y≤a 4 A.a≥ 3 B.0<a≤1 4 C.1≤a≤ 3 4 D.0<a≤1 或 a≥ 3 6.已知 a>b>0,则下列不等式中恒成立的是( 1 1 A.a+ >b+ b a 1 1 B.a+ >b+ a b b b+1 C. > a a+1 1 1 D.b- >a- b a ?x≥1, 7.已知实数 x,y 满足?x+y≤4, c 其中 b≠0,则 的值为( b ) )

)

?

? ?ax+by+c≤0,

且目标函数 z=2x+y 的最大值为 6,最小值为 1,

A.4 C.2

? ?y≥0, 8.已知点 M(x,y)是平面区域? 内的动点,则(x+1) +(y+1) 的最大值是 x-y+1≥0, ? ?2x+y-4≤0
2 2

B.3 D.1 x≥0,

(

) A.10 C. 13 49 B. 5 D.13

→ → ? ?|OP?OM|≤12, 9.已知点 P(3,3),Q(3,-3),O 为坐标原点,动点 M(x,y)满足? 则 → → ? OM|≤12, ?|OQ· 点 M 所构成的平面区域的面积是( ) A.12 B.16 C.32 D.64 10.某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种车辆的载客 量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车比 A 型车至多多 7 辆,则租金最少为( ) A.31 200 元 B.36 000 元 C.36 800 元 D.38 400 元 2 11.不等式(x-2) ≤2x+11 的解集为________. 12. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若-1<a3<1, 0<a6<3, 则 S9 的取值范围是________. 13.已知函数 f(x)=x2-2x,点集 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤2},N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0}, 则 M∩N 所构成的平面区域的面积为________. x2+ax+7+a 14.已知函数 f(x)= ,a∈R.若对任意的 x∈N*,f(x)≥4 恒成立,则 a 的取 x+1 值范围是________. 15.已知不等式 xy≤ax2+2y2 对于 x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则实数 a 的取值范围 是________.

专题限时集训(五)
[第 5 讲 三角函数的图像与性质] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
π 1.函数 y=sin xsin? +x?的最小正周期是( ) ?2 ? π A. B.2π 2 C.π D.4π π π 2.将函数 y=sin?x+ ?(x∈R)的图像上所有的点向左平移 个单位长度,再把所得图 4 ? 6? 像上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍,所得的函数图像的解析式为( ) 5 π A.y=sin?2x+ ?(x∈R) 12 ? ? 5 π x B.y=sin? + ?(x∈R) ?2 12 ? x π C.y=sin? - ?(x∈R) ?2 12? x 5π D.y=sin? + ?(x∈R) ?2 24 ? π 3.为了得到函数 y=cos?2x+ ?的图像,可将函数 y=sin 2x 的图像( ) 3? ? 5π 5π A.向左平移 B.向右平移 6 6 5π 5π C.向左平移 D.向右平移 12 12 4.已知向量 a=(sinθ ,cosθ ),b=(2,-3),且 a∥b,则 tan θ =________. π 3 5.已知 α∈? ,π ?,sin α = ,则 sin 2α =________. 3 ?2 ?

提升训练
6.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ ≤π )的部分图像如图 51 所示,其 中 A,B 两 点之间的距离为 5,则 f(x)的单调递增区间是( )

图 51 A.[6k-1,6k+2](k∈Z) B.[6k-4,6k-1](k∈Z) C.[3k-1,3k+2](k∈Z) D.[3k-4,3k-1](k∈Z) 7.已知 P 是圆(x-1)2+y2=1 上异于坐标原点 O 的任意一点,直线 OP 的倾斜角为 θ. 若|OP|=d,则函数 d=f(θ)的大致图像是( )

A

B

C 图 52

D

π π 8.函数 f(x)=sin(2x+φ)?|φ |< ?的图像向左平移 个单位后关于原点对称,则函数 f(x) 6 2? ? π 在区间?0, ?上的最小值为( ) 2? ? 3 1 1 3 A.- B.- C. D. 2 2 2 2 π 9. 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|< ?的图像如图 53 所示, 为了得到 g(x)=Asin 2? ? ω x 的图像,可以将 f(x)的图像( )

图 53 π A.向右平移 个单位长度 6 π B.向左平移 个单位长度 3 π C.向左平移 个单位长度 6 π D.向右平移 个单位长度 3 π 10.将函数 f(x)= 3sin 2x-cos 2x 的图像向左平移 m 个单位?m>- ?,若所得的图像 2? ? π 关于直线 x= 对称,则 m 的最小值为( ) 6 π π π A.- B.- C.0 D. 6 3 12 11.设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x+2cos x 取得最大值,则 cos θ =________. π π 12.将函数 f(x)=sin?3x+ ?的图像向右平移 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图像, 3 4? ? π 2π 则函数 y=g(x)在区间? , ?上的最小值为 ________ . 3 ? ?3 13.已知 α∈R,sin α +3cos α = 5,则 tan 2α =________. 14.已知函数 f(x)=2 3cos xsin x+2cos2 x. 4π (1)求 f? ?的值; ? 3 ? π (2)当 x∈?0, ?时,求函数 f(x)的值域. 2? ?

15.已知函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x+c(ω>0,c 是常实数)的图像上的一个最高点是 π ? ,1?,与该最高点最近的一个最低点是?2π ,-3?. ?6 ? ? 3 ? (1)求函数 f(x)的解析式及其单调递增区间; 1 → → (2)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且AB?BC=- ac,设角 A 2 的取值范围是区间 M,当 x∈M 时,试求函数 f(x)的值域.

π π 16.设 λ∈R,f(x)=cos x(λsin x-cos x)+cos2? -x?满足 f?- ?=f(0). ?2 ? ? 3? (1)求函数 f(x)的图像的对称轴和单调递减区间; cos A a (2)设△ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 =- ,求 f(x)在 cos B b+2c 区间(0,A]上的值域.

专题限时集训(六)A
[第 6 讲 三角恒等变换与解三角形] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
1.在钝角三角形 ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30°,则△ABC 的面积为( ) 1 3 3 1 A. B. C. D. 4 2 4 2 2.已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,A=45°,B=105°, 则 c= ( ) 6+ 2 3 A. B.1 C. 3 D. 2 2 π 3.函数 f(x)=sin 2x-sin?2x+ ?的最小值为( ) 3? ? A.0 B.-1 C.- 2 D.-2 1 4. 若 cos 2θ = ,则 sin4θ +cos4θ 的值为( ) 3 13 11 5 A. B. C. D.1 18 18 9 5. 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.若 sin2 A+sin2C-sin2B= 3sin Asin C,则 B=________.

提升训练
π 1 6.已知 sin 2α = ,则 cos2 ?α - ?=( 3 4? ? 1 1 A. B.- 3 3 2 2 C. D.- 3 3 )

π 1 → → 7.已知△ABC 的外接圆 O 的半径为 1,且OA?OB=- ,C= .从圆 O 内随机取一点 2 3 3 3 M,若点 M 在△ABC 内的概率恰为 ,则△ABC 为( ) 4π A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 8.已知 A,B,C 是△ABC 的三个内角,其对边分别为 a,b,c.若(sin A+sin B)(sin A- sin B)=sin C( 2sin A-sin C),则 B=( ) π π π 2π A. B. C. D. 4 3 2 3 → → → → =6,则△ABC 的面积的最大值为( 9.在△ABC 中,若AB?AC=7, AB ) -AC

|

|

A.24

B.16

C.12

D.8

3 → → → 10. 已知△ABC 的重心为 G, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.若 aGA+bGB+ cGC 3 =0,则 A 等于( ) π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2 π 4 11.已知 α∈?- ,0?,cos(π -α)=- ,则 tan 2α =______ . 5 ? 2 ?

4 12.在△ABC 中,C=60°,AB= 3,AB 边上的高为 ,则 AC+BC=________. 3 13.已知∠MON=60°,由此角内一点 A 向角的两边引垂线,垂足分别为 B,C,AB =a,AC=b,若 a+b=2,则△ABC 外接圆的直径的最小值是________. B 14.已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2cos2 = 3sin B,b=1. 2 5π (1)若 A= ,求 c; 12 (2)若 a=2c,求△ABC 的面积.

C A 3 15.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 acos2 +ccos2 = b. 2 2 2 (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若 B=60°,b=4,求△ABC 的面积.

时集训(六)B
[第 6 讲 三角恒等变换与解三角形] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
π 1.已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x+m 在区间?0, ?上的最大值为 2. 3? ? (1)求常数 m 的值; (2)在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 f(A)=1, sin B=3sin C, △ABC 9 3 的面积为 ,求边长 a. 4

2.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 的面积的最大值.

π 3.已知函数 f(x)=2sin?x+ ?cos x. ? 3? (1)求 f(x)的值域; (2)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A 为锐角,f(A)= c=3,求 cos(A-B)的值. 3 ,b=2, 2

提升训练
4.已知函数 f(x)= 3 3 sin 2x+cos2x- 2 2 π (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间?0, ?上的最大值; 2? ? 1 (2)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,a=2,f(A)=- ,求△ABC 2 周长的最大值 L.

π π 2π 5.已知函数 f(x)=sin ω x(ω>0)在区间?0, ?上单调递增,在区间? , ?上单调递 3? 3 ? ? ?3 减.如图 61 所示,四边形 OACB 中,a,b,c 分别为△ABC 的内角 A,B,C 的对边,且满 4ω -cos B-cos C sin B+sin C 3 足 = . sin A cos A

图 61 (1)证明:b+c=2a. (2)若 b=c,∠AOB=θ(0<θ<π ),OA=2OB=2,求四边形 OACB 的面积的最大值.

专题限时集训(七)
[第 7 讲 平面向量] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
1.已知|a|=2,|b|=1,a· b=1,则向量 a 在 b 方向上的投影是( ) 1 A.- B.-1 2 1 C. D.1 2 2.若向量 a 与 b 的夹角为 120°,且|a|=1,|b|=2,c=a+b,则有( ) A.c⊥a B.c⊥b C.c∥b D.c∥a → → 3.在△ABC 中,“AB?BC>0”是“△ABC 是钝角三角形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.向量 a=(3,-4),向量|b|=2,若 a· b=-5,则向量 a 与 b 的夹角为( ) π π A. B. 3 6 2π 3π C. D. 3 4 5.已知平面向量 a,b,若|a|=3,|a-b|= 13,a· b=6,则|b|=________,向量 a,b 夹角的大小为________.

提升训练
→ → 6.在△ABC 中,AB=(cos 18°,cos 72°),BC=(2cos 63°,2cos 27°),则△ABC 的 面积为( ) 2 2 A. B. 4 2 3 C. D. 2 2 → → 7.正三角形 ABC 的边长为 3,点 P 在其外接圆上运动,则AP?PB的取值范围是( ) 3 3 ? A.? ?-2,2? 3 1 - , ? B.? ? 2 2? 1 3? C.? ?-2,2? 1 1? D.? ?-2,2? → → 8.在△ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且BC=CD,点 O 在线段 CD 上(与点 C, → → → D 不重合).若AO=xAB+(1-x)AC,则 x 的取值范围是( ) 1 ? A.(0,1) B.? ?0,3? 1 - ,0? C.(-1,0) D.? ? 3 ? → → 9.已知△ABC 的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,P 为 AB 边上任意一点,则CP?(BA- → BC)的最大值为( )

A.8 B.9 C.12 D.15 10.已知向量 a· (a+2b)=0,|a|=|b|=1,且|c-a-2b|=1,则|c|的最大值为( ) A.2 B.4 C. 5+1 D. 3+1 11.已知向量 a,b 的夹角为 120°,|a|=1,|b|=5,则|4a-b|=________. (1+ai)(1-i) 12.已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若 =2-i,则 a+bi=________. b+i → → → → 13. O 是平面上一点, A, B, C 是平面上不共线的三点, 动点 P 满足OP=OA+λ(AB+AC), 1 1 → → → → → 0, ?,已知 λ= 时,|AP|=2,则PA?PB+PA?PC的最小值是________. λ∈? ? 2? 2 14.已知向量 a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),t∈R. (1)求|a+tb|的最小值及相应的 t 值; (2)若 a-tb 与 c 共线,求实数 t.

15.设△ABC 是边长为 1 的正三角形,点 P1,P2,P3 四等分线段 BC(如图 71 所示). → → → → (1)求AB?AP1+AP1?AP2 的值. (2)设动点 P 在 BC 上. → → → (i)请写出一个|BP|的值使PA?PC>0,并说明理由; → → (ii)当PA?PC取得最小值时,求 cos∠PAB 的值.

图 71

16.已知函数 f(x)=m· n,其中 m=(1,sin 2x),n=(cos 2x, 3),在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,且 f(A)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 3,b+c=3,求△ABC 的面积.

专题限时集训(八)
[第 8 讲 等差数列、等比数列] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
1.若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a5=8,S3=6,则 a9=( ) A.8 B.12 C.16 D.24 2.等比数列{an}中,a2=1,a8=64,则 a5=( ) A.8 B.12 C.8 或-8 D.12 或-12 3.已知等差数列{an}中,a3+a4-a5+a6=8,则 S7=( ) A.8 B.21 C.28 D.35 4.已知数列{an}为等差数列,且 a1+a7+a13=π ,则 tan(a2+a12)的值为 ( ) A. 3 B.- 3 3 3 C. D.- 3 3 5.等比数列{an}满足对任意 n∈N*,2(an+2-an)=3an+1,an+1>an,则数列{an}的公比 q =________.

提升训练
6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a4+a9=24,则 S9= ( ) A.36 B.72 C.144 D.70 7.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sn+2-Sn=36,则 n=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 8.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,若 a2=2,2a3+a4=16,则 a5=( ) A.4 B.8 C.16 D.32 9. 在各项均为正数的等比数列{an}中, am+1am-1=2am(m≥2), 数列{an}的前 n 项积为 Tn, * 若 T2k-1=512(k∈N ),则 k 的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 10.设数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93, 若对任意 n∈N*都有 Sn≤Sk 成立,则 k 的值为( ) A.22 B.21 C.20 D.19 11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S9=11,S11=9,则 S20=________. 12.已知等比数列{an}的前 n 项积为 Tn,若 a3a4a8=8,则 T9=________. 13.已知数列{an}的首项为 1,其前 n 项和为 Sn,且对任意正整数 n,有 n,an,Sn 成等 差数列. (1)求证:数列{Sn+n+2}为等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

14.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1 且 3an+1+2Sn=3(n 为正整数). (1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)若?n∈N*, k≤Sn 恒成立,求实数 k 的最大值. 2

n2 15.已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,数列{bn}满足 3bn-bn-1=n(n≥2,n∈N*). 4 a { } (1)求数列 n 的通项公式; 1 (2)求证:当 b1≠ 时,数列{bn-an}为等比数列; 4 (3)在(2)的条件下,设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若数列{Tn}中只有 T3 最小,求 b1 的取 值范围.

专题限时集训(九)
[第 9 讲 数列求和及数列的简单应用] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
?Sn? 1.等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1,其前 n 项和为 Sn,则数列? n ?的前 10 项和为 ? ?

(

) A.70 B.75 C.100 D.120 2. 已知等比数列{an}的各项均为正数, 且 a5a6+a4a7=18, 则 log3a1+log3a2+?+log3a10 =( ) A.12 B.10 C. 8 D.2+log3 5 3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn (n=1,2,3,?),若当首项 a1 和公差 d 变化时, a5 +a8+a11 是一个定值,则下列选项中为定值的是( ) A.S17 B.S16 C.S15 D.S14 1 4. 数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= ,则 S10 等于( ) n(n+2) 11 11 A.. B. 12 24 175 175 C. D. 132 264 5.设等比数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn.若 a1=1,a3=4,Sk=63,则 k= ________.

提升训练
6.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且满足 S35=S3992,a=(1,an),b=(2014,a2014), 则 a· b 的值为( ) A.2014 B.-2014 C.1 D.0 7.已知一次函数 f(x)=kx+b 的图像经过点 P(1,2)和 Q(-2,-4),令 an=f(n)f(n+1), ?1? 6 n∈N*,记数列?a ?的前 n 项和为 Sn,当 Sn= 时,n 的值为( ) 25 ? n? A.24 B.25 C.23 D.26 ?1? 8.已知幂函数 y=f(x)的图像过点(4,2),令 an=f(n+1)+f(n),n∈N*,记数列?a ?的前 ? n? n 项和为 Sn,则当 Sn=10 时,n 的值是( ) A.110 B.120 C.130 D.140 an?an-1 an?an+1 9. 数列{an}满足 a1=2, a2=1, = (n≥2), 则数列{an}的第 100 项为( ) an-1-an an-an+1 1 1 A. 100 B. 50 2 2 1 1 C. D. 100 50 10.设数列{an}满足 a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*,则数列{an}的前 n 项和可以表示 为( )

11. 设直线 nx+(n+1)y= 2(n∈N*)与两坐标轴围成的三角形的面积为 Sn, 则 S1+S2+? +S2014=________ . 12. 在数列{an}中, a1=1, a2=2, 且 an+2-an=1+(-1)n(n∈N*), 则 S100=________ . 13 .已知数列 {an} 中, a1 = 1 , a2n = n - an , a2n + 1 = an + 1 ,则 a1 + a2 + a3 +?+ a100 = ________. 14.已知数列{an}与{bn},若 a1=3 且对任意正整数 n 满足 an+1-an=2, 数列{bn}的前 n 项和 Sn=n2+an. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; ? 1 ? (2)求数列?b b ?的前 n 项和 Tn. ? n n+1?

15.已知函数 f(x)=4x,数列{an}中,2an+1-2an+an+1an=0,a1=1,且 an≠0, 数列{bn} 1 中, b1=2,bn=f?a ?(n≥2,n∈N*). ? n-1? ?1? (1)求证:数列?a ?是等差数列,并求数列{an}的通项公式; ? n? ?bn? (2)求数列?a ?的前 n 项和 Tn. ? n?

an 16.在数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*). an+3 ? 1 1? (1)试说明?a +2?是等比数列,并求数列{an}的通项公式; ? n ? n (2)数列{bn}满足 bn=(3n-1)·n?an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若不等式(-1)nλ <Tn 2 n * + n-1对一切 n∈N 恒成立,求 λ 的取值范围. 2

专题限时集训(十)A
[第 10 讲 空间几何体的三视图、表面积及体积] (时间:5 分钟+30 分钟)

基础演练
1.某几何体的三视图如图 101 所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm)可得这个几何体 的体积是( )

图 101 1 2 4 8 A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 3 3 3 3 2.图 102 是一个封闭几何体的三视图,则该几何体的表面积为(

)

图 102 A.7π B.8π C.9π D.11π 3.一只蚂蚁从正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A 处出发,经正方体的表面,按最短路线 爬行到达顶点 C1 的位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是 ( )

图 103 图 104 A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 4.已知一个三棱锥的三视图如图 105 所示,其中俯视图是顶角为 120°的等腰三角形, 则该三棱锥的体积为________.

图 105

提升训练
5.如图 106 所示,三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱长和底边长均为 2,且侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,正视图是边长为 2 的正方形,俯视图为一个等边三角形,则该三棱柱的侧视图的面 积为( )

图 106 A. 3 B.2 3 C.4 D.4 3 6.某几何体的三视图如图 107 所示,则它的体积是(

)

图 107 4 3 4 2 2 3 32 A.8+ B.8+ C.8+ D. 3 3 3 3 7.若某棱锥的三视图(单位:cm)如图 108 所示,则该棱锥的体积等于(

)

图 108 A.10 cm3 B.20 cm3 C.30 cm3 D.40 cm3 8.一个简单组合体的三视图及尺寸如图 109 所示,则该组合体的体积为(

)

图 109 A.42 B.48 C.56 D.44 9.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图 1010 所示,其中俯视图是中心角为 60° 的扇形, 则该几何体的侧面积为( )

图 1010 10 10 A.12+ π B.6+ π C.12+2π D.6+4π 3 3 10. 如图 1011 所示,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AB,BC 的中点, △AED,△EBF,△FCD 分别沿 DE,EF,FD 折起,使 A,B,C 三点重合于点 A′.若四面体 A′EFD 的四个顶点在同一个球面上,则该球的半径为( )

图 1011 6 11 5 A. 2 B. C. D. 2 2 2 11. 边长是 2 2的正三角形 ABC 内接于体积为 4 3π 的球 O, 则球面上的点到平面 ABC 的最大距离为________.

专题限时集训(十)B
[第 10 讲 空间几何体的三视图、表面积及体积] (时间:5 分钟+30 分钟) )

基础演练
1.某空间几何体的三视图如图 1012 所示,则该几何体的体积为(

图 1012 8 32 A. B.8 C. D.16 3 3 2.一个几何体的三视图如图 1013 所示,则该几何体的体积为(

)

图 1013 1 2 A. B. C.2 D.1 3 3 3.图 1014 为一个几何体的三视图,则该几何体的体积为 (

)

图 1014 π 4 A. 3+ B . 3+ π 6 3 π 4 C.3 3+ π D.3 3+ 3 6 4.某几何体的三视图如图 1015 所示,则其体积为________.

图 1015

提升训练

5.一个几何体的三视图如图 1016 所示,其中正视图是边长为 2 的正三角形,俯视图为 正六边形,则该几何体的侧视图的面积为( )

图 1016 3 5 1 A. B.1 C. D. 2 2 2 6.一个几何体的三视图如图 1017 所示,则它的体积为(

)

图 1017 20 40 A. B. 3 3 C.20 D.40 7. 已知某几何体的三视图如图 1018 所示, 其中俯视图是圆, 则该几何体的体积为(

)

图 1018 π 2π A. B. 3 3 2 1 C. D. 3 3 8.图 1019 是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是(

)

图 1019 A.54 B.27

C.18 D.9 9.用一个边长为 4 的正三角形硬纸,沿各边中点连线垂直折起三个小三角形,做成一个 蛋托,半径为 1 的鸡蛋(视为球体)放在其上(如图 1020 所示),则鸡蛋中心(球心)与蛋托底面 的距离为___________.

图 1020 10.直三棱柱 ABCA1B1C1 的各顶点都在同一个球面上.若 AB=AC=AA1=2,∠BAC= 120°,则此球的表面积为________. 11.如图 1021 所示,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的内切球,则平 面 ACD1 截球 O 的截面面积为________.

图 1021

专题限时集训(十一)
[第 11 讲 空间中的平行与垂直] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
1.能够得出平面 α 与平面 β 一定重合的条件是:它们的公共部分有( ) A.两个公共点 B.三个公共点 C. 无数个公共点 D.共圆的四个公共点 2.直线 a⊥平面 α,b∥α,则 a 与 b 的关系为( ) A.a⊥b,且 a 与 b 相交 B.a⊥b,且 a 与 b 不相交 C.a⊥b D.a 与 b 不一定垂直 3.a,b,c 表示不同直线,M 表示平面,给出四个命题: ①若 a∥M,b∥M,则 a∥b 或 a,b 相交或 a,b 异面; ②若 b?M,a∥b,则 a∥M; ③a⊥c,b⊥c,则 a∥b; ④a⊥M,b⊥M,则 a∥b. 其中为真命题的是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 4.设 α,β,γ 为平面,m,n 为直线,则 m⊥β 的一个充分条件是( ) A.α ⊥β ,α∩β=n,m⊥n B.α ∩γ =m,α⊥γ,β⊥γ C.α ⊥β ,m⊥α D.n⊥α ,n⊥β,m⊥α 5.已知 m,n,l 是不同的直线,α,β,γ 是不同的平面,给出下列命题: ①若 m∥n,n?α ,则 m∥α;②若 m⊥l,n⊥l,则 m∥n; ③若 m⊥n,m∥α,n∥β,则 α⊥β;④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β. 其中真命题有( ) A.0 个 B .1 个 C.2 个 D.3 个

提升训练
6.已知 α,β 是两个不同的平面,则 α∥β 的一个充分条件是( ) A.存在一条直线 l,l?α ,l∥β B.存在一个平面 γ,γ⊥α,γ⊥β C.存在一条直线 l,l⊥α,l⊥β D.存在一个平面 γ,γ⊥α,γ∥β 7.设 l 为直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中为真的是( ) A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l⊥α,l⊥β,则 α∥β C.若 l⊥α,l∥β,则 α∥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 8.在正方体中,二面角 A1?BD?A 的正切值是( ) 2 1 A. 2 B. C.2 D. 2 2 9.已知 α,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列命题: ①若 m⊥α,m?β ,则 α⊥β; ②若 m?α ,n?α ,m∥β,n∥β,则 α∥β; ③如果 m?α ,n?α ,m,n 是异面直线,那么 n 与 α 相交; ④若 α∩β=m,n∥m,且 n?α ,n?β ,则 n∥α,且 n∥β. 其中为真命题的是 ( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 10.如图 111 所示,在等边三角形 ABC 中,CD 是 AB 边上的高,E,F 分别是 AC,BC 的中点.现将△ACD 沿 CD 折起,使平面 ACD⊥平面 BCD,则下列结论中不正确的是( )

图 111 A.AB∥平面 DEF B.CD⊥平面 ABD C.EF⊥平面 ACD D.V 三棱锥 C?ABD=4V 三棱锥 C?DEF 11.如图 112 所示,已知三个平面 α,β,γ 互相平行,a,b 是异面直线,a 与 α,β,γ 分别交于 A,B,C 三点,b 与 α,β,γ 分别交于 D,E,F 三点,连接 AF 交平面 β 于点 G, 连接 CD 交平面 β 于点 H,则四边形 BGEH 必为________.

图 112 12.在三棱锥 C ABD 中(如图 113 所示),△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形, O 为斜边 BD 的中点,AB=4,二面角 ABDC 的大小为 60°,并给出下面结论:①AC⊥BD; 3 ②AD⊥CO;③△AOC 为正三角形;④ cos∠ADC= ;⑤四面体 ABCD 的外接球的表面积 4 为 32π .其中正确的是________.

图 113 13. 已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 且俯视图如图 114 所示. 关 于该四棱锥的下列说法中: ①该四棱锥中至少有两组侧面互相垂直; ②该四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形; ③该四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面; ④该四棱锥的四个侧面不可能都是等腰三角形. 其中,所有正确说法的序号是________________.

图 114 14.如图 115 所示,在平面四边形 ABCD 中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC= 105°,AB=BD,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BDC,设点 F 为 AD 的 中点.

(1)求证:DC⊥平面 ABC; (2)求直线 BF 与平面 ACD 所成角的余弦值.

图 115

15.已知在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,CD= 3,点 E 是线段 AB 的中点,G 为 CD 的中点,现沿 ED 将△AED 折起到△PED 位置,使 PE⊥EB. (1)求证:平面 PEG⊥平面 PCD; (2)求点 A 到平面 PDC 的距离.

图 116

16. 如图 117 所示, 在四棱锥 PABCD 中, PA⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 为梯形, AB∥DC, 1 → → AB⊥BC,PA=AB=BC= DC,点 E 在棱 PB 上,且PE=λEB(λ>0). 2 (1)当 λ=2 时,求证:PD∥平面 EAC; (2)若直线 PA 与平面 EAC 所成的角为 30°,求实数 λ 的值.

图 117

专题限时集训(十二)A
[第 12 讲 空间向量与立体几何] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
1.直线 l1 的方向向量 s1=(1,0,-2),直线 l2 的方向向量 s2=(-1,2,2),则直线 l1, l2 所成角的余弦值是( ) 5 5 2 2 A. B.- C. D.- 3 3 3 3 2.平面 α,β 的法向量分别是 n1=(1,1,1),n2=(-1,0,-1),则平面 α,β 所成锐 二面角的余弦值是( ) 3 3 6 6 A. B.- C. D.- 3 3 3 3 3.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面 ABC 的单位法向量是( ) 2 2 2 A.±(1,1,1) B.±? , , ? 2 2? ?2 3 3 3 3 3 3 C.±? , , ? D.±? ,- , ? 3 3? 3 3? ?3 ?3 4.已知 a,b 是两个非零的向量,α,β 是两个平面,下列命题中正确的是( ) A.a∥b 的必要条件是 a,b 是共面向量 B.a,b 是共面向量,则 a∥b C.a∥α,b∥β,则 α∥β D.a∥α,b∥β,则 a,b 不是共面向量 5.若 a⊥b,a⊥c,l=αb+βc(α,β∈R),m∥a,则 m 与 l 一定( ) A.共线 B.相交 C.垂直 D.不共面

提升训练
6.如图 121 所示,三棱锥 ABCD 的棱长全相等,E 为 AD 的中点,则直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( )

图 121 3 3 33 1 B. C. D. 6 2 6 2 7.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E 是 C1D1 的中点,则异面直线 DE 与 AC 所成角的余 弦值为( ) 1 10 10 1 A. B. C.- D.- 20 10 10 20 → → → → 8. 对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A, B, C, 有OP=xOA+yOB+zOC(x, y, z∈R), 则 x=2,y=-3,z=2 是 P,A,B,C 四点共面的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 → → → 9.已知 O 点为空间直角坐标系的原点,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1, → → → 1,2),且点 Q 在直线 OP 上运动,当QA?QB取得最小值时,OQ=________. A.

10.在底面是直角梯形的四棱锥 S ABCD 中,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB 1 =BC=1,AD= ,则平面 SCD 与平面 SBA 夹角的余弦值是_________. 2 11.平行四边形 ABCD 中,AB=1,AD= 2,且∠BAD=45°,以 BD 为折线,把△ABD 折起到△A1BD 的位置,使平面 A1BD⊥平面 BCD,连接 A1C. (1)求证:A1B⊥DC; (2)求二面角 B A1C?D 的大小.

图 122

12.如图 12?3 所示,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,AB=2AD=4,BD =2 3,PD⊥底面 ABCD. (1)证明:平面 PBC ⊥平面 PBD; π (2)若二面角 PBCD 的大小为 ,求 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值. 4

图 123

13.如图 124①所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC, AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如 图 124②所示. (1)求证:A1C⊥平面 BCDE. (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小. (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.

图 124

专题限时集训(十二)B
[第 12 讲 空间向量与立体几何] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
1.如图 125 所示,三棱锥 PABC 中,∠ACB=90°,PA⊥底面 ABC. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 AC=BC=PA,M 是 PB 的中点,求 AM 与平面 PBC 所成角的正切值.

图 125

2.如图 126 所示,在四棱锥 PABCD 中,四边形 ABCD 是正方形,CD=PD,∠ADP =90°,∠CDP=120°,E,F,G 分别为 PB,BC,AP 的中点. (1)求证:平面 EFG∥平面 PCD; (2)求二面角 D EFB 的平面角的大小.

图 126

提升训练
3.如图 127 所示,已知菱形 ABCD 的边长为 6,∠BAD=60°,AC∩BD=O,将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD=3 2,得到三棱锥 B ACD. (1)若 M 是 BC 的中点,求证:在三棱锥 BACD 中,直线 OM 与平面 ABD 平行; (2)求二面角 ABDO 的余弦值; (3)设点 N 是线段 BD 上的一个动点,试确定 N 点的位置,使得 CN=4 2.

图 127

1 4.正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD= CD 2 =2,点 M 在线段 EC 上,且不与 E,C 重合. (1)当点 M 是 EC 的中点时,求证:BM∥平面 ADEF; 6 (2)当平面 BDM 与平面 ABF 所成的锐二面角的余弦值为 时, 求三棱锥 M BDE 的体积. 6

图 128

5.已知直角梯形 ABCD 中,AD⊥DC,AD⊥AB,△CDE 是边长为 2 的等边三角形,AB =5.沿 CE 将△BCE 折起,使 B 至 B′处,且 B′C⊥DE;然后再将△ADE 沿 DE 折起,使 A 至 A′处,且平面 A′DE⊥平面 CDE.△B′CE 和△A′DE 在平面 CDE 的同侧. (1)求证:B′C⊥平面 CDE; (2)求平面 B′A′D 与平面 CDE 所构成的锐二面角的余弦值.

图 129

专题限时集训(十三)
[第 13 讲 直线与圆] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
1.圆 C 过坐标原点,在两坐标轴上截得的线段长相等,且与直线 x+y=4 相切,则圆 C 的方程不可能 是( ) ... 2 A.(x+1) +(y+1)2=18 B.(x-2)2+(y+2)2=8 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+2)2+(y-2)2=8 2.直线 x+y=5 和圆 O:x2+y2-4y=0 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交不过圆心 D.相交过圆心 3.直线 l:ax+(a+1)y+2=0 的倾斜角大于 45°,则 a 的取值范围是( ) 1 ? A.? ?-∞,-2? B.(0,+∞) 1 - ,0? C.? ? 2 ? 1? D.? ?-∞,-2?∪(0,+∞) 4.两条平行直线 l1:3x+4y-4=0 与 l2:ax+8y+2=0 之间的距离是__________. 5.已知圆 O:x2+y2=4,直线 l 的方程为 x+y=m,若圆 O 上恰有三个点到直线 l 的距 离为 1,则实数 m=________.

提升训练
6.直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y+1=0 相交于 A,B 两点,若弦 AB 的中点为抛物线 x2= 4y 的焦点,则直线 l 的方程为( ) A.2x+3y-3=0 B.x-y-1=0 C.x+y-1=0 D.x-y+1=0 7.过点 P(2,0)的直线 l 被圆 (x-2)2+(y-3)2=9 截得的线段长为 2 时,直线 l 的斜率 为( ) 2 2 A.± B.± 4 2 3 C.±1 D.± 3 8.已知点 A(-3,0),B(0,3),若点 P 在圆 x2+y2-2x=0 上运动,则△PAB 面积的最 小值为( ) A.6 B.6 2 3 2 C.6+ 2 3 2 D.6- 2 4 2 9.若直线 y=x+t 被圆 x2+y2=8 截得的弦长大于等于 ,则 t 的取值范围为( ) 3 8 2 8 2? A.?- ? 3 , 3 ?

8 2? B.?-∞, 3 ? ? 8 2 ? C.? ? 3 ,+∞? 8 2 8 2? D.?- ? 3 , 3 ? 10.若 a2+b2=2c2(c≠0),则直线 ax+by+c=0 被圆 x2+y2=1 所截得的弦长为( ) 1 A. B.1 2 2 C. D. 2 2 2 x 11 .以双曲线 y2 - = 1 的上焦点为圆心,与该双曲线的渐近线相切的圆的方程为 3 ________________. 12.已知直线 x+y-1=0 与圆 x2+y2=a 交于 A,B 两点,O 是原点,C 是圆上一点.若 → → → OA+OB=OC,则 a 的值为______________. 13.已知点 A(-3,0)和圆 O:x2+y2=9,AB 是圆 O 的直径,M 和 N 是 AB 的三等分点, → → P(异于 A,B)是圆 O 上的动点,PD⊥AB 于点 D,PE=λED(λ>0),直线 PA 与 BE 交于点 C, 则当 λ=________时,|CM|+|CN|为定值. x2 14.已知椭圆 C: +y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,下顶点为 A,P 是椭圆上任意 2 一点,圆 M 是以 PF2 为直径的圆. π (1)当圆 M 的面积为 时,求 PA 所在直线的方程; 8 (2)当圆 M 与直线 AF1 相切时,求圆 M 的方程; (3)求证:圆 M 总与某个定圆相切.

图 131

→ → 15.已知点 E(-2,0),F(2,0),曲线 C 上的动点 M 满足EM?FM=-3.定点 A(2,1), 由曲线 C 外一点 P(a,b)向曲线 C 引切线 PQ,切点为 Q,且满足|PQ|=|PA|. (1)求曲线 C 的方程; (2)若以点 P 为圆心的圆和曲线 C 有公共点,求半径取最小值时圆 P 的标准方程.

16.在平面直角坐标系中,已知点 A(-2,0),B(2,0),点 P 为平面内一动点,且满足 3 tan∠PAB· tan∠PBA= . 4 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若点 P 位于 y 轴左侧,过点 P 作圆 C:(x-1)2+y2=1 的两条切线分别交 y 轴于 M,N 两点,求|MN|的取值范围.

专题限时集训(十四)
[第 14 讲 椭圆、双曲线、抛物线] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
x2 y2 1.已知直线 2x-y+4=0 过椭圆 C: + =1(m>0)的一个焦点,则椭圆 C 的长轴长为 m 2 ( ) A.2 6 B.2 C.3 2 D.4 x2 y2 2.直线 y=2x 为双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线,则双曲线 C 的离心率是 a b ( ) 5 A. 5 B. 2 3 C. 3 D. 2 x2 3.已知双曲线 2-y2=1(a>0)的实轴长为 2,则该双曲线的离心率为( ) a 2 5 A. B. 2 2 C. 5 D. 2 x2 y2 4.已知双曲线 - =1(m>0)的一个焦点在圆 x2+y2-4x-5=0 上,则该双曲线的渐 9 m 近线方程为( ) 3 4 A.y=± x B.y=± x 4 3 2 2 3 2 C.y=± x D.y=± x 3 4 5.长为 2 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=x 上滑动,则线段 AB 的中点 M 到 y 轴距 离的最小值是________.

提升训练
6.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 P,使得 PF1⊥PF2,则椭圆的离心 率的取值范围是( ) 5 2 A.? ,1? B.? ,1? ?5 ? ?2 ? 5 2 C.?0, ? D.?0, ? 5? 2? ? ? 7.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,则抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ) 3 5 A. B.2 5 11 C. D.3 5 x2 y2 8.已知 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,E 是双曲线的右顶点,过点 F 且垂 a b 直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点.若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围为( ) A.(1,2) B.(1, 2) C.(1,3) D.(1, 3)

x2 y2 9.设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线的右支上存 a b 在点 P 满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心 率为( ) 8 7 A. B. 3 3 5 4 C. D. 3 3 10.如图 141 所示,已知抛物线的方程为 x2=2py(p>0),过点 A(0,-1)作直线 l 与抛物 线相交于 P,Q 两点,点 B 的坐标为(0,1),连接 BP,BQ,设 QB,BP 与 x 轴分别相交于点 M,N.如果 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为-3,则∠MBN 的大小为( )

图 141 π A. 2 2π C. 3 π B. 4 π D. 3

x2 11. 已知 F 为椭圆 C: +y2=1 的左焦点, P 为椭圆 C 上任意一点, 点 Q 的坐标为(4,3), 2 则|PQ|+|PF|取最大值时点 P 的坐标为______________. x2 y2 x2 12.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1 和 C2 的方程分别为 +y2=1 和 + =1,射 4 16 4 → → 线 OA 与椭圆 C1 和 C2 分别交于 A,B 两点,且 OB=2OA,则射线 OA 的斜率为________. x2 y2 13.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则该双曲线的离心 a b 率为________. x2 y2 3 14.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 2 3,离心率为 . a b 2 (1)求椭圆方程; (2)如图 142 所示, 设过椭圆顶点 B,斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 D,交 x 轴于点 E, 且|BD|,|BE|,|DE|成等比数列,求 k2 的值.

图 142

x2 y2 6 15.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点为 F(2,0),且离心率为 . a b 3 (1)求椭圆的方程; (2)斜率为 k 的直线 l 过点 F 且与椭圆交于 A,B 两点,P 为直线 x=3 上一点,若△ABP 为等边三角形,求直线 l 的方程.

1? x2 y2 3 16.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且过点? ? 3,2?. a b 2 (1)求椭圆 E 的方程. (2)设直线 l:y=kx+t 与圆 C:x2+y2=R2(1<R<2)相切于点 A,且直线 l 与椭圆 E 只有 一个公共点 B. R2-1 2 ①求证:k = . 4-R2 ②当 R 为何值时,|AB|取得最大值?求出最大值.

专题限时集训(十五)A
[第 15 讲 圆锥曲线中的热点问题] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
1.到坐标原点的距离是到 x 轴距离的 2 倍的点的轨迹方程是( ) A.y=± 3x 3 B.y= x 3 C.x2-3y2=1 D.x2-3y2=0 2.以抛物线 y2=8x 上任意一点为圆心作与直线 x+2=0 相切的圆,这些圆必过一定点, 则这一定点的坐标是( ) A.(0,2) B.(2,0) C.(4,0) D.(0,4) y2 2 3.若双曲线 x - 2=1(b>0)的一条渐近线与圆 x2+(y-2)2=1 至多有一个交点,则该双 b 曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2] B.[2,+∞) C.(1, 3] D.[ 3,+∞) 4.设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,M 为抛物线 C 上一点, 点 N 的坐标为(2,2),则 |MF|+|MN|的取值范围是________. → → 5.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A,B 在抛物线 y2=4x 上,且满足OA?OB=-4,F 是抛物线的焦点,则 S△OFA?S△OFB=________.

提升训练
6.已知圆 A1:(x+2)2+y2=12 和点 A2(2,0),则过点 A2 且与圆 A1 相切的动圆圆心 P 的 轨迹方程为( ) x2 2 A. -y =1 3 x2 2 B. +y =1 3 C.x2-y2=2 x2 y2 D . + =1 12 8 x2 y2 → 1 → → 7.已知点 Q 在椭圆 C: + =1 上,点 P 满足OP= (OF1+OQ)(其中 O 为坐标原点, 16 10 2 F1 为椭圆 C 的左焦点),则点 P 的轨迹为( ) A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆 x2 y2 8.已知 P 是椭圆 + =1(x≠0,y≠0)上的动点,F1,F2 为椭圆的两个焦点,O 是坐 16 8 → → → 的取值范围是( 标原点.若 M 是∠F1PF2 的角平分线上一点,且F1M?MP=0,则 OM )

| |

x2 y2 + =1(0<m<3)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线交椭圆于 A, 9 m B 两点.若|AF2|+|BF2|的最大值为 10,则 m 的值为( ) A.3 B.2 9.已知椭圆

A.(0,3) C.(2 2,3)

B.(0,2 2) D.(0,4)

C.1 D. 3 2 10. F 为抛物线 y =4x 的焦点,A, B,C 为抛物线上三点, O 为坐标原点. 若 F 是△ABC 2 2 的重心,△OFA,△OFB,△OFC 的面积分别为 S1,S2,S3,则 S2 + S + S 的值为 ________. 1 2 3 x2 y2 11.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,左顶点为 A,以 F 为圆心且过点 A 的圆 a b 交双曲线的一条渐近线于 P,Q 两点.若|PQ|不小于双曲线的虚轴长,则该双曲线离心率的 取值范围为________. x2 y2 12.已知动点 P(x,y)在椭圆 C: + =1 上,F 为椭圆 C 的右焦点.若点 M 满足|MF| 25 16 =1,且 MP⊥MF,则|PM|的最小值为________. 13.已知 F 为抛物线 y2=-8x 的焦点,O 为原点,P 是抛物线准线上一动点,点 A 在 抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值是__________.

14.已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O,且 C1 恰好与直线 l1:x-2y+3 5=0 相切.设 A 3→ 3 → → 为圆上一动点, AM⊥x 轴于点 M,且动点 N 满足 ON= OA+?1- ?OM,设动点 N 的 3 3? ? 轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)若直线 l 与直线 l1 垂直且与曲线 C 交于 B,D 两点,求△OBD 面积的最大值.

15.已知点 A 为圆(x+1)2+y2=8 的圆心,P 是圆上的动点,点 M 在圆的半径 AP 上,且 → → → → 有点 B(1,0)和 BP 上的点 N 满足 MN?BP=0,BP=2BN. (1)当点 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹方程; (2)若直线 y=kx+ k2+1(k>0)与(1)中所求的点 M 的轨迹交于不同的两点 F,H, O 为坐 2 → → 3 标原点,且 ≤OF?OH≤ ,求 k 的取值范围. 3 4

图 151

x2 y2 2 6 16.设椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且过点?-1,- ?. a b 2 2? ? (1)求椭圆 E 的方程; (2)设椭圆 E 的左顶点是 A,直线 l:x-my-t=0 与椭圆 E 相交于不同的两点 M,N(M, N 均与 A 不重合),且以 MN 为直径的圆过点 A,试判断直线 l 是否过定点,若过定点,求出 该定点的坐标.

专题限时集训(十五)B
[第 15 讲 圆锥曲线中的热点问题] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
1.如图 152 所示,已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 经过点 F 且与抛物线 C 相交于 A,B 两点.

图 152 (1)若线段 AB 的中点在直线 y=2 上,求直线 l 的方程; (2)若|AB|=20,求直线 l 的方程.

2 2.设点 A(- 3,0),B( 3,0),直线 AM,BM 相交于点 M,且它们的斜率之积为- . 3 (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 过点 F(1,0)且绕 F 旋转,l 与圆 O:x2+y2=5 相交于 P,Q 两点,l 与轨迹 C 相交于 R,S 两点,若|PQ|∈[4, 19],求△F′RS 的面积的最大值和最小值(F′为轨迹 C 的 左焦点).

x2 y2 3 3.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且经过点 A(0,-1). a b 2 (1)求椭圆 C 的方程. 3 0, ?的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点(M,N 点与 A 点不重合). (2)如果过点? ? 5? → → ①求AM?AN的值; ②当△AMN 为等腰直角三角形时,求直线 MN 的方程.

提升训练
4.如图 153 所示,F1,F2 分别是离心率为 2 x2 y2 的椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦 2 a b 1 点,直线 l:x=- 将线段 F1F2 分成两段,其长度之比为 1∶3.设 A,B 是椭圆 C 上的两个动 2 点,线段 AB 的中垂线与椭圆 C 交于 P,Q 两点,线段 AB 的中点 M 在直线 l 上.

图 153 (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)求F2P?F2Q的取值范围.

3? x2 y2 1 5.如图 154 所示,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 P? ?1,2?,离心率 e=2,直线 l 的 a b 方程为 x=4.

15?4 (1)求椭圆 C 的方程. (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA, PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3.是否存在常数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求 λ 的值;若 不存在,说明理由.

专题限时集训(十六)
[第 16 讲 函数与方程思想、数形结合思想] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
1.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+S3=-4,a4=3,则公差为( ) A.-1 B.1 C.2 D.3 2. 已知向量 a=(1, 2), b=(1, 0), c=(3, 4), 若 λ 为实数, (b+λa)⊥c, 则 λ 的值为( ) 3 11 A.- B.- 11 3 1 3 C. D. 2 5 2 2 x y 3.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,且 PF2⊥ a b F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( ) 3 1 A. B. 6 3 1 3 C. D. 2 3 4.设二次函数 f(x)=x2-x+a(a>0), 若 f(m)<0, 则 f(m-1)的值为( ) A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数和零都有可能 5.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B,则 A=____________ .

提升训练
6.函数 f(x)的定义域为(-1,1),且对定义域内的一切实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 当 x>0 时,有 f(x)<0.若 f(1-a)+f(1-a2)<0,则实数 a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-2,1) 7.已知函数 f(x)=|x+a|(a∈R)在区间[-1,1]上的最大值为 M(a),则函数 g(x)=M(x)- |x2-1|的零点的个数为( ) A.1 B .2 C.3 D.4 8.已知点 A(2,1),B(1,3),直线 ax-by+1=0(a,b∈R+)与线段 AB 相交,则(a-1)2 +b2 的最小值为( ) 10 2 A. B. 5 5 2 5 4 C. D. 5 5 1?x 9.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且 x>0 时,f(x)=? ?2? ,则函数 F(x)=f(x)-sin x 在区 间[-π ,π ]上的零点个数为( ) A.2 B .3 C.4 D.5 10.对于函数 f(x),若存在区间 A=[m,n],使得{y|y=f(x),x∈A}=A,则称函数 f(x)为 “可等域函数”,区间 A 为函数 f(x)的一个“可等域区间”. 给出下列 4 个函数:

(

πx ;②f(x)=2x2-1; 2 ③f(x)=|1-2x|;④f(x)=log2(2x-2). 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为( ) A.①②③ B.②③④ C.①③ D.②③ 4 11. 若函数 f(x)= 与 g(x)=x3+t 图像的交点在直线 y=x 的两侧, 则实数 t 的取值范围是 x ) A.(-6,0] B.(-6,6) C.(-∞,-4)∪(4,+∞) D.(-4,4) ?x-2y+1≥0, ①f(x)=sin 12. 已知实数 x,y 满足?x<2,

?

13. 已知整数 x, y, z 满足 x>y>z, 且 2x 3+2y 3+2z 3=37, 则整数组(x, y, z)为________. 14.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,M 是 BC 的中点,且 AM =2 3, asin A-bsin B=(a-c)sin C,则 BC+AB 的最大值是________.
+ + +

? ?x+y-1≥0,

z=|2x-2y-1|,则 z 的取值范围是__________.

15.已知等差数列{an}中,a3=3,a1+a4=5. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. anan+1

p? 16.已知抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F? ?0,2?,准线为 l,P(x0,y0)(y0>p)为抛物线 3 C 上的一点,且△FOP 的外接圆圆心到准线 l 的距离为 . 2

图 161 (1)求抛物线 C 的方程; (2)若圆 F 的方程为 x2+(y-1)2=1,过点 P 作圆 F 的两条切线分别交 x 轴于点 M,N, 求△PMN 的面积取得最小值时 y0 的值.

专题限时集训(十七)
[第 17 讲 分类与整合思想、化归与转化思想] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
1.已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=( ) A.0 或 3 B.0 或 3 C.1 或 3 D.1 或 3 sin 47°-sin 17°cos 30° 2. =( ) cos 17° 3 1 A.- B.- 2 2 1 3 C. D. 2 2 y2 3.已知 m 是两个正数 2,8 的等比中项,则圆锥曲线 x2+ =1 的离心率为( ) m 3 5 3 A. 或 B. 2 2 2 3 C. 5 D. 或 5 2 4.已知△ABC 中,a,b,c 为△ABC 的内角 A,B,C 的对边,且 sin2A=sin2B+sin2C +sin Bsin C,则 A=( ) π π A. B. 6 3 2π 5π C. D. 3 6 5.已知函数 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x,则满足不等式 f(x)>0 的 x 的取值范围 是______________.

提升训练
Sn+64 6.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2=4,S10=110,则 的最小值为( ) an A.7 B .8 15 17 C. D. 2 2 ? ? y - 3 ? =3?, 7. 已知 M=?(x,y)? N={(x, y)|ax+2y+a=0}, 且 M∩N=?, 则 a=( ) ?x-2 ? ? A.-6 或-2 B.-6 C.2 或-6 D.-2 8.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足下列三个条件:①对任意的 x∈R 都有 f(x+2)= -f(x);②对任意的 0≤x1<x2≤2,都有 f(x1)<f(x2);③y=f(x+2)的图像关于 y 轴对称.则下 列结论中正确的是( ) A.f(4.5)<f(6.5)<f(7) B.f(4.5)<f(7)<f(6.5) C.f(7)<f(4.5)<f(6.5) D.f(7)<f(6.5)<f(4.5) 9.已知向量 α,β,γ 满足|α |=1,|α -β|=|β |,(α-γ)· (β-γ)=0.若对给定的 β,|γ |的

最大值和最小值分别为 m,n,则 m-n 的最小值是( ) 1 A. B.1 C.2 D. 2 2 π π 10.已知函数 f(x)=asin x+btan x(a,b 为常数),若 f(1)=1,则不等式 f(31)>log2x 的 5 5 解集为__________. ax2+2y2 11 . 若 当 x∈ [1,2] , y∈ [2,3] 时 , - 1>0 恒 成 立 , 则 a 的 取 值 范 围 是 xy _____________. 12.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x2,若对任意 x∈[a,a+2],不 等式 f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 13.在数列{an}中,a1=1,an+2+(-1)nan=1.记 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S60= ________. 14.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≥0 时,f(x)=2x.若对任意的 x∈[a,a+2], 不等式 f(x+a)≥f2(x)恒成立,则实数 a 的取值范围是________.

15.如图 171 所示,在三棱柱 ABC A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AC⊥BC,E 在线段 B1C1 上,且 B1E=3EC1,AC=BC=CC1=4. (1)求证:BC⊥AC1. (2)在 AC 上是否存在一点 F,满足 EF∥平面 A1ABB1?若存在,请指出点 F 的位置,并 给出证明;若不存在,说明理由.

图 171

x2 y2 2 16.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率是 ,P1,P2 是椭圆 E 的长轴的两个端点 a b 2 1 1 (P2 位于 P1 右侧), F 是椭圆 E 的右焦点, Q 是 x 轴上位于点 P2 右侧的一点, 且满足 + |P1Q| |P2Q|



2

|FQ|

=2.

(1)求椭圆 E 的方程以及点 Q 的坐标. (2)过点 Q 的动直线 l 交椭圆 E 于 A,B 两点,连接 AF 并延长交椭圆 E 于点 C,连接 BF 并延长交椭圆 E 于点 D. ①求证:B,C 两点关于 x 轴对称; ②当四边形 ABCD 的面积取得最大值时,求直线 l 的方程.

专题限时集训(十八)A
[第 18 讲 导数及其应用] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
1.已知 f(x)=x2+2xf′(1),则 f′(0)等于( ) A.0 B.-4 C.-2 D.2 3 2.已知函数 f(x)=ax-x 对区间(0,1)上任意的 x1,x2,且 x1<x2,都有 f(x2)-f(x1)>x2- x1 成立,则实数 a 的取值范围为( ) A.(0,1) B.[4,+∞) C.(0,4] D.(1,4] 3 3.曲线 f(x)=x +x-2 在点 P0 处的切线平行于直线 y=4x-1,则 P0 点的坐标为( ) A.(1,0) B.(2,8) C.(2,8)或(-1,-4) D.(1,0)或(-1,-4) 1 4.函数 f(x)= x2-ln x 的最小值为( ) 2 1 A. B.1 2 C.-2 D.3 5.曲线 y=ln x-1 在 x=1 处的切线方程为____________.

提升训练
6.设函数 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0).若 1 和-1 是函数 f(x)的两个零点,x1 和 x2 是 f(x) 的两个极值点,则 x1x2 等于( ) A.-1 B.1 1 1 C.- D. 3 3 ? 1 ? 7.已知函数 f(x)=x2+bx 的图像在点 A(1,f(1))处的切线斜率为 3,数列?f(n)?的前 n ? ? 项和为 Sn,则 S2013 的值为( ) 2010 2011 A. B. 2011 2012 2012 2013 C. D. 2013 2014 8.函数 f(x)=xcos x 的导函数 f′(x)在区间[-π ,π ]上的图像大致是( )

A

B

C

D

图 181 9.已知 a≥0,函数 f(x)=(x2-2ax)ex,若 f(x)在区间[-1,1]上是减函数,则 a 的取值范 围是( ) 3 A.0<a< 4

1 3 B. <a< 2 4 3 C.a≥ 4 1 D.0<a< 2 10. 方程 f(x)=f′(x)的实数根 x0 叫作函数 f(x)的“新驻点”. 如果函数 g(x)=x, h(x)=ln (x π +1), φ(x)=cos x?x∈? ,π ??的“新驻点”分别为 α, β, γ, 那么 α, β, γ 的大小关系是( ) ? ?2 ?? A.α <β <γ B.α <γ <β C.γ <α <β D.β <α <γ 11.已知函数 f(x)=x3+3mx2+nx+m2 在 x=-1 时取得极值 0,则 m+n=________. 12.函数 f(x)=2ln x+x2 在点 x=1 处的切线方程是________. 13.已知函数 f(x)=x2+2x,g(x)=xex. (1)求 f(x)-g(x)的极值; (2)当 x∈(-2,0)时,f(x)+1≥ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围.

14.已知函数 f(x)=xln x. (1)求 f(x)的单调区间和极值; f(x2)-f(x1) ?x1+x2? (2)设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),且 x1≠x2,证明: <f′ ? 2 ?. x2-x1

15.设函数 f(x)=ex-ax-2. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k)f′(x)+x+1>0 恒成立,求 k 的最大值.

专题限时集训(十八)B
[第 18 讲 导数及其应用] (时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练
1.已知 a 为给定的正实数,m 为实数,函数 f (x)=ax3-3(m+a)x2+12mx+1. (1)若 f (x)在区间(0,3)上无极值点,求 m 的值; (2)若存在 x0∈(0,3),使得 f (x0)是 f (x)在区间[0,3]上的最值,求 m 的取值范围.

2.设函数 f(x)=ax2+ln x. (1)求 f(x)的单调区间; (2)设函数 g(x)=(2a+1)x,若当 x∈(1,+∞)时,f(x)<g(x)恒成立,求 a 的取值范围.

提升训练
3.已知函数 f(x)=xln x+ax(a∈R). (1)当 a=0 时,求 f(x)的最小值; (2)若函数 g(x)=f(x)+ln x 在区间[1,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)过点 P(1,-3)恰好能作函数 y=f(x)图像的两条切线,并且两切线的倾斜角互补,求 实数 a 的取值范围.

4.已知函数 f(x)=(2x+2)e x(e 为自然对数的底数). (1)求函数 f(x)的单调区间. 1 1 - (2)设函数 φ(x)= xf(x)+ tf′(x)+e x,是否存在实数 x1,x2∈[0,1],使得 2φ(x1)<φ(x2)? 2 2 若存在,求出实数 t 的取值范围;若不存在,请说明理由.


5.已知函数 f(x)=x2+aln x(a≠0,a∈R). (1)若对任意 x∈[1,+∞),使得 f(x)≥(a+2)x 恒成立,求实数 a 的取值范围; 1 1 1 2013 (2)证明:对 n∈N*,不等式 + +?+ > ln(n+1) ln(n+2) ln(n+2013) n(n+2013) 成立.

专题限时集训(十九)A
[第 19 讲 复数、计数原理、二项式定理与概率] (时间:5 分钟+30 分钟)

基础演练
5i 1.复数 的虚部是( ) 1+2i A.1 B.-1 C.i D.-i 6 1 2.二项式?2x+ ? 展开式中的常数项是( ) x? ? A.15 B.60 C.120 D.240 3. 我国第一艘航母“辽宁号”在某次航载机起降飞行训练中, 有 5 架航载机准备着航. 如 果甲、乙 2 架航载机必须相邻着航,而丙、丁 2 架航载机不能相邻着舰,那么不同的着航方 法有( ) A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.48 种 4.有两张卡片,一张的正反面分别写着 0 和 1,另一张正反面分别写着 4 和 5,将两张 卡片排在一起组成一个两位数,则所组成的两位数能被 5 整除的概率是( ) 1 3 A. B. 8 8 1 1 C. D. 6 2 n 2 2 ? 5.若? ?x -x? 的展开式中的第 5 项是常数项,则中间项的系数为________.

提升训练
6.若复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则在复平面内 z 对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.从 1,2,3,4,5 中不放地依次取两个数,记事件 A 为“第一次取到的是奇数”, 事件 B 为“第二次取到的是奇数”,则 P(B|A)=( ) 1 3 A. B. 5 10 2 1 C. D. 5 2 8. 6 个人站成一排, 其中甲、 乙必须站在两端, 且丙、 丁相邻, 则不同站法的种数为( ) A.12 B.18 C.24 D.36 1 ?3x- ?n 9.已知? 所有偶数项的二项式系数为 B, 若A 3 ? 的展开式中各项数系数之和为 A, x? ? +B=96,则展开式中含有 x2 的项的系数为( ) A.-540 B.180 C.540 D.180 10.从 0 到 9 这 10 数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数学的三位数,这个数能被 3 整除的概率为( ) 8 19 A. B. 27 27

19 C. 54

35 D. 54

(1+ai)(1-i) 11.已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若 =2-i,则 a+bi=________. b+i 12.设(x2+1)(x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+?+a11(x+2)11,则 a1+a2+?+a11= ________. 2-bi 13.如果复数 (b∈R,i 为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,那么 b=________. 1+2i 14.航天号拟在太空授课,准备进行标号为 0,1,2,3,4,5 的六项实验,其中 0 号实 验不能放在第一项,最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号,则符合条件的实验顺序的 编排方法共有________种(用数字作答). 15.某校从 6 名教师中选派 3 名教师同时去 3 个地区支援,每个地区需 1 人,其中甲和 乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案有________种.

专题限时集训(十九)B
[第 19 讲 复数、计数原理、二项式定理与概率] (时间:5 分钟+30 分钟)

基础演练
i 1.复数 的共轭复数为( ) 1-i 1 1 A.- + i 2 2 1 1 B. + i 2 2 1 1 C. - i 2 2 1 1 D.- - i 2 2 2.甲和乙等五名志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至 少有一名志愿者,则甲和乙不在同一岗位服务的概率为( ) 1 9 A. B. 10 10 1 48 C. D. 4 625 1- 3i 3.已知 i 为虚数单位,则复数 z= 的虚部为( ) 3+i A.1 B.-1 C.i D.-i a 2 7 ?5 4.设常数 a∈R,若? ?x +x? 的二项展开式中 x 项的系数为-10,则 a=________.

提升训练
a+3i 5.若复数 (a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( ) 1-2i A.-2 B.4 C.-6 D.6 6.已知(a-i)2=-2i,其中 i 是虚数单位,则实数 a=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 7. 投掷两颗骰子, 其向上的点数分别为 m 和 n, 则复数(m+ni)2 为纯虚数的概率为( ) 1 1 A. B. 3 4 1 1 C. D. 6 12 8.从 6 人中选 4 人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览,要求每个城市有一 人游览,每人只游览一个城市,且在这 6 人中甲、乙不去哈尔滨游览,则不同的选择方案共 有( ) A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种 1 9 . 某 人 抛 掷 一 枚 硬 币 , 出 现 正 反 面 的 概 率 都 是 , 构 造 数 列 {an} , 使 得 an = 2 ? 1 ,第 n 次抛掷时出现正面, ? ? 记 Sn=a1+a2+?+an(n∈N*),则 S4=2 的概率为( ) ?-1,第n次抛掷时出现反面. ?

1 1 B. 16 8 1 1 C. D. 4 2 10.现需编制一个八位的序号,规定如下:①序号由 4 个数字和 2 个 x,1 个 y,1 个 z 组成;②2 个 x 不能连续出现,且 y 在 z 的前面;③数字在 0,1,2,?,9 之间任选,可重 复,且 4 个数字之积为 8.则符合条件的不同序号种数为( ) A.1 2600 B.6300 C.5040 D.2520 4 11.在(1-2x)· (1-3x) 的展开式中,x2 的系数等于________. 12.将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,且分给 同一人的 2 张参观券要连号,那么不同的分法种数是________. 13.已知 a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,u= logab ,则 u 的不同取值个数为 ________. 1 n x+ 3? (n∈N*)的展开式中没有常数项, 14. 已知(1+x+x2)? 且 2≤n≤8, 则 n=________. ? x? 15.已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m≥3,n≥3),从 乙盒中随机抽取 i(i=1,2)个球放入甲盒中,放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率 记为 Pi(i=1,2),则 P1________P2.(填>或<) A.

专题限时集训(一)A
【基础演练】
1.C [解析] 因为?UA={2,3,4},所以 B∩(?UA)={2,4}∩{2,3,4}={2,4}. 2.C [解析] 全称命题的否定是特称命题,否定结论并改写量词.由题意知命题“对任 3 意 x∈R,都有 x3>x2”的否定是“存在 x0∈R,使得 x0 ≤x2 . 0” 3.B [解析] 易知 p:x=3 或 x=4,q:x=3,可知 q?p,故 p 是 q 的必要不充分条件. 4.C [解析] ∵N={x|y=log2(x-1)}={x|x>1},∴M∩N={x|1<x<2}. 5.C [解析] 在三角形中,sin C>sin B 必有 C>B,但当 C>B 时,不一定有 sin C>sin B, 所以命题 p 为假;若 ac2>bc2,则 a>b,但当 a>b 时,不一定有 ac2>bc2,故命题 q 也为假, 所以“p∨q”为假.

【提升训练】
6.A [解析] 阴影部分表示的集合为 N∩(?IM),而?IM={1,2,6},N={1,2,3,4}, 所以阴影部分对应的集合 N∩(?IM)={1,2}. 7.C [解析] 集合 A={-1,1},所以满足 A∪B={-1,0,1}的集合 B 有{0},{0, 1},{0,-1},{0,-1,1},共 4 个. 8.D [解析] 否定的结论为条件,否定的条件为结论构成的命题为逆否命题,即“若 2 b ≠ac,则 a,b,c 不成等比数列”. 9.A [解析] ∵M={0,3},N={?,-1,1,3,?},∴M∩N={3}. 10.C [解析] 因为 A={y|y=sin x,x∈R}=[-1,1],B={x|y=lg x}=(0,+∞),所 以( A)∩B=(1,+∞). 11.A [解析] 当 a+b=1 时,ax2+by2-(ax+by)2=a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2 +aby2-2abxy≥0,所以“a+b=1”是“不等式 ax2+by2≥(ax+by)2 对任意的 x,y∈R 恒成 立”的充分条件;当 x=y=0 时,原不等式恒成立,但 a+b 不一定为 1.因此“a+b=1”是 “不等式 ax2+by2≥(ax+by)2 对任意 x,y∈R 恒成立”的充分不必要条件. - 12.D [解析] 由 ex>0 知 A 中命题为假;取 x=-2,由 2 2<(-2)2 知 B 中命题为假; 2 取 a=-2,b=-3,而 ab=6>1,故 C 中命题为假;令 t=sin2x,则 0<t≤1,因为 f(t)=t+ t (0<t≤1)在 t∈(0,1]上单调递减,所以 f(t)≥f(1)=3,故 D 中命题为真. 13.(1)2 (2)a≤0 或 a≥4 [解析] (1)因为 B={x|x≥3 或 x≤1},由题意得,a-1=1 且 a+1=3,所以 a=2. (2)由题意得 a+1≤1 或 a-1≥3,所以 a 的取值范围为 a≤0 或 a≥4. a 14.(-∞,-2)∪(2,+∞) [解析] 由 2x2+ax-a2=0,得(2x-a)· (x+a)=0, ∴x= 或 2 a? 2 x=-a,∴当命题 p 为真命题时,? ?2?≤1 或|-a|≤1,∴|a|≤2.当命题 q 为真命题时,Δ=4a -8a=0,∴a=0 或 a=2.故命题“p∨q”为假命题时,a>2 或 a<-2,即 a 的取值范围为(- ∞,-2)∪(2,+∞).

专题限时集训(一)B
【基础演练】
1.D [解析] 由题意可知,A∪B={x|x≤0 或 x≥1},所以?U(A∪B)={x|0<x<1}. 2.B [解析] 因为 p 是 q 的必要非充分条件,所以 q 的解集是 p 的子集.因为 q= {x|0<x<2},所以 a≤0. 3.B [解析] B={(1,1),(1,2),(2,1)},共三个元素. 4.(-1,0)∪(1,+∞) [解析] 由题得 A={x|x>1 或 x<0},B={x|x>-1},所以 A∩B =(-1,0)∪(1,+∞).

【提升训练】
5.B [解析] 3a>3b?a>b,但 a,b 不一定是正数,故不一定能得到 log3a>log3b;而 log3a>log3b?a>b>0?3a>3b. ? ?x-3 ? ? 6.B [解析] 由于 A={x||x-2|≤1}={x|1≤x≤3},B=? x? ≥? 0={x|x≥3 或 x<1}, ? ? ?x-1 ? 显然 A∪B=R. 7.C [解析] 集合 A 表示直线 l:x+y-1=0 上的点的集合,集合 B 表示抛物线 C:y ? ?x+y-1=0, =x2+1 上的点的集合.由? 消去 y 得 x2+x=0,由于 Δ>0,所以直线 l 与抛物 2 ?y=x +1, ? 线 C 有两个交点,即 A∩B 有两个元素. 8.B [解析] 因为 A={x|y=2x}=R,B={y|y=2x}={y|y>0},所以 A∩B=(0,+∞). 9.A [解析] 当 a=1 时,f(x)=|x-1|,其单调递增区间是[1,+∞),所以 f(x)在区间[2, +∞)上为增函数;但当 f(x)在区间[2,+∞)上为增函数时,只需 a≤2 即可,不一定有 a=1, 故“a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充分不必要条件. 2π 10.C [解析] 函数 y=sin 2x 的最小正周期为 =π ,故 p 为假命题;函数 y=cos x 2 的图像关于直线 x=kπ (k∈Z)对称,故命题 q 为假,因此 p∧q 为假. 1 1 ? ? ? ? 11.?x-2<x≤1? [解析] 根据交集的定义,易得答案为?x-2<x≤1?. ? ? ? ? 12.[0,+∞) [解析] 由 A?B,可知在数轴上,a 在 0 的右边,故 a 的取值范围是[0, +∞). 13.③ [解析] 命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆命题是“若方程 x2 1 +x-m=0 有实根,则 m>0”,而当该方程有实根时,Δ =1+4m≥0,得 m≥- ,但不一 4 定有 m>0,故原命题的逆命题是假命题.易知①②④正确. 14.(-∞,0]∪(2,+∞) [解析] 由题可知,集合 A={y|y>0},B={y|y≤2},所以 A -B={y|y>2},B-A={y|y≤0},所以 A⊕B=(-∞,0]∪(2,+∞).

专题限时集训(二)A
【基础演练】
1 [解析] ①y=x+1 是非奇非偶函数;②y=-x2 是偶函数;③y= 在其单调区间上 x 是减函数;易验证 y=x|x|既是奇函数也是增函数. 2.D [解析] a=21.2>21=2,b=0.50.8<0.50=1,1=log22<c=log23<log24=2,所以 a >c>b. 3.B [解析] 因为 y=f(2x)+x 是偶函数,所以 f(-2x)+(-x)=f(2x)+x,所以 f(-2x) =f(2x)+2x,令 x=1,则 f(-2)=f(2)+2=3. ? ?x+1>0, 4.(-1,1) [解析] 由题意得? 2 解得-1<x<1,所以所求函数的定义域 ?-x -3x+4>0, ? 为(-1,1). 4? ? 4 ? ? 1? ? 1 ? ?2? 4 2 4 5. [解析] 由题意知 f? ?-3?=f?-3+1?=f?-3?=f?-3+1?=f?3?=2?3=3. 3 1.D

【提升训练】
1 1 , 得 f(x+4)= =f(x), 所以 f(2014)=f(2). 因 -f(x) -f(x+2) 1 1 1 为 f(2+2)= ,所以 f(2)=- =- =-2- 3. -f(2) f(4) 2- 3 7.B [解析] 令 F(x)=f(x)· g(x).∵函数 f(x)(x∈R)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∵函数 g(x)(x∈R)为偶函数,∴g(-x)=g(x),∴F(-x)=f(-x)· g(-x)=-f(x)· g(x)=-F(x),故函数 2 f(x)· g(x)为奇函数.对于函数 y=f(x)+g(x),取 f(x)=x,g(x)=x ,则 f(x)+g(x)=x+x2,此时 函数 f(x)+g(x)为非奇非偶函数. 1? 8.B [解析] 函数 f(x)=a|x|,由 0<|f(x)|≤1 得,0<a<1.当 x>0 时,y=loga? ?x?=-logax, 1? 其为单调增函数.又 y=loga? ? x?为偶函数,其图像关于 y 轴对称. 9.B [解析] 根据对数函数的性质,当 y=|log2x|的值域为[0,2]时,其定义域的最大区 1 ? 1 15 间为? ?4,4?,故区间[a,b]的长度的最大值为 4-4= 4 . x-1 10.A [解析] 因为当 x∈(1,+∞)时,f(x)=loga 单调递减,由复合函数单调性知, x+1 0<a<1.又函数 f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),关于原点对称且 f(-x)= ?1+x?=-f(x),故函数 f(x)为奇函数.又函数 f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,由奇函 loga? ? ?1-x? 1-x 1-x 数图像特征得 f(x)在区间(-∞,-1)也单调递减,当 x∈(0,1)时,f(x)=loga .设 u= , x+1 x+1 1-x x∈(0,1).因为 u= 单调递减,f(u)=logau 单调递减,故 f(x)单调递增,由于 f(x)是奇函 x+1 数,故 f(x)在(-1,1)上单调递增.综上可知选 A. 11.C [解析] 易知 f(x)是奇函数且 f(x)不具有周期性,故排除 A 选项;又因为在其定义 域上函数值正负相间反复变化,所以排除 D 选项;在区间(0,π )上函数值大于零,故排除 B 选项,因此只有选项 C 中的图像符合题意. + 12.A [解析] 方法一:若 f(x)=2x,则 g(x)=f(x+a)-f(x)=2x a-2x=2x(2a-1).因为 a a 为正实数,所以 2 -1>0,所以函数 g(x)=f(x+a)-f(x)都是其定义域上的增函数,因此选项 A 正确. 方法二:根据导数的定义和几何意义可知,该问题等价于函数 f(x)的导数在其定义域内 是增函数,显然只有选项 A 中的函数的导数为定义域内的增函数. - 13.y 轴 [解析] 因为 f(-x)=2 x+2x=f(x),所以函数 f(x)为偶函数,其图像关于 y 轴 对称. 6. A [解析] 由 f(x+2)=

14.(-1,1) [解析] 若 m≥0,则 0≤m<1;若 m<0,则-m>0,故 f(m)=f(-m)<f(1), 得-m<1,即-1<m<0.综上可得-1<m<1. 15.[2,+∞) [解析] 因为函数 f(x)=(x-1)2 为[0,+∞)上的 m 高调函数,所以(x+m 2 -1) ≥(x-1)2 在区间[0,+∞)上恒成立,即 2mx+m2-2m≥0 在区间[0,+∞)上恒成立, ?2m>0, ? 所以只需? 2 解得 m∈[2,+∞),所以实数 m 的取值范围是[2,+∞). ?m -2m≥0, ? 8 a2 -∞,- ? [解析] 设 x>0,则-x<0,所以 f(-x)=-9x- +7,即 x>0 时,f(x) 16.? 7? ? x 2 a =9x+ -7.当 x=0 时,f(x)=0,要使 f(x)≥a+1 对一切 x≥0 成立,则当 x=0 时,a+1≤0, x a2 8 a≤-1 成立;当 x>0 时,f(x)=9x+ -7≥2 9a2-7,即 a+1≤-6a-7,a≤- 成立.综 x 7 8 ? 上可知,a∈? ?-∞,-7?.

专题限时集训(二)B
【基础演练】
1.解:若命题 p 为真,则 Δ=a2-4a≥0,解得 a≤0 或 a≥4; a 若命题 q 为真,则 ≤1,解得 a≤2. 2 ? ?a≤0或a≥4, 若 p 真 q 假,则? 解得 a≥4; ?a>2, ? ? ?0<a<4, 若 p 假 q 真,则? 解得 0<a≤2. ?a≤2, ? 综上可知,实数 a 的取值范围为(0,2]∪[4,+∞). ? ?2+x>0, 2.解:(1)要使函数 f(x)有意义,则? 解得-2<x<2. ?2-x>0, ? ∴函数 y=f(x)的定义域为{x|-2<x<2}. (2)由(1)可知,函数 y=f(x)的定义域为{x|-2<x<2},关于原点对称,对任意 x∈(-2,2), -x∈(-2,2), ∴f(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=lg(2+x)+lg(2-x)=f(x), ∴函数 y=f(x)为偶函数. (3)∵函数 f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x2), ∴由复合函数单调性判断法则知,当 0≤x<2 时,函数 y=f(x)为减函数. 又函数 y=f(x)为偶函数,∴不等式 f(m-2)<f(m)等价于|m|<|m-2|<2, 解得 0<m<1. b 3.解:(1)∵f(1)=f(4),∴1+b=4+ ,解得 b=4, 4 4 ∴f(x)=x+ (x≠0),作出该函数的图像(草图)如图所示, x

∵函数 F(x)=f(x)-k 有且仅有一个零点 x0,且 x0>0, ∴由图像可知, 函数 y=f(x)的图像与直线 y=4 有且只有一个交点, 且交点的横坐标为 2, ∴k=4. (2)若 b<0,则函数 y=f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,满足题意; 若 b=0,则 f(x)=x(x≠0),也满足题意; 若 b>0,则函数 y=f(x)在区间(0, b)上单调递减,在区间( b,+∞)上单调递增,若要 满足函数 y=f(x)在区间(1,4)上为单调函数,则 b≤1 或 b≥4,得 0<b≤1 或 b≥16. 综上所述,b 的取值范围是 b≤1 或 b≥16.

【提升训练】
4.解:(1)由题意,对任意 x∈R,f(-x)=-f(x),即 a x-(k-1)· ax=-ax+(k-1)a x, -x x 即(k-2)(a +a )=0.因为 x 为任意实数,所以 k=2.
- -

3 1 3 - (2)由(1)知 f(x)=ax-a x,因为 f(1)= ,所以 a- = . 2 a 2 又由 a>0,得 a=2. - - - 故 f(x)=2x-2 x,g(x)=22x+2 2x-2m(2x-2 x), 令 t=2x-2 x,则 22x+2
- -2x

3 ? =t2+2,由 x∈[1,+∞),得 t∈? ?2,+∞?,

3 ? 所以 h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2,t∈? ?2,+∞?. 3 3 3 9 ,+∞?上是增函数,则 h? ?=-2,即 -3m+2=-2,解得 m 当 m< 时,h(t)在区间? ?2 ? ?2? 2 4 25 = (舍去); 12 3 当 m≥ 时,则 f(m)=-2,即 2-m2=-2,解得 m=2 或 m=-2(舍去). 2 综上可知,m 的值是 2. 5.解:(1)方法一:由已知可知任取 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立, 即-(-x)2+2|-x-a|=-x2+2|x-a|恒成立, ∴|x-a|=|x+a|恒成立,两边平方得 x2-2ax+a2=x2+2ax+a2,∴a=0. 方法二(特殊值法):因为函数 y=f(x)为偶函数,所以 f(-1)=f(1),即|1-a|=|1+a|,解 得 a=0. 1 -x2-2x+1,x< , 2 1 1 ? (2)若 a= ,则 f(x)=-x2+2? ?x-2?= 2 1 -x2+2x-1,x≥ , 2 作出函数 f(x)的图像(如图所示).

? ? ?

1 ? 由函数的图像可知,函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],? ?2,1?. (3)不等式 f(x-1)≥2f(x)化为-(x-1)2+2|x-1-a|≥-2x2+4|x-a|,即 4|x-a|-2|x-(1 +a)|≤x2+2x-1(*)对任意的 x∈[0,+∞)恒成立. 因为 a>0,所以分如下情况讨论: ①当 0≤x≤a 时,不等式(*)化为-4(x-a)+2[x-(1+a)]≤x2+2x-1,即 x2+4x+1- 2a≥0 对任意的 x∈[0,a]恒成立. 设 g(x)=x2+4x+1-2a,所以函数 g(x)=x2+4x+1-2a 在区间[0,a]上单调递增,所以 1 1 只需 g(0)≥0 即可,解得 a≤ ,又 a>0,所以 0<a≤ . 2 2 ②当 a<x≤1+a 时,不等式(*)化为 4(x-a)+2[x-(1+a)]≤x2+2x-1,即 x2-4x+1+ 6a≥0 对任意的 x∈(a,1+a]恒成立. 1 由①知,0<a≤ ,故函数 h(x)=x2-4x+1+6a 在区间(a,1+a]上单调递减,只需要 h(1 2 +a)≥0 即可, 即 a2+4a-2≥0,解得 a≤-2- 6或 a≥ 6-2. 1 1 因为 0< 6-2< ,所以由①得 6-2≤a≤ . 2 2 ③当 x>1+a 时,不等式(*)化为 4(x-a)-2[x-(1+a)]≤x2+2x-1, 即 x2+2a-3≥0 对任意的 x∈(a+1,+∞)恒成立. 又因为函数 φ(x)=x2+2a-3 在区间(a+1, +∞)上单调递增, 所以只需 φ(a+1)≥0 即可,

1 即 a2+4a≥0,解得 a≤-4 或 a≥0,由②得 6-2≤a≤ . 2 1 综上所述,a 的取值范围是 6-2≤a≤ . 2

专题限时集训(三)
【基础演练】
1.B [解析] f(x)的零点所在的范围即为函数 g(x)=ln x,h(x)=-x+2 的图像的交点的 横坐标所在的范围,作图如下:

由图可知函数 f(x)的零点所在区间为(1,2). 2.A [解析] 若 m<0,则方程 m+log2x=0(x≥1)有一解,即函数 f(x)存在零点;反之, 若函数 f(x)有零点,则 m≤0.所以“m<0”是“函数 f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点”的充分 不必要条件. π 1 3.B [解析] 画出函数 y=tan x,y= 在区间?0, ?上的图像(图略),由图可知,两个 x 2? ? π 1 函数的图像只有一个公共点,故函数 f(x)=tan x- 在区间?0, ?内零点的个数为 1. x 2? ? 4.B [解析] 已知函数 f(x)与 g(x)的图像在 R 上连续,由表可知,函数 f(x)在区间[0, 1]上的函数值由 3.011 变化到 5.432, 而函数 g(x)在区间[0, 1]上的函数值由 3.451 变化到 4.890, 所以这两个函数在区间(0,1)上有交点,即方程 f(x)=g(x)在区间(0,1)上有实数解. 1 b 5.- [解析] 因为函数 f(x)=ax+b 的零点为 x=2,所以 2a+b=0,即 =-2.由 bx2 2 a a 1 -ax=0,得 x=0 或 x= =- . b 2

【提升训练】
6.C [解析] 画出函数 y=f(x)和 y=-x+m 的图像,如图所示,则所求问题等价于两 个函数的图像有交点,由图易知 m?(0,1],故 m∈(-∞,0]∪(1,+∞).

1 [解析] ∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,∴f(0)=0,又当 x≤0 时,f(x)=2x- 2 1 0 x x 1 x+a,∴2 +a=0,解得 a=-1,故当 x≤0 时,f(x)=2 - x-1.令 f(x)=2 - x-1=0,解 2 2 得 x=-1 或 x=0,故 f(-1)=0,则 f(1)=0.综上所述,函数 f(x)的零点的个数是 3. 1 1 8.D [解析] 由 2=4-a ,可得 a=4,即 f(x)=4-4x,其零点 x1=1;由 2=4-logb , 2 2 c 1 1 2 2 1 ? 得 b= = ,即 g(x)=4-log x,其零点 x2= ;由 2=4-? ?2? ,得 c=-1,所以 h(x) 2 2 2 4 1 1 1 3 - =4-x 1,其零点 x3= .故 x1+x2+x3=1+ + = . 4 4 4 2 1?x 9.B [解析] 根据题意可知只需作出函数 y=? ?2? (x>0)的图像关于原点对称的图像,确 2 定它与函数 y=-x -4x(x≤0)的图像的交点个数即可,由图可知,只有一个交点,故选 B. 7.C

1? ? 1? ? 1? ? 1? 10.D [解析] 令 f(x)=? ?x+x?-?x-x?,易知函数 f(x)=?x+x?-?x-x?是偶函数,且

?2 1? ? 1? ?x ,x>1, ? 当 x>0 时, f(x)=?x+x?-?x-x?=? 令 g(x)=kx+1, 画出函数 f(x)和 g(x)的图像, ? ?2x,0<x≤1.
如图所示.

2? 2 2 2 设曲线 y=- (x<-1)上任意一点的坐标为? ?x0,-x0?,y′=x2,所以曲线 y=-x(x<- x 2? 2 2 2 2 1)在点? (x-x0),当该切线过点(0,1)时,有 1+ = 2(0- ?x0,-x0?处的切线方程为 y+x0=x2 x x0 0 0 1? 1 x0), 得 x0=-4, 此时切线的斜率 k= .由图易知当直线 g(x)=kx+1 的斜率 k∈? g(x) ?0,8?时, 8 1 与 f(x)的图像有五个交点.根据对称性可得当- <k<0 时,g(x)和 f(x)的图像也有五个交点, 8 1 1 ? ? ? 则 k∈? ?-8,0?∪?0,8?. 1? 1 1 11.C [解析] 当 x∈? ?0,8?时,0≤2x<4,0≤4x<2,0≤8x<1, f(x)=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+0=0; 1 2? 1 1 1 , 时, ≤2x< , ≤4x<1,1≤8x<2, 当 x∈? ?8 8? 4 2 2 f(x)=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+1=1. 2 3? 同理可得,x∈? ?8,8?时,f(x)=0+1+2=3; 3 4? x∈? ?8,8?时,f(x)=0+1+3=4; 4 5? x∈? ?8,8?时,f(x)=1+2+4=7; 5 6? x∈? ?8,8?时,f(x)=1+2+5=8; 6 7? x∈? ?8,8?时,f(x)=1+3+6=10; 7 ? x∈? ?8,1?时,f(x)=1+3+7=11;x=1 时, f(1)=2+4+8=14. 故 A 中所有元素的和为 0+1+3+4+7+8+10+11+14=58.

12.(1,+∞) [解析] 函数 f(x)有三个零点等价于方程

1 =m|x|有且仅有三个实根. 由 x+2

1 1 =m|x|,得 =|x|(x+2),作函数 y=|x|(x+2)的图像,如图所示,由图像可知,m 应满足 m x+2 1 0< <1,故 m>1. m

1 13.x= 2

[解析] 依题意,令 f(x)-log2x=a,a 是常数,则 f(a)=1,所以 log2a=1-a,

1 解得 a=1,所以 f(x)=1+log2x.令 f(x)=0,解得 x= . 2 2+ 8 [解析] 当 x>1 时, ln x>0, 此时 f(x)=2x+1-x2, 令 x2-2x-1=0, 解得 x= 2 2 2 =1+ 2;当 x=1 时,ln x=0,此时 f(x)=1-x ,令 1-x =0,解得 x=1;当 0<x<1 时, - 2+ 8 ln x<0,此时 f(x)=-2x+1-x2,令 x2+2x-1=0,解得 x= =-1+ 2.综上可知, 2 2 函数 f(x)=2x?g(ln x)+1-x 有 3 个零点. 15.0 [解析] 作出函数 f(x),g(x)的图像如下图所示,由图知两交点的横坐标互为相反 数,因此 m=0. 14. 3

1 [解析] 解方程|log0.5x|=2,得 x= 或 x=4.令 y=0,即|log0.5x|=0,得 x=1.由于 4 1 函数 y=|log0.5x|在定义域[a,b]上的值域为[0,2],则必有 a= 或 b=4. 4

3 16. 4

1 1 3 ①当 a= 时,则 1≤b≤4,此时区间[a,b]的长度的最小值为 1- = ; 4 4 4 1 ②当 b=4 时,则 ≤a≤1,此时区间[a,b]的长度的最小值为 4-1=3. 4 3 综上所述,区间[a,b]的长度的最小值为 . 4

专题限时集训(四)A
【基础演练】
1.B [解析] 集合 B=(-∞,-1)∪(1,+∞),所以 A∩B=(1,2). 2.B [解析] 集合 M=(-1,1),集合 N=(0,1),显然 N?M,B 正确. 3.B [解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示,根据目标函数的几何意 义,可得在点(1,0)处目标函数取得最大值 1.

1 1 b 4.A [解析] 对于选项 A 中的不等式, - = <0,故选项 A 中的不等式 a-b a a(a-b) 不成立;根据不等式的性质,其余选项中的不等式均成立. x+y x+y ? x+y ?2 1 5.C [解析] ? ≥ = ,当且仅当 x=y 时,等号成立, ?= 2 x + y + x + y x + y + 2 xy x + y ? ? 所以?

? x+y ? ? = ? x+ y?min

1 2 = . 2 2

【提升训练】
6.B [解析] 集合 A=(-1,3),集合 B=(-1,+∞),所以?BA=[3,+∞). 7.D [解析] 集合 A=[1,5],集合 B=(2,+∞),所以 A∩B=(2,5]. 1 1? 1 1 n 8. B [解析] 根据已知可得 2m=1-n, 即 2m+n=1.故 + =(2m+n)? ?m+n?=3+m+ m n 2- 2 2m n 2m ≥3+2 ? =3+2 2,当且仅当 n= 2m,即 m= ,n= 2-1 时等号成立. n m n 2 2 2 (a2+b2) ?2ab 3 a2+b2-c2 3 2 9.D [解析] 由余弦定理得 cos C= = ≥ = ,当且仅当 a 2ab 2ab 2ab 3 =b 时等号成立. 10.2 [解析] 图中阴影部分即是不等式组所表示的平面区域,由图知 z=x-y 在直线 x -3y=0 和 2x+3y-9=0 的交点(3,1)处取得最大值 2.

11.2 [解析] 作出不等式组表示的平面区域,即可行域如图中阴影部分所示.直线 x +2y-a=0 与 x 轴交于点 A(a,0),目标函数为 z=3x+y,当直线 y=-3x+z 过可行域内点 A(a,0)时,z 恰好取得最大值 6,即 zmax=3a+0=6,得 a=2,即直线 x+2y-a=0 过点(2, 0),故 a=2.

12. 9 [解析] 因为 x, y 均为正实数, 所以 x+y≥2 xy, 所以 xy=x+y+3 可化为 xy≥2 xy +3,即( xy-3)( xy+1)≥0,所以 xy≥3,即 xy≥9,当且仅当 x=y 时等号成立. 13.9 [解析] 由 2ab=a+b+12,得 2ab≥2 ab+12,当且仅当 a=b 时取等号,化简 得( ab-3)( ab+2)≥0,则 ab≥9,所以 ab 的最小值是 9. 14. 8 2 [解析] 因为 f(x)=x3-(a+b)x2+abx, 所以 f′(x)=3x2-2(a+b)x+ab, 所以 f′(0) 2 2 =ab=4,所以 a +2b ≥2 2ab=8 2,当且仅当 a= 2b 时等号成立. 2x-y+2≥0, ? ?8x-y-4≤0, [解析] 作出不等式组? 所表示的平面区域如图中阴影部分所示, x≥0, ? ?y≥0

15.4

直线 2x-y+2=0 与直线 8x-y-4=0 交于点 A(1,4).作直线 l:z=ax+by,由于 a>0,所 以 z 可视为直线 l 在 x 轴上的截距的 a 倍,当直线 l 经过可行域内的点 A 时,直线 l 在 x 轴上 1 1 a+4b? 的截距最大,此时 z 取最大值,即 zmax=a· 1+b· 4=a+4b=8,因此 ab= ?a?4b≤ ?? 4 4 ? 2 ? 2 1 ?8?2 = ??2? =4,当且仅当 a=4b,即 a=4,b=1 时等号成立. 4

专题限时集训(四)B
【基础演练】
1.B [解析] 作出约束条件对应的可行域如图所示.当直线 z=2x+y 过可行域上的点 A(2,2)时,z 取得最大值 6;当直线 z=2x+y 过可行域上的点 B(1,1)时,z 取得最小值 3.故 最大值与最小值的比值为 2.

x+y 1 1 2.C [解析] 由已知 x+y+ + =5,得 x+y+ =5. x y xy (x+y)2 x+y 1 4 4 4 ∵xy≤ ,∴ ≥ ,即 ≥ ,∴x+y+ ≤5. 4 xy (x+y)2 xy x+y x+y 4 设 x+y=t,则有 t+ ≤5,即 t2-5t+4≤0,解得 1≤t≤4, t ∴x+y 的最大值是 4. 3.C [解析] 不等式组所表示的平面区域如图所示的,根据目标函数的几何意义可得, 6 在点 B(1,6)处目标函数取得最大值,且 zmax= =6. 1

4.[-2,4] [解析] 由绝对值的几何意义可知 a 到 1 的距离小于等于 3,即|a-1|≤3, 解得-2≤a≤4,即 a∈[-2,4].

【提升训练】
5.D x-y≥0, ? ?2x+y≤2, [解析] 不等式组? 中前三个不等式所表示的平面区域的三个顶点分别 y≥0, ? ?x+y≤a

2 2? 为(0,0),(1,0),? ?3,3?,第四个不等式 x+y≤a 表示的是斜率为-1 的直线 x+y-a=0 的 下方.由图①可知,当 0<a≤1 时,不等式组所表示的平面区域是一个三角形;由图②可知, 4 当 a≥ 时,不等式组所表示的平面区域也是一个三角形,故选 D. 3

① ② 1 1 1 1 a-b (a-b)(ab+1) a+ ?-?b+ ?=(a-b)+? - ?=(a-b)+ 6.A [解析] ? = .∵ ? b? ? a? ?b a? ab ab (a-b)(ab+1) 1 1 a>b>0,∴a-b>0,ab>0,∴ab+1>1>0,∴ >0,∴a+ >b+ ,选项 A ab b a 1 1 1 1 1 5 1 1 正确;对于选项 B,取 a=1,b= ,则 a+ =1+ =2,b+ = +2= ,故 a+ >b+ 不成 2 a 1 b 2 2 a b b b+1 立;对于选项 C,若 > 成立,则有 b(a+1)>a(b+1),即 ab+b>ab+a?b>a,这与已知 a a+1 1 1 1 1 条件矛盾,故选项 C 错误;对于选项 D,若有 b- >a- ,则有 b+ >a+ ,这与选项 A 矛 b a a b 盾,故选项 D 错误. ?2a+2b+c=0, ? 7 . A [ 解析 ] 由图知直线 ax + by + c = 0 经过 A, B 两点,即? 解得 ? ?a-b+c=0, a b=- , 3 c ? =4. b 4 c=- a 3

? ? ?

8.D [解析] 平面区域如图所示,其中 O(0,0),A(2,0),B(1,2),C(0,1),目标函 数的几何意义是区域内的点(x,y)到点(-1,-1)的距离的平方,显然在平面区域的顶点处取 得最大值,分别代入计算可知其最大值为 13.

→ → ? ?|OP?OM|≤12 → → → [解析] 由题知OP=(3,3),OM=(x,y),OQ=(3,-3),则? ? → → ? ?|OQ?OM|≤12 ? ? | x + y | ≤ 4 - 4 ≤ x + y ≤ 4 , ? ? ? ?? 则点 M 所构成的正方形平面区域如图所示,其面积为(4 2)2= ?|x-y|≤4 ? ?-4≤x-y≤4, ? 32. 9.C

10.C [解析] 设 A 型车和 B 型车的辆数分别为 x,y,则租金为 z=1600x+2400y 元, 依题意,x,y 还需满足:x+y≤21,y≤x+7,36x+60y≥900.于是问题等价于求满足约束条 x+y≤21,

? ?y≤x+7, 件? 的目标函数 z=1600x+2400y 的最小值. 36x+60y≥900, ? ?x,y≥0,x,y∈N
可行域如图所示,

可行域的三个顶点分别为 P(5,12),Q(7,14),R(15,6). 由图可知,目标函数 z=1600x+2400y 在 P(5,12)处,取得最小值,且 zmin=1600?5+ 2400?12=36 800(元). 11.[-1,7] [解析] 原不等式可化为 x2-6x-7≤0,解得-1≤x≤7. 12.(-3,21) [解析] S9=9a1+36d=x(a1+2d)+y(a1+5d),由待定系数法得 x=3,y =6.因为-3<3a3<3,0<6a6<18,两式相加即得-3<S9<21. 13.2π [解析] 由 f(x)+f(y)=x2-2x+y2-2y≤2,可得(x-1)2+(y-1)2≤4,所以点集 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤2}就是以(1,1)为圆心,以 2 为半径的圆面的 f(x)-f(y)=x2-2x-y2+ ?x-y≥0, ?x-y≤0, ? ? 2y≥0,可得(x-y)(x+y-2)≥0,即? 或? 所以点集 N={(x,y)|f(x)- ?x+y-2≥0 ? ?x+y-2≤0, ? f(y)≥0}就是上述两个不等式组所表示的平面区域. 1 故 M∩N 所构成平面区域如图阴影部分所示,其面积 S= ?π ?22=2π . 2

1 x2+ax+7+a ,+∞? 14. ? [ 解 析 ] 由 ≥ 4 , x∈N* 恒 成 立 , 得 ?3 ? x+1 (x+1)2+(a-2)x+6+a ≥4 恒成立, x+1 (x+1)2+(a-2)(x+1)+8 8 即 =x+1+a-2+ ≥4 恒成立, x+1 x+1 8 8 则 a≥6-?(x+1)+x+1?恒成立.因为 6-(x+1)+ 的最大值为 6-4 2,当且仅 ? ? x+1 8 当 x=2 2-1 时取得最大值,且 x∈N*,所以易知当 x=2 时,6-?(x+1)+x+1?取得最 ? ? 1 1 大值 ,故 a≥ . 3 3

y?2 y 15.[-1,+∞) [解析] 由题意,不等式 a≥ -2? ,x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立.令 x ?x? 1 2 1 y t- ? + , t= , 则 1≤t≤3, 所以 a≥t-2t2 在[1, 3]上恒成立. 令 h(t)=t-2t2=-2? ? 4? 8 则 h(t)max x =h(1)=-1,所以 a≥-1.

专题限时集训(五)
【基础演练】
2π 1 1.C [解析] y=sin xcos x= sin 2x,故其最小正周期为 =π . 2 2 π π 2.B [解析] 把函数 y=sin?x+ ?(x∈R)的图像上所有的点向左平移 个单位长度, 4 ? 6? 5 π π π 得到函数 y=sin?x+ + ?=sinx+ (x∈R)的图像,再把所得图像上各点的横坐标扩大到 12 ? 4 6? 1 5π 原来的 2 倍,得到函数 y=sin? x+ ?(x∈R)的图像. ?2 12 ? π π 5π π 3.C [解析] y=cos?2x+ ?=sin? +?2x+ ??=sin?2x+ ?,所以只需把函数 y= 3? 6 ? 3 ?? ? ? ?2 ? 5π π sin 2x 的图像向左平移 个单位长度即可得到函数 y=cos?2x+ ?的图像. 12 3? ? 2 4.- [解析] 由 a∥b,可得-3sin θ =2cos θ ,又易知 cos θ ≠0,所以 tan θ =- 3 2 . 3 π 2 2 3 5.- [解析] ∵α∈? ,π ?,sin α = , 3 3 ?2 ? 6 3?2 =- , 3 ?3? 3 2 2 6 ∴sin 2α =2sinα cosα =2? ??- ?=- . 3 ? 3? 3 ∴cos α =- 1-sin2α =- 1-?

【提升训练】
T 6.B [解析] 由题知 xB-xA=3= ,所以 T=6,xA=-1,y 轴左侧距离 y 轴最近的最 2 低点的横坐标为-4,所以 f(x)的单调递增区间是[6k-4,6k-1](k∈Z). π π 7.D [解析] 当 0≤θ< 时,d=2cosθ ;当 <θ<π 时,d=2cos(π -θ)=-2cos θ . 2 2 故选 D. π π 8.A [解析] 函数 f(x)=sin(2x+φ)向左平移 个单位得函数 y=sin?2?x+ ?+φ?的图 6 ? ? 6? ? π π π π 像, 又其为奇函数,故 +φ=kπ ,k∈Z,解得φ =kπ - ,k∈Z.又|φ|< ,所以 φ=- , 3 3 2 3 π π π 3 所以 f(x)=sin?2x- ?.因为 x∈?0, ?,所以 sin ?2x- ?∈?- ,1?,易知当 x=0 时, 3? 2? 3? ? 2 ? ? ? ? 3 f(x)min=- . 2 2π 7π π ? 9. A [解析] 由题意知 A=1, T=4? ω= =2, 所以 f(x)=sin(2x+φ). 又 T ? 12 - 3 ?=π , π π π π π |φ|< ,将点? ,0?代入 f(x)=sin(2x+φ),得 φ= ,故 f(x)=sin?2x+ ?=sin 2?x+ ?, 2 3 3? ?3 ? ? ? 6? π 因此可以将 f(x)的图像向右平移 个单位长度得到函数 g(x)=sin 2x 的图像. 6 π 10.B [解析] 将 f(x)= 3sin 2x-cos 2x=2sin?2x- ?的图像向左平移 m 个单位,得 6? ? π π π kπ π 到函数 g(x)=2sin?2x+2m- ?的图像, 由题意得 2? +2m- =kπ + (k∈Z), 即 m= 6 6 2 2 6? ?

π π π + (k∈Z).又∵m>- ,∴当 k=-1 时,m 取得最小值- . 6 2 3 2 5 11. [解析] 由 f(x)=sin x+2cos x,可得 f(x)= 5sin(x+φ),其中 tanφ =2,当 x 5 π π 2 5 +φ= +2kπ (k∈Z)时,函数 f(x)取得最大值,所以 cosθ =cos? -φ+2kπ ?=sinφ = . 2 5 ?2 ? π 2π π 3π π 3π π 2 12. - [解析] g(x)=sin?3?x- ?+ ?=sin?3x- ?, 由 ≤x≤ , 得 ≤3x- 2 3 3 4 4 4 ? ? ? ? 3? 4? 5π 3π 5π 5π 2 2 ≤ ,所以当 3x- = ,即 x= π 时,g(x)取得最小值,且 g(x)min=sin =- . 4 4 4 3 4 2 sin α + 3cos α = 5 , ? 4 13.- [解析] 由? 2 3 ?sin α +cos2α =1,

?cos α = 55, ?cos α =2 5 5, 1 解得? 或? 所以 tanα =2 或- . 2 2 5 5 sin α = sin α =- , ? ? 5 5
1 - ? 2?? 2 ? ? 1 4 当 tanα =- 时,tan 2α = =- ; 2 1 3 1- 4 2?2 4 4 当 tanα =2 时,tan 2α = =- .故 tan 2α =- . 3 3 1-4 π 14.解:(1)∵f(x)= 3sin 2x+cos 2x+1=2sin?2x+ ?+1, 6? ? 5 π π 4 π 8 π π ∴f? ?=2sin? + ?+1=2sin +1=2sin +1=2. 6 6 6? ? 3 ? ? 3 π (2)由(1)知 f(x)=2sin?2x+ ?+1. 6? ? π π π 7π ∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?, 6 ?6 2? 6 ? ? π 1 ∴- ≤sin?2x+ ?≤1, 2 6? ? π ∴0≤2sin?2x+ ?+1≤3. 6? ? π 故当 x∈?0, ?时,函数 f(x)的值域是[0,3]. 2? ? π 2π ? 15.解:(1)∵? ,1?和? ?6 ? ? 3 ,-3?分别是函数 f(x)图像上相邻的最高点和最低点, T 2π π = - , 2 3 6 T=π , ? ? 2π ∴ ω= , 解得?c=-1, T ? ?ω=2, π π? ? 2sin ω + +c=1, 6? ?6 π ∴f(x)=2sin?2x+ ?-1. 6? ? π π π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,解得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 2 6 2 3 6 π π ∴函数 f(x)的单调递增区间是?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 3 6? ?

? ? ? ? ?

1 → → (2)在△ABC 中,AB?BC=- ac, 2 π 1 ∴accos(π -B)=- ac.又 0<B<π ,∴B= , 2 3 2π 2π ∴A+C= .又 0<C<π ,则 0<A< , 3 3 2π ∴M=?0, ?. 3 ? ? π π 3π 当 x∈M 时, <2x+ < 6 6 2 π ∴-1<sin?2x+ ?≤1, 6? ? ∴-3<f(x)≤1,即函数 f(x)的值域是(-3,1]. 1 16.解:(1)f(x)=λsin xcos x-cos2x+sin2x= λ sin 2x-cos 2x. 2 π ∵f?- ?=f(0), ? 3? ∴λ =2 3, π ∴f(x)=2sin?2x- ?, 6? ? kπ π 故函数 f(x)的图像的对称轴为 x= + (k∈Z), 2 3 π 5π 函数 f(x)的单调递减区间为?kπ + ,kπ + ?(k∈Z). 3 6 ? ? cos A a (2) =- ,由正弦定理,可变形为 sin(A+B)= cos B b+2c -2cos Asin C.又 0<C<π ,∴sin C≠0, 2π 1 ∴cos A=- ,∴A= , 2 3 2π π 1 ∴x∈?0, ?,∴- ≤sin?2x- ?≤1, 2 3 ? 6? ? ? - 1 , 2 ]. ∴f(x)∈[

专题限时集训(六)A
【基础演练】
AB AC 3 1 3 由 = ,即 = ,得 sin C= ,所以 C=120°(C=60° sin C sin B sin C 1 2 2 1 3 舍去).又 B=30°,所以 A=30°,所以 S△ABC= AB?AC sin A= . 2 4 2 c 2.B [解析] 易知 C=30°.由正弦定理得 = ,所以 c=1. sin 45° sin 30° π 1 3 1 3 3.B [解析] f(x)=sin 2x- sin 2x- cos 2x= sin 2x- cos 2x=sin?2x- ?,易知 2 2 2 2 3? ? f(x)的最小值为-1. 1 1 4.C [解析] sin4θ +cos4θ =(sin2θ +cos2θ )2-2sin2θ cos2θ =1- sin22θ =1- (1- 2 2 1 1 5 1- ? = . cos22θ )=1- ? 2? 9? 9 π 5. [解析] 由正弦定理及已知,得 a2+c2-b2= 3ac, 6 a2+c2-b2 π 3 3 ∴ = ,即 cos B= ,∴B= . 2ac 2 2 6 1.C [解析]

【提升训练】
π 1+cos?2α - ? 2 ? 1+sin 2α ? π 6.C [解析] cos2?α - ?= = = 2 2 4? ? 1 1+ 3 2 = . 2 3 π 1 CA· CB· sin 2 3 3 3 7.B [解析] 由题意得 = ,所以 CA· CB=3.在△AOB 中,由 OA=OB π ?12 4π 2π 1 → → = 1 , OA ? OB =- ,得∠AOB = ,所以 AB = 3. 由余弦定理得 AB2 = CA2 + CB2 - 2 3 π 2CA?CB?cos ,即 CA2+CB2=6,结合 CA· CB=3,得 CA=CB= 3,所以△ABC 为等边 3 三角形. 8.A [解析] 依题意得 sin2A-sin2B= 2sin Asin C-sin2 C, ∴由正弦定理可得 a2-b2= 2ac-c2,∴a2+c2-b2= 2ac, a2+c2-b2 π 2 ∴cos B= = ,∴B= . 2ac 2 4 9.C [解析] 设内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则由已知条件可知 bccos A=7, 1 1 a=6.根据余弦定理可得 36=b2+c2-14,所以 b2+c2=50,所以 bc≤25.S△ABC= bcsin A= 2 2 1 49 1 1 bc 1-cos2A= bc 1- = (bc)2-49≤ 252-49=12, 当且仅当 b=c=5 时等 2 2 (bc)2 2 号成立,故所求最大值为 12. → → → → → → 10.A [解析] 由于 G 为△ABC 的重心,所以GA+GB+GC=0,即GC=-GA-GB, 1 2 2 1 2 c +c - c 2 2 2 3 3 b + c - a 3 3 → 3 → 所以?a- c?GA+?b- c?GB=0,所以 a=b= c,所以 cos A= = 3 2bc 3 ? 3 ? ? ? 3 2? c?c 3

π 3 .又 0<A<π ,所以 A= . 2 6 π 24 4 3 3 11. - [解析] 因为 α∈?- ,0?, 所以 sinα =- , tanα =- , 7 5 4 ? 2 ? cos(π -α)=-5, 2tan α 24 所以 tan 2α = =- . 7 1-tan2α 1 4 2 1 3 12. 11 [解析] △ABC 的面积 S= ? 3? = 3, 又 S= AC? BC? sin C= AC? BC, 2 3 3 2 4 8 所 以 AC· BC= .根据余弦定理有 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos C=(AC+BC)2-3AC?BC, 3 8 所以(AC+BC)2=3+3? =11,所以 AC+BC= 11. 3 a2+b2-2abcos 120° BC 13. 2 [解析] 设△ABC 外接圆的半径为 R, 则 2R= = sin 120° 3 2 a+b?2 4-? 2 (a+b) -ab ? 2 ? = ≥ =2,当且仅当 a=b=1 时等号成立. 3 3 2 2 π 1 14.解:(1)由已知可得 1+cos B= 3sin B,∴sin?B- ?= . 6? 2 ? π π 又 0<B<π ,∴B= ,∴C=π -A-B= , 3 4 b 6 ∴c= ?sin C= . sin B 3 π (2)由(1)知 B= ,∴由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B. 3 1 1 3 又 a=2c,∴c2= ,∴△ABC 的面积 S= acsin B= . 3 2 6 1+cos C 1+cos A 3 C A 15.解:(1)证明:∵acos2 +ccos2 =a· +c· = b, 即 a(1+cos C)+c(1 2 2 2 2 2 +cos A)=3b, ∴由正弦定理可得 sin A+sin Acos C+sin C+cos Asin C=3sin B, 即 sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B, ∴sin A+sin C=2sin B. ∴由正弦定理可得 a+c=2b, 故 a,b,c 成等差数列. (2)由 B=60°,b=4 及余弦定理得 42=a2+c2-2accos 60°, ∴(a+c)2-3ac=16. 又由(1)知 a+c=2b, ∴有 4b2-3ac=16,即 64-3ac=16, 解得 ac=16, 1 1 ∴△ABC 的面积 S= acsin B= acsin 60°=4 3. 2 2 =

专题限时集训(六)B
【基础演练】
π 1.解:(1)f(x)=2 3sin x?cos x+2cos2x+m=2sin?2x+ ?+m+1. 6? ? π π π 5π 因为 x∈?0, ?,所以 2x+ ∈? , ?, 6 ?6 3? 6 ? ? π π π π 所以当 2x+ = ,即 x= 时,函数 f(x)在区间?0, ?上取得最大值, 6 2 6 3? ? π 此时,f(x)max=f? ?=m+3=2,得 m=-1. ?6? π (2)因为 f(A)=1,所以 2sin?2A+ ?=1, 6? ? π π 1 即 sin?2A+ ?= ,又 0<A<π ,所以 A= . 3 6? 2 ? a b c 因为 sin B=3sin C, = = ,所以 b=3c.① sin A sin B sin C 9 3 1 1 3 9 3 因为△ABC 的面积为 ,所以 S= bcsin A= bc? = ,即 bc=9.② 4 2 2 2 4 由①②,得 b=3 3,c= 3. 因为 a2=b2+c2-2bccos A=21,所以 a= 21. 2.解:(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B. 又 A=π -(B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. π 又 0<C<π ,所以 sin B=cos B.又 B∈(0,π ),所以 B= . 4 1 2 (2)△ABC 的面积 S= acsin B= ac, 2 4 π 由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accos , 4 4 又 a2+c2≥2ac,故 ac≤ ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2- 2 因此△ABC 的面积的最大值为 2+1. 3.解: (1)f(x)=(sin x+ 3cos x)cos x=sin xcos x+ 3cos 2x π 1 3 3 3 = sin 2x+ cos 2x+ =sin?2x+ ?+ , 2 2 2 3? 2 ? ? 3-2 3+2?. 所以函数 f(x)的值域是? ? ? 2 , 2 ? π π 3 3 (2) 由 f(A)=sin?2A+ ?+ = ,得 sin?2A+ ?=0. 2 3? 2 3? ? ? π 又 A 为锐角,所以 A= .又 b=2,c=3, 3 π 所以 a2=4+9-2?2?3?cos =7,a= 7. 3 a b 3 2 由 = ,得 sin B= .又 b<a,从而 B<A,则 cos B= , sin A sin B 7 7 1 2 3 3 5 7 所以 cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B= ? + ? = . 2 7 2 7 14

【提升训练】
4.解:(1)∵f(x)= 1+cos 2x 3 π 3 3 3 sin 2x+cos2x- = sin 2x+ - =sin?2x+ ?-1, 2 2 2 2 2 6? ?

2π ∴f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π π π 7π ∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?, 6 ?6 2? 6 ? ? 1 π - ,1?,∴f(x)的最大值为 0. ∴sin?2x+ ?∈? 6? ? 2 ? ? π 1 1 (2)由 f(A)=- ,得 sin?2A+ ?= . 2 6 ? ? 2 π π 13π π 5π π 又∵ <2A+ < ,∴2A+ = ,∴A= . 6 6 6 6 6 3 2 2 2 方法一:由余弦定理得,a =b +c -2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2- 3(b+c)2 (b+c)2 = ,当且仅当 b=c=2 时取等号即 b+c≤ 4a2=4, 4 4 ∴a+b+c≤6,∴L=6. 2 b c 4 3 4 3 方法二:由正弦定理得 = = ,即 b= sin B,c= sin C, sin B sin C 3 3 π sin 3 2π π 2π 4 3 4 3? ?? ? π? ∴b+c= (sin B+sin C)= sin B+sin? 3 3 ? ? 3 -B??=4sin?B+ 6 ?.∵0<B< 3 ,∴ 6 π 5π <B+ < , 6 6 π 1 ∴ <sin?B+ ?≤1,∴b+c≤4,∴a+b+c≤6,∴L=6. 2 6? ? 2π 4π 3 5.解:(1)证明:由题意知, = ,解得 ω= . 3 2 ω sin B+sin C 2-cos B-cos C ∵ = , sin A cos A ∴sin Bcos A+sin Ccos A=2sin A-cos Bsin A-cos Csin A, ∴sin Bcos A+cos Bsin A+sin Ccos A+cos Csin A=2sin A, ∴sin(A+B)+sin(A+C)=2sin A, ∴sin C+sin B=2sin A,故 b+c=2a. (2)∵b+c=2a,b=c,∴a=b=c,∴△ABC 为等边三角形. 1 3 3 S 四 边 形 OACB = S △ OAB + S △ ABC = OA ? OBsin θ + AB2 = sin θ + (OA2 + OB2 - 2 4 4 π 5 3 5 3 2OA· OBcos θ )=sinθ - 3cosθ + =2sin?θ - ?+ . 4 4 3? ? π π 2π ∵θ ∈(0,π ),∴θ- ∈?- , ?, 3 ? 3 3 ? π π 5π 5 3 当且仅当 θ- = , 即 θ= 时 S 四边形 OACB 取最大值, 故 S 四边形 OACB 的最大值为 2+ . 3 2 6 4

专题限时集训(七)
【基础演练】
[解析] 因为向量 a 在 b 方向上的投影是|a|cos〈a,b〉 ,又 a· b 1 1 cos〈a,b〉= = = ,所以|a|cos〈a,b〉=1. |a|· |b| 2?1 2 2.A [解析] 由题意得 a· c=a· (a+b)=a2+a· b=1+|a|· |b|cos 120°=1-1=0,则 c⊥a. → → 3.A [解析] 由AB?BC>0,可得角 B 为钝角,此时△ABC 是钝角三角形,条件是充 → → 分的;反之,当△ABC 是钝角三角形时,角 B 不一定为钝角,故不一定有AB?BC>0,条件 → → 是不必要的.故“AB?BC>0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件. a?b -5 2π 1 4.C [解析] 易知|a|=5,cos〈a,b〉= = =- ,即向量 a 与 b 的夹角为 . |a||b| 5?2 2 3 2 2 2 5.4 60° [解析] 由|a-b|= 13,平方得 a -2a· b+b =13,代入已知条件得 b =16, a· b 6 1 得|b|=4,所以 cos〈a,b〉= = = ,所以〈a,b〉=60°. |a||b| 3?4 2 1.D

【提升训练】
→ 6.B [解析] |AB|= cos218°+cos272°= cos218°+sin218°=1, → |BC|= 4cos263°+4cos227°= 4cos263°+4sin263°=2, → → AB? BC=2cos 18°? cos 63°+2cos 72°? cos 27°=2cos 18°· cos 63°+2sin 18°? sin → → 63°=2cos 45°= 2.设AB与BC的夹角为 α, → → AB?BC 2 所以 cos α = = ,得α =45°,所以三角形的内角 B=135°,因此△ABC 2 → → |AB|?|BC| 1→ 2 → 的面积 S= |AB|?|BC|?sin 135°= . 2 2 → → 7.B [解析] 设外接圆的圆心为 O,CO与OP的夹角为 θ(θ∈[0,π ]),在正三角形 ABC → → → → → → → → → → → → → → 中, 易知|OA|=|OB|=|OC|=|OP|=1, 则AP? PB=(OP-OA)· (OB-OP)=OP? (OA+OB)-OP 3 1? 1 1 → → → → 1 → → → → 2 -OA? OB=OP? CO- =|OP|? |CO|cosθ - =coθ - , 所以AP? PB的取值范围为? ?-2,2?. 2 2 2 → → 8.C [解析] 如图所示,由于BC=CD,点 O 在线段 CD 上,故存在实数λ ∈(0,1), → → 使得CO=λCD, → → → → → → → → → → → → → ∴AO=AC+CO=AC+λCD=AC+λBC=AC+λ(AC-AB)=-λAB+(1+λ)AC.又AO= → → xAB+(1-x)AC,∴x=-λ.又 0<λ <1,∴-1<-λ<0,即-1<x<0.

9.B [解析] 显然 AC⊥BC,以点 C 为坐标原点,射线 CA,CB 分别为 x 轴、y 轴的正 → → → 方向建立平面直角坐标系,则 C(0,0),A(3,0),B(0,4).设CP=CA+λAB=(3,0)+λ(-3, → → → → → 4)=(3-3λ,4λ),其中 0≤λ≤1,则CP?(BA-BC)=CP?CA=(3-3λ,4λ)· (3,0)=9-9λ ≤ → → → 9,故CP?(BA-BC)的最大值为 9. 1 10.D [解析] 由 a· (a+2b)=0 且|a|=1,得 a· b=- ,得〈a,b〉=120°.在平面直角 2

1 3 坐标系中,设 a=(1,0),b=?- , ?,则 a+2b=(0, 3).设 c=(x,y),由|c-a-2b| 2 2 ? ? =1 得 x2+(y- 3)2=1,即向量 c 的终点在圆 x2+(y- 3)2=1 上,所以|c|的最大值为 3+1. 11. 61 [解析] 由|4a-b|2=16a2-8a· b+b2=16-8?5cos 120°+25=61,得|4a-b| = 61. (1+ai)(1-i) 12.2+i [解析] =2-i?(1+ai)(1-i)=(2-i)?(b+i)?1+a+(a- b+i ?1+a=2b+1, ?a=2, ? ? 1)i=2b+1+(2-b)i,所以? 解得? ? ? ?a-1=2-b, ?b=1. 1 → → → → → → → → 13.-2 [解析] 由OP=OA+λ(AB+AC),得AP=λ(AB+AC),当λ = 时,由|AP|=2, 2 → → → → → 得AB+AC=2AP,所以|AB+AC|=4. → → → → → → → → → → → → → → → → 又PA?PB+PA?PC=PA?(PB+PC)=PA?(AB-AP+AC-AP)=-λ(AB+AC)· [AB+AC 1 → → → → 2 2 -2λ(AB+AC)]=λ(2λ-1)· (AB+AC) =16(2λ -λ),当 λ= 时上式有最小值-2. 4 4 2 49 t- ? + , 14. 解: (1)a+tb=(2t-3, 2+t), |a+tb|2=(2t-3)2+(2+t)2=5t2-8t+13=5? ? 5? 5 4 7 5 当 t= 时,|a+tb|取得最小值 . 5 5 3 (2)a-tb=(-3-2t,2-t),因为 a-tb 与 c 共线,所以 3+2t-6+3t=0,即 t= . 5 → → → → 13 15.解:(1)原式=AP1?(AB+AP2)=2AP2 . 1= 8 1 1 0可取到, 取不到?之间的任何一个值均可. (2)(i)写 0 到 ? 2 ? 2? → → 理由是:此时向量PA与PC之间的夹角为锐角. → → → → (ii)PA?PC=|PC||PA|cos∠APC. → → ①当 P 在线段 BP2 上时,PA?PC≥0; → → ②当 P 在线段 P2C 上时,PA?PC≤0. → → → → → → → → 要使PA?PC最小, 则 P 必在线段 P2C 上, 设|PC|=x,则PA? PC=|PC||PA|cos∠APC=|PC 1 → |?(-|PP2|)=x2- x. 2 1 5 → → 当 x= ,即当 P 在 P3 时,PA?PC最小,此时 cos∠PAB= 13. 4 26 16.解:(1)∵m=(1,sin 2x),n=(cos 2x, 3),f(x)=m· n, π ∴f(x)=cos 2x+ 3sin 2x=2sin?2x+ ?. 6? ? π ∵f(A)=1,∴2sin?2A+ ?=1. 6? ? π π 13π 又 0<A<π ,∴ <2A+ < , 6 6 6 π 5π π ∴2A+ = ,∴A= . 6 6 3 b2+c2-a2 1 (2)由余弦定理知 cos A= = . 2bc 2 2 2 ∵a= 3,∴b +c -bc=3. ∵b+c=3,∴bc=2,

1 3 ∴S△ABC= bcsin A= . 2 2

专题限时集训(八)
【基础演练】
1.C 3?2 [解析] 由 a5=a1+4d=8,S3=3a1+ d=6,解得 a1=0,d=2,所以 a9=0+ 2 8?2=16. 2. C [解析] 设数列{an}的公比为 q.易知 a5 是 a2 和 a8 的等比中项, 因此 a2 5=a2a8=1?64 a5 =64.又由于 =q3,所以 a5 与 a2 的符号可能相同,也可能不相同,因此 a5=± 8. a2 7?(a1+a7) 3. C [解析] 由 a3+a4-a5+a6=8, 得 a3+a5=8, 所以 a1+a7=8, 所以 S7= 2 =28. π 2π 4. B [解析] 在等差数列{an}中, 因为 a1+a7+a13=π , 所以 a7= , 所以 a2+a12= , 3 3 所以 tan(a2+a12)=- 3. 1 5.2 [解析] 由已知可得 2(anq2-an)=3anq,即 2q2-3q-2=0,解得 q=2 或 q=- . 2 又 an+1>an,所以 q=2.

【提升训练】
6.B [解析] 由 a2+a4+a9=24,得 3a1+12d=24,即 a1+4d=8,即 a5=8,所以 S9 a1+a9 = ?9=9a5=72. 2 7.D [解析] 由 Sn+2-Sn=36,得 an+2+an+1=36,即 a1+(n+1)d+a1+nd=36.又 a1 =1,d=2,所以 n=8. 1 ? ? ? ?a1q=2, ?a1=1, ?a1=-2, 8 . C [ 解析 ] 由题意,得 ? 解得 ? 或? 又 an > 0 , 2 3 ?2a1q +a1q =16, ?q=2 ? ? ? ?q=-4. ?a1=1, ? ∴? ∴a5=a1q4=16. ? q = 2 , ? 2 9.B [解析] 根据等比中项的概念,得 am+1am-1=a2 m,所以 am=2am(m≥2).又 am>0, - 所以 am=2.由于数列{an}为等比数列,故 a1=2,即对任意正整数 m,am=2.T2k-1=2?22k 2 =512,解得 k=5. 10.C [解析] 因为 a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,所以 a4=33,a5=31,所以数列 {an}是以 39 为首项,-2 为公差的等差数列.对任意 n∈N*都有 Sn≤Sk 成立,而在数列{an} 中,a20=1>0,a21=-1<0,故 S20≥Sn 对任意 n∈N*都成立. ? ?S9=9a1+36d=11, 11.-20 [解析] 设数列{an}的公差为 d,则依题意有? 两式相减, ?S11=11a1+55d=9, ? 得 2a1+19d=-2,∴S20=20a1+190d=-20. 12 4 12.512 [解析] 由 a3a4a8=8,得 a3 1q =8,即 a1q =2,即 a5=2,所以 T9=a1a2?a9 =a9 5=512. 13.解:(1)证明:∵对任意正整数 n,有 n,an,Sn 成等差数列, ∴2an=n+Sn(n∈N*). 又 an=Sn-Sn-1(n≥2 且 n∈N*), ∴2(Sn-Sn-1)=n+Sn,即 Sn=2Sn-1+n, ∴Sn+n+2=2Sn-1+2n+2,∴Sn+n+2=2[Sn-1+(n-1)+2], Sn+n+2 即 =2(n≥2 且 n∈N*), Sn-1+(n-1)+2 ∴{Sn+n+2}为等比数列. (2)由(1)知{Sn+n+2}是首项为 S1+3=a1+3=4,公比为 2 的等比数列, - + ∴Sn+n+2=4?2n 1=2n 1.

1 14.解:(1)当 n=1 时,a1=1,3an+1+2Sn=3a2+2a1=3?a2= ; 3 当 n≥2 时,3an+1+2Sn=3,3an+2Sn-1=3,两式相减可得 3(an+1-an)+2(Sn-Sn-1) an+1 1 =0,即 3an+1-an=0,即 = . an 3 1 故数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列, 3 n-1 1 ? 所以 an=? ?3? . 1 n 1 n 3 3 3 3 (2)因为?n∈N*, k≤Sn 恒成立,且 Sn= ?1-?3? ?,即 k≤ ?1-?3? ?, 所以 k≤1- 2 2? ? ? ? 2 2? ? ? ? n 1 ? ?. ?3? 1?n 2 2 2 当 n=1 时,1-? ?3? 取得最小值3,所以 k≤3,故实数 k 的最大值为3. 2 1 n2 (n-1) 2n-1 15.解:(1)当 n=1 时,a1=S1= .当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - = , 4 4 4 4 2?1-1 1 当 n=1 时,a1= = . 4 4 2n-1 an= ,n∈N*. 4 (2)证明:3(bn-an)-(bn-1-an-1)=(3bn-bn-1)-3an+an-1=n-n=0, 1 1 所以(bn-an)= (bn-1-an-1),且 b1-a1≠0,所以{bn-an}是以 b1-a1 为首项, 为公比 3 3 的等比数列. 2n-1 ? 1 ?1?n-1 (3)bn= +?b1-4? ???3? . 4 ?b3<0, ? 因为数列{Tn}中只有 T3 最小,所以? 解得-47<b1<-11, ? ?b4>0, 1 1 n 1 b1- ??? ? >0,于是{bn}为递增数列, 此时,bn+1-bn= -2?? 4? ?3? ? 2 所以 n≤3 时 bn<0,n≥4 时 bn>0,符合题意,故-47<b1<-11.

又 2an=n+Sn, + ∴2an+2=2n 1, ∴an=2n-1.

专题限时集训(九)
【基础演练】
Sn 1.B [解析] 因为等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1,所以 Sn=n2+2n,所以 =n n S ? n? +2,所以? n ?的前 10 项和为 3+4+5+?+12=75. ? ? 2. B [解析] 根据等比数列的性质得 a5a6+a4a7=2a5a6=18, 所以 a5a6=9, 所以 log3a1 +log3a2+?+log3a10=log3(a1a2?a10)=log3(a5a6)5=5 log39=10 . 3. C [解析] a5+a8+a11=3a1+21d=3(a1+7d)=3a8, 而 S15=15a8, 所以 S15 为定值. 1 ? 1 1 ?1 1 4 . D [ 解析 ] 因为 an = = n-n+2 ,所以 S10 = a1 + a2 + ?+ a10 = 2 2 ? ? n(n+2) ?1-1+1-1+?+ 1 - 1 ?=11+1- 1 - 1 =175. 10 12? 2 2 11 12 264 ? 3 2 4 5.6 [解析] 设数列{an}的公比为 q,因为 an>0,所以 q>0.又 a1=1,a3=4=a1q2=q2, 1-2k 所以 q=2.又 Sk= =63,即 2k=64,所以 k=6. 1-2

【提升训练】
6. A [解析] 由 S35=S3992, 得 a36+a37+?+a3992=(a36+a3992)+(a37+a3991)+?+(a2013 +a2015)+a2014=2a2014+2a2014+?+2a2014+a2014=3957a2014=0, 所以 a2014=0, 所以 a· b=2014 +ana2014=2014. 7.A [解析] 把 P,Q 的坐标代入一次函数 f(x)的解析式得 k=2,b=0,故 f(x)=2x, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 an=2n· 2(n+1), = ?n-n+1?,所以 Sn= ?1-2+2-3+?+n-n+1?= 1- an 4? 4? ? ? 4 n+1= n 6 = ,解得 n=24. 4(n+1) 25 1 1 α α 8. B [解析] 设 f(x)=x , 则有 2=4 , 解得 α= , 所以 f(x)=x , 所以 an= n+1+ n, 2 2 1 1 = = n+1- n, 所以 Sn=( 2-1)+( 3- 2)+?+( n+1- n)= n+1-1 an n+1+ n =10,解得 n=120. an?an-1 an?an+1 an-1-an an-an+1 1 1 1 9.D [解析] 当 n≥2 时, = ,即 = ,即 - = an an-1 an+1 an-1-an an-an+1 an?an-1 an?an+1 1 1 1 1 ?1? 1 1 1 n 2 - .又 - = ,所以数列?a ?是以 为首项, 为公差的等差数列,所以 = ,所以 an= , an a2 a1 2 2 2 an 2 n ? n? 1 故 a100= . 50 10.D [解析] 由 an+1=4an-3n+1 可得 an+1-n-1=4an-4n,即 an+1-(n+1)=4(an - -n),故数列{an-n}是首项为 a1-1=1,公比为 4 的等比数列,所以 an-n=4n 1,所以 an n n 4 -1 (1+3) -1 - - -1 0 n-1 n-2 =4n 1+n.因为 40+41+?+4n 1= = =C0 +C1 +?+Cn n3 n3 n 3 = 3 3
i 1 i 1 n i ∑ Cin 13n i,1+2+?+n=∑ i,所以数列{an}的前 n 项和可以表示为∑ (Cn 3 +i). = = =
- - - -

n

n

n

i 1

i 1

2? 2014 2 ? [ 解析 ] 直线与两坐标轴的交点坐标分别为 ? ,0? , ?0, ,故 Sn = 2015 ?n ? ? n+1? ? 1 1 1 1 2014 = - ,所以 S1+S2+?+S2014=1- = . 2015 2015 n(n+1) n n+1 12.2600 [解析] 由已知可得,当 n 为奇数时,an+2-an=0;当 n 为偶数时,an+2-an =2.故当 n 为奇数时,{an}为常数数列,an=1;当 n 为偶数时,{an}是首项为 2,公差为 2 的 等差数列. 11 .

50?102 故 S100=S 奇+S 偶=50?1+ =2600. 2 13.1306 [解析] ∵an=n-a2n,an=a2n+1-1,∴a2n+1+a2n=n+1,∴a1+(a2+a3)+(a4 +a5)+?+(a98+a99)=1+2+3+?+50=1275.又 a100=50-a50=50-(25-a25)=25+a12+ 1=26+(6-a6)=32-(3-a3)=29+(a1+1)=31,∴a1+a2+a3+?+a100=1275+31=1306. 14.解:(1)因为对任意正整数 n 有 an+1-an=2, 所以{an}是公差为 2 的等差数列. 又因为 a1=3,所以 an=2n+1. 当 n=1 时,b1=S1=4; 当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=(n2+2n+1)-[(n-1)2+2(n-1)+1]=2n+1, 对 b1=4 不成 立. ? ?4,n=1, 所以数列{bn}的通项公式为 bn=? ?2n+1,n≥2,n∈ N*. ? 1 1 (2)由(1)知当 n=1 时,T1= = ; b1b2 20 1 1 1 1 1 当 n≥2 时, = = ?2n+1-2n+3?. ? bnbn+1 (2n+1)(2n+3) 2? 1 1??1 1? ?1 1? 所以 Tn= + ??5-7?+?7-9?+?+ 20 2 ? 1 - 1 ??= 1 +1?1- 1 ?= 1 + n-1 ,n≥2, ?2n+1 2n+3?? 20 2?5 2n+3? 20 10n+15 当 n=1 时上式仍成立, n-1 1 故 Tn= + ,n∈N*. 20 10n+15 15.解:(1)证明:由 2an+1-2an+an+1an=0,a1=1,且 an≠0, 1 1 1 1 得 - = , =1, an+1 an 2 a1 ?1? 1 ∴数列?a ?是首项为 1,公差为 的等差数列, 2 ? n? n+1 1 1 ∴ =1+ (n-1)= , an 2 2 2 故 an= (n∈N*). n+1 1 n? n (2)b1=2,当 n≥2 时,bn=f?a ?=f? ? n-1? ?2?=2 , 当 n=1 时,b1=2,也符合上式, ∴bn=2n(n∈N*), bn - ∴ =(n+1)2n 1, an - ∴Tn=2?20+3?21+4?22+?+(n+1)?2n 1,① - 2Tn=2?21+3?22+?+n?2n 1+(n+1)?2n.② ①-②得-Tn=-n· 2n, n ∴Tn=n· 2. an+3 an 1 3 16.解:(1)由 an+1= ,得 = =1+ , an an an+3 an+1 1 1 1 1 即 + =3? + ?. an+1 2 ?an 2? 1 1 3 又 + = , a1 2 2 ? 1 1? 3 ∴数列?a +2?是以 为首项,3 为公比的等比数列, 2 ? n ?

1 1 3 3n 2 - ∴ + = ?3n 1= ,∴an= n . an 2 2 2 3 -1 n (2)由(1)知 bn= n-1, 2 1 1 1 1 1 ∴Tn=1? 0+2? 1+3? 2+?+(n-1)? n-2+n? n-1, 2 2 2 2 2 Tn 1 1 1 1 =1? 1+2? 2+?+(n-1)? n-1+n? n, 2 2 2 2 2 两式相减,得 n+2 Tn 1 1 1 1 1 ∴ = 0+ 1+ 2+?+ n-1-n? n=2- n , 2 2 2 2 2 2 2 n+ 2 ∴Tn=4- n-1 , 2 2 ∴(-1)nλ <4- n-1对一切 n∈N*恒成立. 2 2 若 n 为偶数,则 λ<4- n-1,∴λ<3; 2 2 若 n 为奇数,则-λ<4- n-1,∴-λ<2,∴λ>-2. 2 综上,-2<λ<3.

专题限时集训(十)A
【基础演练】
1 1 4 ?2?2??2= (cm3). 1.C [解析] 该几何体的直观图如图所示,所以 V= ?? ? 3 ?2 3

[解析] 易知该几何体是一个直径为 2,高为 3 的圆柱上部挖去一个直径为 2 的 1 半球后剩下的部分,故该几何体的表面积为π ?12+2π ?3+ (4π ?12)=9π . 2 3.C [解析] 蚂蚁的爬行路线最短时,只能经过 A1B1,BB1,BC,CD,DD1,A1D1 的 中点,且在侧面上沿直线爬行,故正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图可能是②④,其中② 为经过 BB1 的中点的情况,④为经过 CD 的中点的情况. 2 3 4. [解析] 由三视图知该三棱锥的底面是一个顶角为 120°的等腰三角形,且该三 3 1 角形的底边长为 2 3,底边上的高为 1,则该三棱锥的底面积 S= ?2 3?1= 3,该三棱锥 2 1 1 2 3 的高 h=2,故该三棱锥的体积 V= Sh= ? 3?2= . 3 3 3

2.C

【提升训练】
5.B [解析] 由题知,三棱柱的侧视图是边长分别为 3,2 的矩形,其面积为 2 3. 6.A [解析] 由三视图知,原几何体为一个正方体和正四棱锥的组合体,其中正方体的 1 棱长为 2,正四棱锥的底面边长为 2,高为 22-12= 3,所以该几何体的体积 V=23+ ?4 3 4 3 ? 3=8+ . 3 7.B [解析] 由三视图知,该几何体为在一个直三棱柱上面截去一个三棱锥后剩下的部 分,且直三棱柱的底面是直角边分别为 3,4 的直角三角形,高为 5,所以该几何体的体积 V 1 1 1 = ?3?4?5- ? ?3?4?5=20(cm3). 2 3 2 8.D [解析] 由三视图可知该几何体是一个长、宽、高分别为 6,4,1 的长方体和一个 1 底面积为 ?4?5=10,高为 2 的三棱柱组合而成的,其体积 V=1?4?6+10?2=44. 2 9.C [解析] 该几何体为底面半径为 2,母线长为 3 的圆柱的六分之一,故所求侧面积 1 为 ?2π ?2?3+2?2?3=2π +12. 6 10.B [解析] 易知四面体 A′EFD 的三条侧棱 A′E,A′F,A′D 两两垂直,且 A′E=1, A′F=1,A′D=2,把四面体 A′EFD 补成棱长分别为 1,1,2 的一个长方体,则该长方体的外 1 6 接球即为四面体 A′EFD 的外接球,所以所求球的半径 r= 12+12+22= . 2 2 4 3 11. [解析] 设球心到平面 ABC 的距离为 h,球的半径为 R,则球面上的点到平面 3 ABC 的最大距离为 h+R, 由题知 R= 3.又 h= 3-?2 2?

?

3 4 3 3 2?2 所以 h+R= . ? =3, 3 2 3?

专题限时集训(十)B
【基础演练】
1 1.B [解析] 由三视图可知,该几何体的体积为 ?2?2?4=8. 2 2.B [解析] 由三视图知该几何体是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个边长为 2的正 1 2 方形,四棱锥的高为 1,所以该几何体的体积 V= ? 2? 2?1= . 3 3 3. D [解析] 由三视图知, 原几何体是三棱柱和球的组合体. 其中三棱柱的侧棱长为 3, 1?3 3 4 底面为边长为 2 的正三角形.球的直径为 1,则该几何体的体积为 ?22?3+ π ?? ?2? = 4 3 π 3 3+ . 6 π 4. [解析] 根据三视图可知该几何体是一个底面圆的半径为 1,高为 2 的圆锥的一半, 3 π 1 1 所以其体积 V= ? ?π ?12?2= . 2 3 3

【提升训练】
5.A [解析] 该几何体为正六棱锥,其侧视图是底边长为 3,高为 3的等腰三角形, 1 3 其面积为 ? 3? 3= . 2 2 1 1 40 6.B [解析] 此几何体的直观图如图所示,易知其体积 V= ? (1+4)?4?4= . 3 2 3

7.B [解析] 由三视图知,该几何体为一个圆柱内挖去一个圆锥后剩下的部分,其体积 2π 1 V=π ?12?1- π ?12?1= . 3 3 [解析] 由题可知,该几何体是一个四棱锥,其直观图如图所示,该四棱锥的高为 1 3,底面是边长分别为 3,6 的矩形,故其体积为 ?3?6?3=18. 3 8.C

9. 3+

6 [解析] 由题意可知,蛋托的高为 3,且折起的三个小三角形的顶点构成边 3 1-? 6 3?2 = ,所以鸡 ?3? 3

长为 1 的等边三角形,记为 A′B′C′,球心到平面 A′B′C′的距离 d= 蛋中心与蛋托底面的距离为 3+

6 . 3 10.20π [解析] 设半径为 R 的球的内接直三棱柱 ABCA1B1C1 的上、下底面外接圆的 圆心分别为 O1,O2,则球心 O 在线段 O1O2 的中点处.连接 OO1,OA,O1A,则 R2=OA2=

BC 2 OO1 +O1A2=1+O1A2.在△ABC 中,AB=AC=2,∠BAC=120°,∴ BC=2 3.又 sin ∠BAC 2 3 =2O1A,∴ O1A= =2,∴ R= 5,∴此球的表面积为 4π R2=20π . 2sin ∠BAC π 11. [解析] 根据题意知,平面 ACD1 是边长为 2的正三角形,球 O 与以点 D 为公 6 共点的三个面的切点恰为三角形 ACD1 三边的中点,故所求截面的面积是该正三角形的内切 3 1 6 圆的面积.易知△ACD1 内切圆的半径是 2? ? = ,则所求的截面圆的面积是π ? 2 3 6 2 ? 6? =π . ?6? 6

专题限时集训(十一)
【基础演练】
1.D [解析] 两点、三点或无数个点都可以是同一直线上的点,而共圆的四个公共点一 定不共线,所以正确选项为 D. 2.C [解析] 因为 b∥α,所以在 α 中必有一条直线 c 与 b 平行.因为 a⊥α,所以 a⊥c, 所以 a⊥b. 3.D [解析] ①若 a∥M,b∥M,则 a∥b 或 a,b 相交或 a,b 异面;②若 b?M,a∥b, 则 a∥M 或 a?M;③a⊥c,b⊥c,则 a,b 可能平行、相交或异面;④a⊥M,b⊥M,则 a∥b. 4. D [解析] 在选项 A 中的已知条件下直线 m 与平面 β 的位置关系不确定, 推不出 m⊥β; 选项 B 中,如果 α,β 不垂直,推不出 m⊥β;选项 C 中,α⊥β,m⊥α,只能推出 m∥β 或 m?β ,推不出 m⊥β;选项 D 中,因为 n⊥α,n⊥β,所以 β∥α,又 m⊥α,所以 m⊥β.故选 D. 5.A [解析] ①中,也可能直线 m?α ;②中,m,n 也可能相交或异面;③中,平面 α, β 的关系不确定;④中,与一个平面同时垂直的两个平面也可能相交.

【提升训练】
6.C [解析] 在选项 A 的条件下,α,β 也可能相交;在选项 B 的条件下,α,β 也可能 相交;在选项 C 的条件下,由垂直于同一条直线的两个平面平行知 α∥β;在选项 D 的条件 下,α⊥β. 7.B [解析] 在选项 A 中,当 l 平行于平面 α,β 的交线时,也符合已知条件,此时 α, β 不平行;在选项 B 中,垂直于同一条直线的两个平面平行;在选项 C 中,若 l⊥α,l∥β, 则 α⊥β;在选项 D 中,在已知条件下,l 与 β 的位置关系不确定. 8.A [解析] 如图所示,取 BD 的中点 O,连接 AO,A1O,则∠AOA1 即为二面角 A1?BD 1 ?A 的平面角,易知 tan∠AOA1= = 2. 2 2

9.D [解析] ①若 m⊥α,m?β ,则 α⊥β;②若 m?α ,n?α ,m∥β,n∥β,此时只 有当 m,n 相交,α∥β; ③如果 m?α ,n?α ,m,n 是异面直线,那么 n 与 α 可能相交或 平行;④若 α∩β=m,n∥m,且 n?α ,n?β ,则 n∥α 且 n∥β . 10.C [解析] 由题知 AB∥EF,EF?平面 DEF,AB?平面 DEF,所以 AB∥平面 DEF, 故 A 正确;因为 CD⊥AD,CD⊥BD,AD∩BD=D,所以 CD⊥平面 DAB,故 B 正确;因为 AB∥EF,AB 与 AD 显然不垂直,所以 EF 与 AD 也不垂直,所以 EF 与平面 ACD 不垂直, 1 1 故 C 错误;易知 AD⊥平面 BCD,所以 V 三棱锥 C ABD= S△BCD?AD= ?2?S△DFC?AD,V 三棱锥 3 3 1 1 CDEF= S△CDF? ?AD,所以 V 三棱锥 C ABD=4V 三棱锥 C DEF,故 D 正确. 3 2 11.平行四边形 [解析] 由 α∥β∥γ,BG?平面 ACF,CF?γ ,可得 BG∥CF.同理有 HE∥CF,所以 BG∥HE.同理可得,BH∥GE,所以四边形 BGEH 为平行四边形. 12.①③⑤ [解析] 因为 OA⊥BD,OC⊥BD,OA∩OC=0,所以 BD⊥平面 AOC,所 以 AC⊥BD, 所以①正确; 由于 CO⊥BD, 若 AD⊥CO, 所以 CO⊥平面 ABD, 所以平面 CBD⊥ 平面 ABD,所以二面角 ABDC 的大小为 90°,与已知矛盾,所以②错误;由于 OC=OA= 2 2,∠AOC=60°, 所以△AOC 为正三角形,所以③正确; 由题知 AC=2 2,AD=CD=4, 16+16-8 3 3 所以 cos ∠ADC= = ≠ ,所以④错误;由题知 O 为四面体 ABCD 的外接球的 2?4?4 4 4

球心,球的半径为 2 2,故其表面积是 4π (2 2)2=32π ,所以⑤正确. 13.①②③ [解析] 四棱锥 PABCD 的直观图如图所示,其中顶点 P 在底面上的射影为 底面正方形的 BC 边的中点.由 AB⊥BC,可得侧面 PAB⊥侧面 PBC,同理,侧面 PCD⊥侧 面 PBC,故①正确. 根据①,侧面 PAB,PCD 均为直角三角形,调整四棱锥的高,侧面 PBC 也可能为等腰 直角三角形,所以侧面中可能有三个直角三角形,故②正确. 侧面 PAD 与侧面 PBC 不可能垂直,证明如下: 假设侧面 PAD 与侧面 PBC 垂直.取 BC 中点为 E,连接 PE.因为 BC∥AD,所以 BC∥平 面 PAD.设平面 PAD∩平面 PBC=l,根据直线与平面平行的性质定理可得 BC∥l.又 PE⊥BC, 所以 PE⊥l,根据两个平面垂直的性质定理,得 PE⊥平面 PAD.又 PE⊥平面 ABCD,所以平 面 PAD∥平面 ABCD,与平面 PAD∩平面 ABCD=AD 矛盾,所以假设不成立,故侧面 PAD 与侧面 PBC 不可能垂直,③中的结论是正确的. 若 PB=2,则四棱锥的四个侧面均是等腰三角形,故④中的结论不正确.

14.解:(1)证明:∵AB=BD,且∠A=45°,∴∠ADB=45°, ∴∠ABD=90°, 即 AB⊥BD.又∵平面 ABD⊥平面 BDC, 且平面 ABD∩平面 BDC=BD, ∴AB⊥平面 BDC,∴AB⊥CD. 又∠DCB=90°,即 DC⊥BC,且 AB∩BC=B, ∴DC⊥平面 ABC. (2)作 BE⊥AC,垂足为点 E,连接 EF. 由(1)知平面 ABC⊥平面 ACD,又平面 ABC∩平面 ACD=AC, ∴BE⊥平面 ADC, ∴∠BFE 即为直线 BF 与平面 ACD 所成角. 设 CD=a,则 AB=BD=2a,BC= 3a,AC= 7a, 2 3 2 ∴BE= a,BF= 2a,FE= a, 7 14 2 a 14 7 ∴cos∠BFE= = , 7 2a ∴直线 BF 与平面 ACD 所成角的余弦值为 7 . 7

15.解:(1)证明:连接 BD. 在△BCD 中,BD= DC2+BC2=2=AD, 所以△ABD 为等腰三角形. 又因为点 E 是线段 AB 的中点, 所以 DE⊥AB,所以 DE⊥PE. 又因为 PE⊥EB,DE∩EB=E,所以 PE⊥平面 BCDE. 因为 CD?平面 BCDE,所以 PE⊥CD. 因为 EG 为梯形 ABCD 的中位线,且 CD⊥AD, 所以 CD⊥EG, 又 PE∩EG=E, 所以 CD⊥平面 PEG. 又因为 CD?平面 PCD,所以平面 PEG⊥平面 PCD.

(2)由(1)知平面 PEG⊥平面 PCD, 且平面 PEG∩平面 PCD=PG, 所以在 Rt△PEG 中点 E 到 PG 的距离 EM 即为点 E 到平面 PDC 的距离. 因为 PE⊥平面 3 1? 2 EP?EG 3 ABCD,所以 PE⊥EG,所以 EM= = = . PG 3?2 13 2 ? 1 +?2? AD 4 13 故点 A 到平面 PDC 的距离为 ?EM= . EG 13 16.解:(1)证明:连接 BD 交 AC 于点 M,连接 ME. MB AB 1 ∵AB∥DC,∴ = = , MD CD 2 BE 1 MB BE 当 λ=2 时, = .∴ = ,∴EM∥PD. EP 2 MD EP 又∵PD?平面 EAC,EM?平面 EAC,∴PD∥平面 EAC. (2)取 CD 的中点 N,连接 AN,建立如图所示的空间直角坐标系,设 DC=2,则 A(0,0, 0),C(1,1,0),B(0,1,0),P(0,0,1). λ 1 → → 由PE=λEB,可得 E 点的坐标为?0,1+λ,1+λ?, ? ? λ 1 → → ∴AC=(1,1,0),AE=?0,1+λ,1+λ?. ? ? ?x+y=0, 设平面 EAC 的一个法向量为 n=(x,y,z),则有? λ 令 z=λ,则 y=- 1 · y+ · z=0, ? 1 + λ 1 + λ ? 1,x=1,所以 n=(1,-1,λ). → → → ∵AP=(0,0,1),∴由直线 PA 与平面 EAC 所成的角为 30°,可得|cos|< AP, n >| |λ | 6 =cos 60°= ,解得 λ= . 3 2+λ2

?

专题限时集训(十二)A
【基础演练】
s1?s2 -5 5 5 1.A [解析] cos 〈s1,s2〉= = =- ,故直线 l1,l2 所成角的余弦值是 . 3 3 |s1||s2| 3 5 n1?n2 -2 6 2.C [解析] cos 〈n1,n2〉= = =- ,故平面 α,β 所成的锐二面角 3 |n1||n2| 3· 2 6 的余弦值是 . 3 3 3 3 3.C [解析] 易得平面 ABC 的一个法向量是(1,1,1),单位化得±? , , ?. 3 3 3 ? ? 4.A [解析] 选项 B 中,a,b 共面不一定平行;选项 C 中,根据 a∥α,b∥β 不能得出 α,β 的关系;选项 D 中,a,b 可能共面. (α b+βc)=λ α a· 5. C [解析] 因为 m∥a, 所以 m=λa, m· l=λa· b+λ β a· c=0, 故 m⊥l.

【提升训练】
3 a2 → → → 1 → → → → [解析] 设棱长为 a,则|CE|= a,CE?BD= (CA+CD)· (BC+CD)= ,所以 2 2 4 a2 4 3 3 → → cos〈CE,BD〉= = ,所以直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为 . 6 6 → → |CE||BD| 6.A

[ 解析 ] 设正方体棱长为 1 ,以 D 为原点建立空间直角坐标系如图所示,则 1 ? D(0,0,0),E? ?0,2,1?,A(1,0,0),C(0,1,0),

7.B

→ → 1 DE?AC → → → → -1,1,0), 0, ,1?, ( 所以DE=? AC = 所以 cos 〈 DE , AC 〉 = = ? 2 ? → → |DE||AC| =

1 2 1 +1? 2 4

10 10 ,则异面直线 DE 与 AC 所成角的余弦值为 . 10 10 → → → → → → → 8.B [解析] 当 x=2,y=-3,z=2 时,OP=2OA-3OB+2OC,则AP-AO=2OA- → → → → → → → 3(AB-AO)+2(AC-AO),即AP=-3AB+2AC,所以 P,A,B,C 四点共面;反之当 P,A, → → → → → → → → → → B,C 四点共面时,有AP=mAB+nAC,即OP-OA=m(OB-OA)+n(OC-OA),即OP=(1- → → → m-n)OA+mOB+nOC,即 x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止 2,-3,2.故是充分 不必要条件.

4 4 8? → 9.? ?3,3,3? [解析] 设 Q 点坐标为(λ,λ,2λ),其中 λ 为实数,则QA=(1-λ,2-λ, → → → 3-2λ),QB=(2-λ,1-λ,2-2λ),QA?QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ) 4 2 2 4 2 → → → λ - ? - ,当且仅当 λ= 时,QA?QB取得最小值- ,此时OQ= =6λ2-16λ +10=6? 3? 3 ? 3 3 ?4,4,8?. ?3 3 3? 1 6 ,0,0?, 10. [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系, 依题意可知 D? 2 ? ? C(1,1,0), 3 1 → → ? S(0,0,1),则AD=? ?2,0,0?,易知AD是平面 SAB 的一个法向量. 1 → ? → ?1 ? 设平面 SCD 的一个法向量为 n2=(x,y,z).由 SD=? ?2,0,-1?, DC=?2,1,0?, x → -z=0, ? 2 ?n2?SD=0, ? 得 x → ?n2?DC =0, ? +y=0, 2 令 x=2,则 y=-1,z=1,所以 n2=(2,-1,1). → AD?n2 6 设平面 SCD 与平面 SBA 的夹角为 θ,则 cosθ = = . 3 → |AD||n2|

? ? ?

11.解:(1)证明:在△ABD 中,BD2=AB2+AD2-2ABADcos 45°=1,∴BD=1,易得 AB⊥BD. 又平面 A1BD⊥平面 BDC,平面 A1BD∩平面 BDC=BD, ∴A1B⊥平面 BDC.又 DC?平面 BDC,∴ AB⊥DC. (2)在四面体 A1BCD 中,以 D 为原点,DB 所在的直线为 x 轴,DC 所在的直线为 y 轴, 过点 D 且垂直于平面 BDC 的直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0), B(1,0,0),C(0,1,0),A1(1,0,1).

→ → 设平面 A1BC 的一个法向量为 n=(x,y,z),而BA1=(0,0,1),BC=(-1,1,0), → ? ?n?BA1=0, ? ?z=0, 由? 得? 令 x=1,则 y=1,∴n=(1,1,0). ?-x+y=0, → ?n?BC =0, ? ? → → 设平面 DA1C 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1),而DA1=(1,0,1),DC=(0,1,0), → ? ?m?DA1=0, ? ?x1+z1=0, 由? 得? 令 x1=1,则 z1=-1, ?y =0, → ? ?m?DC=0, ? 1 ∴m=(1,0,-1).

n?m 1 ∴cos〈n,m〉= = ,∴二面角 B A1C?D 的大小是 60°. |n||m| 2 12.解:(1)证明:∵CD2=BC2+BD2,∴BC⊥BD. 又∵PD⊥底面 ABCD,BC?平面 ABCD,∴PD⊥BC. 又∵PD∩BD=D,∴BC⊥平面 PBD. 又 BC?平面 PBC,∴平面 PBC⊥平面 PBD. π (2)由(1)知,BC⊥平面 PBD ,∴∠PBD 即为二面角 PBCD 的平面角,∴∠PBD= . 4 又 BD=2 3,PD⊥BD,∴PD=2 3. ∵底面 ABCD 为平行四边形,∴DA⊥DB. 分别以 DA,DB,DP 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图所示),

则 A(2,0,0),B(0,2 3,0),C(-2,2 3,0), P(0,0,2 3), → → → ∴AP=(-2,0,2 3),BC=(-2,0,0),BP=(0,-2 3,2 3). → ? BC=0, ?-2a=0, ?n· 设平面 PBC 的一个法向量为 n=(a,b,c),则有? 即? → -2 3b+2 3c=0, ? BP=0, ? ? n· 令 b=1,则 c=-1,∴n=(0,1,1), → |AP?n| 2 3 6 ∴ AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为 = = . 4 → |AP||n| 4? 2 13.解:(1)证明:∵CD⊥DE,A1D⊥DE,CD∩A1D=D, ∴DE⊥平面 A1CD. 又∵A1C?平面 A1CD,∴A1C⊥DE. 又 A1C⊥CD,CD∩DE=D,∴A1C⊥平面 BCDE. (2)建立如图所示的空间直角坐标系,则 C(0,0,0),D(-2,0,0),A1(0,0,2 3), B(0,3,0),E(-2,2,0),

→ → ∴A1B=(0,3,-2 3),A1E=(-2,2,-2 3). 设平面 A1BE 的一个法向量为 n=(x,y,z), → ? ?A1B?n=0, ?3y-2 3z=0, 则有? ∴? 令 z= 3,则 x=-1,y=2,∴n=(-1,2, → - 2 x + 2 y - 2 3 z = 0 , ? ? ?A1E?n=0, 3). → 又∵M(-1,0, 3),∴CM=(-1,0, 3), → CM?n 4 2 → ∴cos〈CM?n〉= = = , 2 → 2 ? 2 2 |CM||n| ∴CM 与平面 A1BE 所成角的大小为 45°

(3)设线段 BC 上存在点 P 使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直.设 P 点的坐标为(0,a,0), 则 a∈[0,3]. → → 易知A1P=(0,a,-2 3),DP=(2,a,0). 设平面 A1DP 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1), ?ay1-2 3z1=0, 则有? 令 y1=6,则 x1=-3a,z1= 3a,∴n1=(-3a,6, 3a). ?2x1+ay1=0, ∵平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直, ∴n1?n=0, 即 3a+12+3a=0,∴a=-2. 又∵0≤a≤3, ∴线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直.

专题限时集训(十二)B
【基础演练】
1.解:(1)证明:因为 PA⊥底面 ABC,所以 BC⊥PA. 又因为∠ACB=90°,所以 BC⊥AC. 因为 PA∩AC=A,PA?平面 PAC,AC?平面 PAC,所以 BC⊥平面 PAC. 又 BC?平面 PBC, 所以平面 PAC⊥平面 PBC.

(2)取 PC 中点 D,连接 AD,DM,则 AD⊥PC. 又平面 PAC⊥平面 PBC,平面 PAC∩平面 PBC=PC, 所以 AD⊥平面 PBC, 则∠AMD 就是 AM 与平面 PBC 所成的角. 2 1 1 设 AC=BC=PA=a,则 AD= a,DM= BC= a, 2 2 2 AD 所以 tan∠AMD= = 2. DM 2.解:(1)证明:因为 E,G 分别为 BP,AP 的中点,所以 EG∥AB. 又因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AB∥CD, 所以 EG∥CD,所以 EG∥平面 PCD. 因为 E,F 分别为 BP,BC 的中点,所以 EF∥PC, 所以 EF∥平面 PCD. 又因为 EF∩EG=E,所以平面 EFG∥平面 PCD. (2)方法一:易知 AD⊥CD,又 AD⊥PD,所以 AD⊥平面 PCD. 故以 D 为原点,以 DC,DA 为 x 轴、z 轴,垂直于平面 ABCD 的直线为 y 轴,建立空间 直角坐标系(如图所示).

不妨设 AD=CD=PD=2, 则 B(2,0,2),F(2,0,1),P(-1, 3,0), 1 3 3 3 → → → 所以 E? , ,1?,FB=(0,0,1),EF=? ,- ,0?,FD=(2,0,1). 2 ?2 2 ? ?2 ? 设 m=(x1,y1,z1)是平面 BEF 的一个法向量,则 z =0, → ? ? ?1 ?FB?m=0, ? 所以?3 3 → ? ? m=0, ?EF· ?2x1- 2 y1=0. 令 x1=1,则 y1= 3,z1=0,即 m=(1, 3,0). 设 n=(x2,y2,z2)是平面 DEF 的一个法向量,则

2x +z =0, → ? ? ? 2 2 ?FD?n=0, ? 所以?3 3 → ? ? n=0, ?EF· ?2x2- 2 y2=0. 令 x2=1,则 y2= 3,z2=-2,即 n=(1, 3,-2). 设二面角 D EFB 的平面角的大小为 θ, 1+3 m· n 2 则 cos〈m,n〉= = = . |m||n| 2?2 2 2 2 3 ,故二面角 D EFB 的平面角的大小为 π . 2 4 方法二:取 PC 的中点 M,连接 EM,DM,则 EM∥BC,又易知 AD⊥平面 PCD,AD∥ BC,所以 BC⊥平面 PCD,所以 EM⊥平面 PCD,所以 EM⊥DM,EM⊥PC. 因为 CD=DP,所以 DM⊥PC,又 EM∩PC=M, 所以 DM⊥平面 PCB. 又因为 EF∥PC,所以 EF⊥EM, 所以∠DEM 就是二面角 D EFB 的平面角的补角. 由图可知,cos θ =-

不妨设 AD=CD=PD=2,则 EM=1,DM=1, π 所以∠DEM= , 4 3 所以二面角 D EFB 的平面角的大小为 π , 4

【提升训练】
3.解:(1)证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点, 又点 M 是棱 BC 的中点, 所以 OM 是△ABC 的中位线,OM∥AB. 因为 OM?平面 ABD,AB?平面 ABD, 所以 OM∥平面 ABD. (2)由题意可知,OB=OD=3. 因为 BD=3 2,所以∠BOD=90°,即 OB⊥OD, 又因为 OB⊥AC,OD⊥AC, 所以可建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz,

则 A(3 3,0,0),D(0,3,0),B(0,0,3), → → 所以AB=(-3 3,0,3),AD=(-3 3,3,0). 设平面 ABD 的一个法向量为 n=(x,y,z), → ? ?AB?n=0, ?-3 3x+3z=0, 则有? 即? → ?-3 3x+3y=0, ? AD · n = 0 , ?

令 x=1,则 y= 3,z= 3,所以 n=(1, 3, 3). 因为 AC⊥OB,AC⊥OD,所以 AC⊥平面 BOD, 所以平面 BOD 的法向量与 AC 平行, 所以平面 BOD 的一个法向量为 n0=(1,0,0). n0?n 1 7 cos〈n0,n〉 = = = , |n0||n| 1? 7 7 因为二面角 ABDO 是锐角, 7 所以二面角 ABDO 的余弦值为 . 7 → → (3)设 N(x1,y1,z1).因为 N 是线段 BD 上的一个动点,所以BN=λ BD,即(x1,y1,z1 -3)=λ(0,3,-3), 所以 x1=0,y1=3λ,z1=3-3λ, → 则 N(0,3λ,3-3λ),由 C(-3 3,0,0),得CN=(3 3,3λ,3-3λ). 由 CN=4 2,得 27+9λ2+(3-3λ)2=4 2, 1 2 即 9λ2-9λ+2=0,解得 λ= 或 λ= , 3 3 所以 N 点的坐标为(0,1,2)或(0,2,1). 4.解:(1)证明:以 D 为原点,以 DA,DC,DE 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 (如图所示),

则 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),M(0,2,1), → → ∴BM=(-2,0,1),平面 ADEF 的一个法向量DC=(0,4,0). → → → → ∵BM?DC=0,∴BM⊥DC,即 BM∥平面 ADEF. t? (2)依题意设 M? ?0,t,2-2?(0<t<4). 设平面 BDM 的一个法向量为 n1=(x,y,z), t? → → 则DB?n1=2x+2y=0,DM?n1=ty+? ?2-2?z=0. 2t 令 y=-1,则 n1=?1,-1,4-t?. ? ? 平面 ABF 的一个法向量为 n2=(1,0,0), |n1?n2| 1 6 ∵|cos〈n1,n2〉| |= = = ,解得 t=2, |n1||n2| 6 4t2 2+ (4-t)2 1 ∴M(0,2,1)为 EC 的中点,∴S△DEM= S△CDE=2, 2 又点 B 到平面 DEM 的距离 h=2, 1 4 ∴V 三棱锥 MBDE= S△DEM?h= . 3 3 5.解:(1)证明:在直角梯形 ABCD 中,可算得 AD= 3,BC=2 3,CE=2,EB=4. 根据勾股定理可得 BC⊥EC,即 B′C⊥EC,

又 B′C⊥DE,DE∩CE=E,所以 B′C⊥平面 CDE. (2)以 C 为原点,CE 为 y 轴,CB′为 z 轴,垂直于平面 B′CE 的直线为 x 轴建立空间直角 坐标系,如图所示,则 C(0,0,0),B′(0,0,2 3),D( 3,1,0),E(0,2,0). 作 A′H⊥DE 并交 DE 于点 H.因为平面 A′DE⊥平面 CDE,所以 A′H⊥平面 CDE,且 A′H 3 = , 2

所以 H?

3 7 ?,A′? 3,7, 3?. ? 4 ,4,0? ?4 4 2?

易知平面 CDE 一个的法向量为 n1=(0,0,1). 设平面 B′A′D 的一个法向量为 n2=(x,y,z), 3 7 3 3? → → 又B′D=( 3,1,-2 3),B′A′=? , ,- , 2 ? ?4 4 3x+y-2 3z=0, ? ? 4 3 所以? 3 7 3 3 令 z= 3,则 x= ,y=2, 3 x+ y- z=0, ? 4 4 2 ? 4 ? 所以 n2=? ?3 3,2, 3?, n1?n2 3 故 cos〈n1,n2〉= = 37. 37 |n1|?|n2| 3 故平面 B′A′D 与平面 CDE 所构成的锐二面角的余弦值为 37. 37

专题限时集训(十三)
【基础演练】
1.A 2. A [解析] 根据圆 C 过坐标原点,可知一定不是选项 A 中的方程. [解析] 圆 O 的圆心坐标为(0, 2), 半径为 2, 圆心到直线 x+y=5 的距离 d= 3 = 2

9 > 4=2,故直线与圆的位置关系是相离. 2 3.D [解析] 当 a=-1 时,直线 l 的倾斜角为 90°,符合要求;当 a≠-1 时,直线 l a a a 1 的斜率为- ,只要- >1 或- <0 即可,解得-1<a<- 或 a<-1 或 a>0. 2 a+1 a+1 a+1 1? 综上可知,实数 a 的取值范围是? ?-∞,-2?∪(0,+∞). 4.1 [解析] 由直线 l1:3x+4y-4=0 与 l2:ax+8y+2=0 平行可得 a=6,所以 l2 的方 |-4-1| 程为 3x+4y+1=0,故两条直线间的距离 d= 2 2=1. 3 +4 5.± 2 [解析] 因为圆 O 上恰有三个点到直线 l 的距离为 1,所以圆心(0,0)到直线 x +y=m 的距离为 1,即 m=± 2.

【提升训练】
6.D [解析] 抛物线 x2=4y 的焦点坐标为(0,1).根据圆的性质可知,直线 l 垂直于点 (0,1)与圆心(-1,2)的连线,点(0,1)与点(-1,2)的连线的斜率为-1,所以直线 l 的斜率 为 1,又直线 l 过点(0,1),所以其方程为 y=x+1,即 x-y+1=0. 7.A [解析] 设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x-2),即 kx-y-2k=0.圆 3 9 2 心(2,3)到直线 l 的距离 d= 2 ,故 2=2 9- 2 ,解得 k=± . 4 k + 1 k +1 8.D [解析] 圆 x2+y2-2x=0 的圆心为(1,0),半径为 1,直线 AB 的方程为 x-y+3 =0.圆心到直线 AB 的距离 d=2 2,故圆 x2+y2-2x=0 上的点到直线 AB 的距离的最小值为 1 3 2 2 2-1.因为|AB|=3 2,所以△PAB 面积的最小值为 ?(2 2-1)?3 2=6- . 2 2 |t| 9.D [解析] 由题意可知,圆心(0,0)到直线 y=x+t 的距离 d= .设所截的弦长为 l, 2 2 2 l? 8 2 8 2 ?4 2? 32 2 2 2 则? ?2? +d =8,故 l =32-2t ≥? 3 ? = 9 ,解得- 3 ≤t≤ 3 . |c| 2 10.D [解析] 由题意可知,圆心到直线的距离 d= 2 2= 2 .设所截的弦长为 l,则 a +b 2 l ? ? +d2=12,即 l=2 12-d2= 2. ?2? 11.x2+(y-2)2=3 [解析] 易知双曲线的上焦点坐标为(0,2),渐近线方程为 x± 3y= 2 3 0.根据题意,所求圆的半径 r= = 3,故所求圆的方程为 x2+(y-2)2=3. 2 → → → → 12. 2 [解析] 由 A, B, C 均在圆上, 且OA+OB=OC, 知四边形 OACB 为菱形. 又 OB a 1 a = a,所以圆心到直线 x+y-1=0 的距离等于 ,即 = ,解得 a=2. 2 2 2 1 1 y0 13. [解析] 设 P(x0,y0),则 E?x0,1+λy0?,直线 PA 的方程为 y= (x+3)①, 8 ? ? x0+3 1 y 1+λ 0 直线 BE 的方程为 y= (x-3)②. x0-3

| |

y2 0 由①②得 y2= (x2-9). (λ+1)(x2 - 9 ) 0 x2 y2 2 2 将 y0=9-x0代入,得 + =1. 9 9 1+λ 故点 C 在以 AB 为长轴的椭圆上, 当 M, N 为此椭圆的焦点时, |CM|+|CN|为定值 2a=6, 9 此时,a=3,c=1,b= , 1+λ 9 1 由 a2-b2=c2 得 9- =1,解得 λ= . 8 1+λ 14.解:由已知易得 F1(-1,0),F2(1,0),A(0,-1).设点 P(x1,y1), x2 1 2 1 2 则|PF2|2=(x1-1)2+y2 = ( x - 1) + 1 - = (x1-2)2,∴|PF2|= 2- x1,- 2≤x1≤ 2. 1 1 2 2 2 π π π (1)圆 M 的面积为 ,∴ = (x1-2)2, 8 8 8 解得 x1=1,或 x1=3(舍去), 2 2 ∴P?1, ?或 P?1,- ?, 2 2 ? ? ? ? 2 2 ∴PA 所在直线的方程为 y=?1+ ?x-1 或 y=?1- ?x-1. 2? 2? ? ? x1+1 y1? (2)∵ 直 线 AF1 的 方 程 为 x + y + 1 = 0 , ∴ 点 M ? ? 2 , 2 ? 到 直 线 AF1 的 距 离 为 ?x1+1+y1+1? y =-1-2x1, ? ? ?1 2 ?x1=0, ? 2 ? 2 2 = - x1 ,化简得 y1 =- 1 - 2x1 ,联立 ?x2 解得 ? 或 1 2 2 4 2 ? ?y1=1 ? ? 2 +y1=1, 8 x1=- , 9

? ? 7 ?y =9.
1

1 1? 当 x1=0 时,可得 M? ?2,-2?, 1?2 ? 1?2 1 ∴圆 M 的方程为? ?x-2? +?y+2? =2; 1 7? 8 当 x1=- 时,可得 M? ?18,18?, 9 1 ?2 ? 7 ?2 169 ∴圆 M 的方程为? ?x-18? +?y-18? =162. (3)圆 M 始终与以原点为圆心,半径为 r1= 2(长半轴)的圆(记作圆 O)相切. 2 (x1+1)2 y1 (x1+1)2 1 x2 2 2 1 证明:∵|OM|= + = + - = + x1, 4 4 4 4 8 2 4 2 2 又圆 M 的半径 r2=|MF2|= - x1,∴|OM|=r1-r2, 2 4 ∴圆 M 与圆 O 相内切. → → 15.解:(1)设 M(x,y),则EM=(x+2,y),FM=(x-2,y), → → ∴ EM?FM=(x+2,y)· (x-2,y)=x2-4+y2=-3, 2 2 故曲线 C 的方程为 x +y =1. (2)∵Q 为切点,∴PQ⊥OQ. 由勾股定理,得|PQ|2=|OP|2-|OQ|2. 由|PQ|=|PA|,得(a2+b2)-1=(a-2)2+(b-1)2, 化简得 2a+b-3=0,即 b=-2a+3.

设圆 P 的半径为 R,∵圆 P 与曲线 C 有公共点, ∴|R-1|≤|OP|≤R+1,即 R≥||OP|-1|且 R≤|OP|+1. 6 2 9 a- ? + , |OP|= a2+b2= a2+(-2a+3)2= 5? ? 5? 5 6 3 5 3 故当 a= 时,|OP|min= ,此时 b=-2a+3= , 5 5 5 3 5 Rmin= -1, 5 6 2 3 2 3 5 ?2 x- ? +?y- ? =? 故所求圆 P 的标准方程为? ? 5? ? 5? ? 5 -1? . 3 16.解:(1)设动点 P(x,y).因为 tan∠PAB?tan∠PBA= , 4 y y 3 所以- ? = (x≠± 2), x+2 x-2 4 x2 y2 整理得 + =1(x≠± 2). 4 3 x2 y2 故动点 P 的轨迹方程为 + =1(x≠± 2). 4 3 2 2 x0 y0 (2)设点 P(x0,y0),则 + =1(-2<x0<0). 4 3 设切线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2,则过点 P 的圆 C 的切线 PM 的方程是 y-y0=k1(x -x0), 令 x=0,得 yM=y0-k1x0,同理可得 yN=y0-k2x0. |k(1-x0)+y0| 设过点 P 的圆 C 的切线斜率为 k,则 =1, 1+k2 2 即 k2(x0 -2x0)+2ky0(1-x0)+y2 0-1=0, -2y0(1-x0) y2 0-1 所以 k1+k2= , k ? k = , 2 2 1 2 x0-2x0 x0-2x0 所以|MN|=|yM-yN|=|x0||k1-k2|= x0-6 4 |x0| (k1+k2)2-4k1k2= = 1- . x0-2 x0-2 因为-2<x0<0,所以|MN|的取值范围是( 2, 3).

专题限时集训(十四)
【基础演练】
1.A [解析] 由题意易知椭圆的焦点在 x 轴上,可求得椭圆的一个焦点为(-2,0),则 m=22+2=6,故椭圆 C 的长轴长为 2 6. a2+b2 b?2 b c 2.A [解析] 由题意知 =2,所以 e= = = 1+ ? ?a? = 5. a a a c 3.D [解析] 易知 2a=2,即 a=1,所以 c= 2,所以该双曲线的离心率 e= = 2. a 4.B [解析] 易知圆 x2+y2-4x-5=0 与 x 轴的交点为(-1,0),(5,0).由于双曲线 x2 y2 中 c>a=3,所以 c=5,所以 m=25-9=16,所以双曲线方程为 - =1,故其渐近线方程 9 16 4 为 y=± x. 3 3 5. [解析] 设抛物线的焦点为 F,要使线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离最小,则|BH| 4 +|AE|最小,即|AF|+|BF|最小,又|AF|+|BF|≥|AB|=2,当且仅当 A,B,F 共线时取等号, |AB| 1 1 3 所以当线段 AB 过焦点 F 时,AB 的中点 M 到 y 轴的距离最小,最小值为 - =1- = . 2 4 4 4

【提升训练】
x2 y2 6.B [解析] 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),且 F1(c,0),F2(-c,0),c2=a2-b2.设 a b x2 y2 点 P(x,y),由 PF1⊥PF2 得(x-c,y)· (x+c,y)=0,化简得 x2+y2=c2,与 2+ 2=1(a>b>0) a b 2 a 1 2 联立得 x2=(2c2-a2) 2 ≥0,解得 e2≥ .又 0<e<1,所以 ≤e<1. c 2 2 7.B [解析] 由题可知,直线 l2:x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线.设抛物线的焦点为 F(1,0),则动点 P 到直线 l2 的距离等于|PF|,故动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最 |4-0+6| 小值即为焦点 F 到直线 l1:4x-3y+6=0 的距离,所以最小值是 =2. 5 b2 8. A [解析] 由△ABE 为锐角三角形可知, 只需∠AEF<45° 即可, 即|AF|<|EF|? <a+c, a 化简得 e2-e-2<0?1<e<2. 9.C [解析] 取 PF1 的中点 M,连接 MF2.∵ |PF2|=|F1F2|, ∴ F2M⊥PF1,∴ |PM|2+|F2M|2=|PF2|2.∵ |PF1|-|PF2|=2a,∴ |PF1|=2a+2c,∴ (a+ 5a 5 c)2+(2a)2=(2c)2,易得 c= ,∴ e= . 3 3 x2 x2 P Q xp, ?,Q 点坐标为?xQ, ?, 10.D [解析] 设 P 点坐标为? 2p? 2P? ? ? x2 x2 P Q +1 +1 2p 2p ∵A,P,Q 三点共线,∴kPA=kQA,即 = , xP xQ 2 2 xP xQ +1 +1 2 2p 2p x2 x2 x2 P+2p Q+2p PxQ+2pxQ-xpxQ-2pxP ∴ 0 = - = - = = xP xQ 2pxP 2pxQ 2pxPxQ

(xP-xQ)(xPxQ-2p) . 2pxpxQ ∵xP≠xQ,∴xPxQ-2p=0, x2 x2 P Q -1 -1 2 2p 2p x2 x2 x2 P-2p Q-2p PxQ-2pxQ+xPxQ-2pxP ∴ kPB + kQB = + = + = = xP xQ 2pxP 2pxQ 2pxPxQ (xP+xQ)(xPxQ-2p) =0.又 kBP?kBQ=-3,∴kBP= 3,kBQ=- 3,∴∠BNM=∠BMN 2pxPxQ π = , 3 π ∴∠MBN= . 3 11.(0,-1) [解析] 易知 F(-1,0),设右焦点为 E(1,0).根据椭圆定义知,|PF|= 2a-|PE|,所以|PQ|+|PF|=|PQ|+(2a-|PE|)=2a+(|PQ|-|PE|).易知当 P 为 QE 的延长线与 |PQ|-|PE|取最大值, 椭圆的交点时, 即|PQ|+|PF|取最大值. 此时直线 QE 的方程为 y=x-1, 4 与椭圆方程联立,解得 x=0 或 x= (舍去),所以点 P 的坐标为(0,-1). 3 12.±1 [解析] 设点 A(x1,y1),B(x2,y2), → → 由OB=2OA,得 x2=2x1,y2=2y1. y2 x2 y2 2 2 1 ∵点 B 在椭圆 C2 上,∴ + =1,∴ +x2 1=1①. 16 4 4 2 x1 又∵点 A 在椭圆 C1 上,∴ +y2 1=1②. 4 y1 由①②可得 =± 1,∴射线 OA 的斜率为± 1. x1 2 13. 5 [解析] 设切点为 P(x0,x0+1),斜率为 y′=2x0,则切线方程为 y-x2 0-1=2x0(x -x0),整理得 y=2x0x-x2 + 1. 因为双曲线的焦点在 x 轴上,切线与双曲线的渐近线重合,所 0 b 以切线过原点,将(0,0)代入切线方程得 x0=± 1,所以切线的斜率 k=±2,所以 =2,所以 a b?2 c e= = 1+? ?a? = 1+4= 5. a c 3 14.解:(1)由已知得 2c=2 3, = , a 2 解得 a=2,c= 3,所以 b2=a2-c2=1, x2 故椭圆的方程为 +y2=1. 4 (2)由(1)得,过 B 点的直线方程为 y=kx+1. x2 ? ? 4 +y2=1, 由? 得(4k2+1)x2+8kx=0, 1-4k2 8k 所以 xD=- ,所以 yD= , 1+4k2 1+4k2 1 依题意知 k≠0 且 k≠± . 2 因为|BD|,|BE|,|DE|成等比数列,所以|BE|2=|BD|· |DE|, 所以 b2=(1-yD)· |yD|,即(1-yD)· |yD|=1. 当 yD>0 时,y2 D-yD+1=0,无解; 1- 5 当 yD<0 时,y2 , D-yD-1=0,解得 yD= 2 1-4k2 1- 5 2+ 5 所以 ,解得 k2= . 2= 2 4 1+4k

?y=kx+1, ?

2+ 5 故当|BD|,|BE|,|DE|成等比数列时,k2= . 4 c 6 15.解:(1)依题意有 c=2, = ,可得 a2=6,b2=2. a 3 x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 6 2 (2)易知直线 l 的方程为 y=k(x-2). y=k(x-2), ? ?2 2 联立?x y 消去 y 并整理得(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0. + = 1 , ? ?6 2 12k2-6 12k2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , 3k +1 3k +1 2 6(k2+1) 2 2 2 故|AB|= 1+k |x1-x2|= (1+k )[(x1+x2) -4x1x2]= . 3k2+1 2 6k 2k 设 AB 的中点为 M(x0,y0),则 x0= 2 ,y0=- 2 . 3k +1 3k +1 1 1 因 为 直 线 MP 的 斜 率 为 - , 且 xP = 3 , 所 以 |MP| = 1+ 2 ? |x0-xP| = k k k2+1 3(k2+1) ? . k2 3k2+1 3 因为△ABP 为等边三角形,所以|MP|= |AB|, 2 2 k2+1 3(k2+1) 3 2 6(k +1) 即 = ? , 2 ? 2 2 k 2 3k +1 3k +1 解得 k=± 1. 故直线 l 的方程为 x-y-2=0 或 x+y-2=0. c 3 = , a 2

? 1 16.解:(1)由题意得? 3 解得 a=2,b=1. + =1, a 4b ?a =b +c ,
2 2 2 2 2 2

x 故椭圆 E 的方程为 +y2=1. 4 (2)①证明:因为直线 l 与圆 C: x2+y2=R2(1<R<2)相切于点 A, |t| 所以 R= , 即 t2=R2(1+k2)(☆). 1+k2 y=kx+t, ? ?2 联立?x 消去 y 并整理得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0, 2 + y = 1 , ?4 ? 因为直线 l 与椭圆 E 只有一个公共点 B,所以 Δ=64k2t2-16(1+4k2)(t2-1)=16(4k2-t2 +1)=0, 即 4k2-t2+1=0(★). R2-1 由(☆)(★)得 k2= . 4-R2 R2-1 3R2 2 ②设 B(x0,y0),由 k2= , 2,得 t = 4-R 4-R2 4t2-4 16R2-16 2 由韦达定理得,x0 = = . 3R2 1+4k2

1 2 4-R 因为点 B(x0,y0)在椭圆 E 上, 所以 y2 , 0=1- x0= 4 3R2 4 2 所以|OB|2=x2 0+y0=5- 2. R 4 4 2? 在直角三角形 OAB 中, |AB|2=|OB|2-|OA|2=5- 2-R2=5-? ?R2+R ?. R 4 因为 2+R2≥4,当且仅当 R= 2∈(1,2)时取等号, R 所以|AB|2≤1,所以|AB|max=1.

2

专题限时集训(十五)A
【基础演练】
1.D [解析] 设满足条件的点的坐标为(x,y),则 x2+y2=2|y|,整理得 x2-3y2=0. 2.B [解析] 直线 x+2=0 为抛物线 y2=8x 的准线,根据抛物线的定义知,所作圆的圆 心到准线的距离等于圆心到焦点的距离,故这些圆必过定点(2,0). 2 3. A [解析] 设双曲线的一条渐近线方程为 bx+y=0, 根据题意有 ≥1, 即 1+b2 1+b2 c ≤2,所以双曲线的离心率 e= = 1+b2≤2,又 e>1,所以该双曲线离心率的取值范围是(1, a 2].

4.[3,+∞) [解析] 如图所示,过 M 作抛物线 C 的准线的垂线,垂足为 P.根据抛物线 的定义知,|MF|=|MP|.|MF|+|MN|=|MP|+|MN|≥|M0P0|+|M0N|=|P0N|=3,故|MF|+|MN|的 取值范围是 [3,+∞).

(y1y2)2 → → 5. 2 [解析] 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 y2 y2 OB=x1x2+y1y2= 1=4x1, 2=4x2.故OA? 16 1 1 1 +y1y2=-4,即(y1y2)2+16y1y2+64=0,解得 y1y2=-8.故 S△OFA?S△OFB= |y1|? |y2|= |y1y2| 2 2 4 =2.

【提升训练】
6.A [解析] 根据题意有||PA1|-|PA2||=2 3<|A1A2|=4,所以圆心 P 的轨迹是以 A1(-2, x2 0),A2(2,0)为焦点,实轴长为 2 3的双曲线,所以 b2=c2-a2=1,故所求轨迹方程为 -y2 3 =1. 1 7.D [解析] 易知 F1(- 6,0).设 Q(x0,y0),P(x,y),则(x,y)= (x0- 6,y0),得 2 2 2 (2x+ 6) (2y) x0=2x+ 6,y0=2y.代入已知椭圆方程得 + =1,此方程即为点 P 的轨迹 16 10 方程,该方程表示的曲线是椭圆,故点 P 的轨迹为椭圆. → → 8.B [解析] 设直线 F1M 与 PF2 交于点 N,如图所示,由于F1M?MP=0,所以 F1M⊥ PM,故点 F1,N 关于直线 PM 对称,所以 M 为线段 F1N 的中点,且|PN|=|PF1|.在△F1F2N 1 1 1 1 |OM|= |NF2|= ||PN|-|PF2||= ||PF1|-|PF2||= |8-2|PF2||=|4-|PF2||.由于 4-2 2<|PF2| 中, 2 2 2 2 → 的取值范围是(0,2 2). <4+2 2且|PF2|≠4,所以 0<|4-|PF2||<2 2,即 OM

| |

[解析] 根据椭圆定义,|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=12.|AF2|+|BF2|的最大值为 10, 2b2 2m 则|AB|的最小值为 2,故|AB|min= = =2,解得 m=3. a 3 x1+x2+x3 10.3 [解析] 易知 F(1,0).设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).根据已知可得 3 1 2 2 2 1 2 2 2 =1,即 x1+x2+x3=3.故 S1+S2+S3= (y1+y2+y3)= (4x1+4x2+4x3)=3. 4 4 11.(1,3] [解析] 设 F(c,0),A(-a,0),则圆心坐标为(c,0),半径为 a+c.设双曲 |bc| 线的一条渐近线方程为 bx + ay = 0 ,则圆心到该渐近线的距离 d = 2 2= b ,故 |PQ| = b +a 9.A 2 (a+c)2-b2≥2b,整理得(a+c)2≥2b2,即 c2-2ac-3a2≤0,不等式两边同时除以 a2, 得 e2-2e-3≤0,解得-1≤e≤3.又 e>1,所以该双曲线的离心率的取值范围是(1,3]. 12. 3 [解析] 由已知得点 M 在以 F 为圆心,半径为 1 的圆上,MP 为该圆的切线,如 图所示,|PM|= |PF|2-|MF|2= |PF|2-1.因为|PF|的最小值为 2,所以|PM|的最小值为 3.

13. 2 13 [解析] 抛物线 y2=-8x 的准线方程为 x=2, 设点 O 关于直线 x=2 的对称点 为 B(4,0),则|PO|=|PB|,所以|PA|+|PO|=|PA|+|PB|≥|AB|.设 A(x0,y0),则|AF|=2-x0=4, 得 x0=-2, 代入抛物线方程得 y0=± 4, 即 A(-2, ± 4), 所以|AB|= (-2-4)2+(± 4-0)2 = 52=2 13.故|PA|+|PO|的最小值是 2 13. 14.解:(1)设动点 N(x,y),A(x0,y0).因为 AM⊥x 轴于点 M,所以 M(x0,0). |3 5| 设圆 C1 的方程为 x2+y2=r2,由题意得 r= =3,所以圆 C1 的方程为 x2+y2=9. 1+4 3 3 → → → 因为ON= OA+?1- ?OM, 3 3? ? 3 3 所以(x,y)= (x0,y0)+?1- ?(x0,0), 3 3? ? x = x , 0 ? ? ?x0=x, 所以? 即? 3 y = 3y. ? ?y= 3 y0, ? 0 x2 y2 将 A(x, 3y)代入圆 C1 的方程 x2+y2=9,得动点 N 的轨迹方程 + =1. 9 3 x2 y2 (2)由题意可设直线 l:2x+y+m=0,设直线 l 与椭圆 + =1 交于 B(x1,y1),D(x2,y2) 9 3 两点. ? ?y=-2x-m, 联立? 2 得 13x2+12mx+3m2-9=0, 2 ?x +3y =9, ?

所 以 Δ = 144m2 - 4?13(3m2 - 9)>0 , 解 得 m2<39 , 故 x1 , 2 = -6m± 117-3m2 . 13

-12m± 468-12m2 = 26

2 117-3m2 |m| ,BD= 5?|x1-x2|= 5? , 所以 S△OBD 13 5 2 117-3m2 m2(117-3m2) 3m2(39-m2) 3 3 1 |m| = ? ? 5? = = ≤ (当且仅当 m2=39 2 13 13 13 2 5 39 -m2,即 m2= 时等号成立), 2 3 3 所以△OBD 面积的最大值为 . 2 15. 解: (1)连接 BP.由题意知 MN 是线段 BP 的垂直平分线, 于是|AP|=|AM|+|MP|=|MA| +|MB|=2 2>|AB|=2, 所以点 M 的轨迹是以点 A,B 为焦点,半焦距 c=1,长半轴 a= 2的椭圆,则短半轴 b x2 = a2-c2=1,故点 M 的轨迹方程是 +y2=1. 2 2 x ? ? 2 +y2=1, (2)设 F(x ,y ),H(x ,y ).由? 又因为点 O 到直线 l 的距离 d=
1 1 2 2

? ?y=kx+ k2+1(k>0),

消去 y 得(2k2+1)x2+4k k2+1x+2k2=0,则 Δ=8k2>0, 4k k2+1 2k2 x1+x2=- ,x1x2= 2 . 2 2k +1 2k +1 → → OF?OH=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ k2+1)(kx2+ k2+1)=(k2+1)x1x2+k k2+1(x1+x2) 2 +k +1= 4k k2+1 2 k2+1 2k2 (k2+1) 2 -k k2+1? +k +1= 2 , 2 2k + 1 2k +1 2k +1 2 2 k +1 3 1 2 故有 ≤ 2 ≤ ,即 ≤k ≤1, 3 2k +1 4 2 2 又由 k>0,解得 ≤k≤1. 2 2 2 c2 a -b 1 16.解:(1)由 e2= 2= 2 = ,可得 a2=2b2, a a 2 x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 2+ 2=1. 2b b 6 代入点?-1,- ?,可得 b2=2,所以 a2=4, 2? ? x2 y2 故椭圆 E 的方程为 + =1. 4 2 (2)由 x-my-t=0,得 x=my+t,把它代入椭圆 E 的方程得 (m2+2)y2+2mty+t2-4=0.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 t2-4 2mt y1+y2=- 2 ,y1y2= 2 , m +2 m +2 4t 故 x1+x2=m(y1+y2)+2t= 2 , m +2 2t2-4m2 x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2= 2 . m +2 因为以 MN 为直径的圆过点 A,所以 AM⊥AN,

2t -4m → → 所 以 AM ? AN = (x1+2,y1) ? (x2+2,y2) = x1x2 + 2 (x1+x2) + 4 + y1y2 = 2 + m +2 t2-4 3t2+8t+4 (t+2)(3t+2) 4t 2? 2 +4+ 2 = = =0. m +2 m +2 m2+2 m2+2 2 又因为 M,N 均与 A 不重合,所以 t≠-2,所以 t=- , 3 2 ? 2 故直线 l 的方程是 x-my+ =0, 直线 l 过定点 T? ?-3,0?.由于点 T 在椭圆内部,所以满 3 2 ? 足判别式大于 0,所以直线 l 过定点 T? ?-3,0?.

2

2

专题限时集训(十五)B
【基础演练】
1.解:(1)由已知得抛物线 C 的焦点 F(1,0),易知直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的斜率为 k(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), AB 的中点为 M(x0,y0), x1+x2 x0= , ? 2 2 ?y1=4x1, 则 由? 2 得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2), ?y2=4x2, y1+y2 ? y0= . 2 所以 2y0k=4.又 y0=2,所以 k=1. 故直线 l 的方程是 y=x-1. (2)设直线 l 的方程为 x=my+1, ?x=my+1, ? 与抛物线的方程联立得? 2 ?y =4x, ? 2 整理得 y -4my-4=0, 所以有 y1+y2=4m,y1y2=-4,Δ=16(m2+1)>0, |AB|= m2+1|y1-y2|= m2+1 (y1+y2)2-4y1y2=4(m2+1), 所以 4(m2+1)=20,解得 m=± 2, 所以直线 l 的方程为 x=± 2y+1,即 x± 2y-1=0. y y 2 2.解:(1)设 M(x,y),则 kMA?kMB= ? =- (x≠± 3), 3 x+ 3 x- 3 2 2 2 2 x y x y 化简得 + =1,∴轨迹 C 的方程为 + =1(x≠± 3). 3 2 3 2 1 (2)设 l:x=my+1,O 到 l 的距离 d= , 1+m2 1 ∴|PQ|=2 5- ∈[4, 19], 1+m2 ∴0≤m2≤3. 将 x=my+1 代入轨迹 C 的方程并整理得(2m2+3)y2+4my-4=0. 4m 4 设 R(x1,y1),S(x2,y2),则 y1+y2=- 2 ,y1y2=- 2 , 2m +3 2m +3 16m2 16 ∴|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2= + , (2m2+3)2 2m2+3

? ? ?

3(m2+1) . (2m2+3)2 1 设 m2+1=t∈[1,4],则 f(t)=4t+ 在区间[1,4]上单调递增, t 65? ∴f(t)∈? ? 5, 4 ? , 3t 4 3 ∴S△F′RS=4 , 2= (2t+1) 1? ? 4+?4t+ t ? 8 3 4 3 ∴△F′RS 的面积的最小值为 ,最大值为 . 9 3 3.解:(1)因为椭圆 C 经过点 A(0,-1),所以 b=1. a2-1 c 3 因为 e= = = ,所以 a=2, a a 2 x2 2 所以椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 1 ∴S△F′RS= |y1-y2|?|FF′|=4 2

3? (2)①若过点? ?0,5?的直线的斜率不存在,此时 M,N 两点中有一点与 A 点重合,不满足 条件,所以直线 MN 的斜率存在. 3 设直线 MN 的斜率为 k,则直线 MN 的方程为 y=kx+ . 5 3 24 64 2 2 把 y=kx+ 代入椭圆 C 的方程得(1+4k )x + kx- =0,设 M(x1,y1),N(x2,y2), 5 5 25 24k 则 x1+x2=- ,x ?x = 5(1+4k2) 1 2 64 6 6 - ,所以 y1+y2=k(x1+x2)+ = , 5 5(1+4k2) 25(1+4k2) 2 -100k +9 3 9 y1?y2=k2x1?x2+ k(x1+x2)+ = . 5 25 25(1+4k2) → → 因为 A(0,- 1),所以AM?AN= (x1, y1+1)· (x2, y2+ 1)= x1x2+ y1y2 + (y1+ y2)+ 1=- 2 -100k +9 64 6 + + +1=0. 25(1+4k2) 25(1+4k2) 5(1+4k2) ②由①知∠MAN=90°, 如果△AMN 为等腰直角三角形, 设 MN 的中点为 P, 则 AP⊥MN, 12 k 3 且 P?-5(1+4k2),5(1+4k2)?. ? ? 3? 3 若 k=0,则 P? ?0,5?,显然满足 AP⊥MN,此时直线 MN 的方程为 y=5; 20k2+8 1 5 5 3 若 k≠0,则 kAP=- =- ,解得 k=± ,所以直线 MN 的方程为 y=± x+ , 12k k 5 5 5 即 5x-5y+3=0 或 5x+5y-3=0. 3 综上所述,直线 MN 的方程为 y= 或 5x-5y+3=0 或 5x+5y-3=0. 5

【提升训练】
1 c- 2 1 4.解:(1)设 F2(c,0),则 = ,所以 c=1. 1 3 c+ 2 c 2 又因为离心率 e= = ,则 b=1,所以 a= 2,则 b=1, a 2 x2 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 2 (2)由(1)知 F2(1,0). 1 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 的方程为 x=- , 2 → → 此时 P(- 2,0),Q( 2,0),所以F2P?F2Q=-1. 当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k, 1 ? M? ?-2,m?(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 2 x1 +y2 1=1, 2 y1-y2 由 2 得(x1+x2)+2(y1+y2)· =0, x1-x2 x2 2 +y2=1, 2 1 即-1+4mk=0,故 k= . 4m 此时,直线 PQ 斜率为-4m, 1? 则直线 PQ 的方程为 y-m=-4m? ?x+2?,即 y=-4mx-m.设 P(x3,y3),Q(x4,y4).

? ? ?

2m2-2 16m2 所以 x3+x4=- ,x3x4= , 2 32m +1 32m2+1 → → 所以F2P?F2Q=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+m)+(4mx4+m)=(1+ (1+16m2)(2m2-2) (4m2-1)(-16m2) 16m2)x3x4+(4m2-1)(x3+x4)+1+m2= + +1 32m2+1 32m2+1 19m2-1 +m2= . 32m2+1 → → 19 51 令 t=1+32m2,则F2P?F2Q= - . 32 32t 1 7 7 → → 125 将 x=- 代入椭圆 C 的方程得 y2= , 故 m2< , 所以 1<t<29, 所以-1<F2P? F2Q< . 2 8 8 232 125 → → ? 综上所述,F2P?F2Q的取值范围为? ?-1,232?. 3 1 9 1, ?在椭圆 C 上,得 2+ 2=1. 5.解:(1)由 P? ? 2? a 4b 由题知 a=2c,则 a2=4c2,b2=3c2, 所以 c2=1,a2=4,b2=3. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)由题意可设 AB 的斜率为 k, 则直线 AB 的方程为 y=k(x-1), 将 y=k(x-1)代入 3x2+4y2=12 并整理, 得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 4(k2-3) 8k2 则有 x1+x2= 2 ,x1x2= . 4k +3 4k2+3 在方程 y=k(x-1)中令 x=4 得,M 的坐标为(4,3k), 3 3 3 y1- y2- 3k- 2 2 2 1 从而 k1= ,k = ,k = =k- . 2 x1-1 2 x2-1 3 4-1 因为 A,F,B 三点共线,所以有 k=kAF=kBF, y1 y2 即 = =k, x1-1 x2-1 3 3 y1- y2- 1 1 2 2 y1 y2 3 所 以 k1 + k2 = + = + - ?x -1+x -1? = 2k - 2 ? 1 ? x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 2 x1+x2-2 3 ? =2k- 2 x1x2-(x1+x2)+1 2 8k -2 4k2+3 3 ? =2k-1. 2 4(k2-3) 8k2 - 2 +1 4k2+3 4k +3 1 又 k3=k- ,所以 k1+k2=2k3. 2 故存在常数 λ=2,使得 k1+k2=λk3.

y=-4mx-m, ? ?2 联立?x 消去 y,整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0, 2 + y = 1 , ?2 ?

专题限时集训(十六)
【基础演练】
?a2+S3=4a1+4d=-4, ?a1=-3, ? ? 1.C [解析] 由? 解得? ?a4=a1+3d=3, ?d=2. ? ? 2.A [解析] ∵b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ),又(b+λa)⊥c,∴ (b+λa)· c=0, 3 即(1+λ,2λ)· (3,4)=3+3λ+8λ =0,解得 λ=- . 11 3.D [解析] 设|PF2|=x,则|PF1|=2x,2c=|F1F2|= 3x.由椭圆定义得 3x=2a,所以 e 2c 3x 3 = = = . 2a 3x 3 1 4.A [解析] 因为函数 f(x)=x2-x+a(a>0)的对称轴为 x= ,所以 f(0)=a>0,画出函数 2 f(x)的图像,如图所示.由 f(m)<0?0<m<1?m-1<0?f(m-1)>0.

5.30° [解析] 根据正弦定理得 c=2 3b,将其代入 a2-b2= 3bc,得 a= 7b.根据余 b2+c2-a2 b2+12b2-7b2 3 弦定理得 cos A= = = .又 0°<A<180°,所以 A=30°. 2bc 2 2b?2 3b

【提升训练】
6. A [解析] 令 x=y=0, 得 f(0)=f(0)+f(0), 则 f(0)=0.再令 y=-x, 得 f(0)=f(x)+f(- x),∴f(-x)=-f(x), 又定义域关于原点对称,∴f(x)为奇函数. 设-1<x1<x2<1,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0, ∴f(x)为奇减函数. ∵f(1-a)+f(1-a2)<0,∴f(1-a)<-f(1-a2). ∵f(x)为函数,∴f(1-a)<f(a2-1). 又∵f(x)在区间(-1,1)上为减函数, 2 ?1-a>a -1, ∴?-1<1-a<1,解得0<a<1.

?

? ?-1<a2-1<1,

7.C [解析] 易知当 x∈(-∞,-a)时,函数 f(x)单调递减,当 x∈(-a,+∞)时,函 数 f(x)单调递增,x=-a 为 f(x)的最小值点.所以,当 a≥0 时,M(a)=f(1)=|1+a|=1+a; ?1-x,x<0, ? 当 a<0 时,M(a)=f(-1)=|-1+a|=-(-1+a)=1-a.所以 M(x)=? 在同一坐标 ? ?1+x,x≥0. 2 系中画出 y=M(x)和 y=|x -1|的图像,如图所示,由图像可知两个函数的图像有 3 个不同的 公共点,所以函数 g(x)有 3 个零点.

8.B

2a-b+1≥0, ? ?a-3b+1≤0, [解析] 由已知有 ? 作出可行域(如图所示). a>0, ? ?b>0,

令 d=

(a-1)2+b2,则 d 的最小值为点(1,0)到直线 a-3b+1=0 的距离,此时 dmin=

10 2 ,所以(a-1)2+b2 的最小值为 . 5 5

9.D [解析] 易知 F(x)为奇函数,则零点关于 y 轴左右对称,而函数 y=f(x)的图像与函 数 y=sin x 的图像在区间(0, π ]上有 2 个交点, 所以在区间[-π , 0)上也有 2 个交点. 又 F(0) =0,所以函数 F(x)在区间[-π ,π ]上的零点个数为 5. π 10.D [解析] 对于①,区间[-1,0],[0,1]为 f(x)=sin x 的两个“可等域区间”; 2 对于②,根据图像可判断区间[-1,1]是其唯一的“可等域区间”;对于③,根据图像可判 断区间[0,1]是其唯一的“可等域区间”;④f(x)=log2(2x-2)无“可等域区间”. 11.B [解析] 当函数 g(x)=x3+t 过点(2,2)和点(-2,-2)时是两种极端情况,分别求 出 t=-6,t=6,所以 t 的取值范围是(-6,6). 12.[0,5) [解析] 由 x,y 的约束条件作出可行域,如图中阴影区域所示.令 u=2x- u+1 2y-1,则 y=x- ,先画出直线 y=x,再平移直线 y=x,易知当直线分别经过点 A(2, 2 1 2? 5 -1),B? ?3,3?时,u 取得最大值与最小值.又 x<2,所以-3≤u<5,故 z=|u|∈[0,5).

13.(2,-1,-3) [解析] 因为 37=36+1=4+32+1=22+25+20,所以 x+3=5,y +3=2,z+3=0,即得整数组(x,y,z)为(2,-1,-3). 14.4 7 [解析] 根据正弦定理和 asin A-bsin B=(a-c)sin C,得 a2-b2=(a-c)c,即

a2+c2-b2 1 a2+c2-b2=ac,所以 cos B= = ,所以 B=60°.在△ABM 中,设∠BAM=θ(0°< 2ac 2 AM BM θ <120°),根据正弦定理得 = ,所以 BM=4sin θ ,所以 BC=2BM=8sin θ . sin 60° sin θ AB AM 再根据正弦定理得 = ,所以 AB=4sin(120°-θ),故 BC+AB=8sin sin(120°-θ ) sin 60° 3 θ +4sin(120°-θ)=10sin θ +2 3cos θ =4 7sin(θ+φ),其中 tan φ = ,所以 BC+AB 5 的最大值为 4 7. ? ?a1+2d=3, 15.解:(1)设数列{an}的公差为 d,由? ?a1+(a1+3d)=5, ? ? a = 1 , ? 1 解得? ?d=1, ? 所以 an=a1+(n-1)d=1+(n-1)?1=n. 1 1 1 (2)因为 an=n,所以 bn= = - , n(n+1) n n+1 1? ?1 1? ?1 1? 1 n ?1- 1 ? 所以 Sn=? ?1-2?+?2-3?+?3-4?+?+?n n+1?=1-n+1=n+1. 16.解:(1)△FOP 的外接圆圆心为 OF,FP 的中垂线的交点,且 OF 的中垂线为直线 y p p = ,则圆心的纵坐标为 , 4 4 p p 3 所以有 + = , 2 4 2 从而得 p=2,故抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)设过点 P(x0,y0)且斜率存在的直线为 y-y0=k(x-x0), |y0-kx0-1| 则点 F(0,1)到该直线的距离 d= . k2+1 |y0-kx0-1| 2 2 令 d=1,则 =1,所以(x2 0-1)k -2x0(y0-1)k+y0-2y0=0. 2 k +1 2x0(y0-1) y2 0-2y0 设两条切线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2,则 k1+k2= ,k1k2= 2 . 2 x0-1 x0-1 直线 PM:y-y0=k1(x-x0),直线 PN:y-y0=k2(x-x0), y0 ? y0 ? ? 故 M? ?x0-k1,0?,N?x0-k2,0?, y0 y0? ?k1-k2? 因此|MN|=? ?k2-k1?=y0? k1k2 ?= y0 (k1+k2)2-4k1k2 = (k1k2)2 8y0+4y2 0 , (y0-2)2
2 2

y0(2y0+y0) 1 所以 S△PMN= ?|MN|· y0= . 2 (y0-2)2 t2(2t+t2) 2t2(t2-3t-6) 设 f(t)= (t>0),则 f′(t)= . (t-2)2 (t-2)3 3- 33 3+ 33 令 t2-3t-6=0,则 t= (舍)或 t= . 2 2 ? 3+ 33?上单调递减, ?3+ 33 ?上单调递增, 易知 f(t)在区间?2, 在区间? 因此 f(t)min ? ? 2 ? ? ? 2 ,+∞? ?3+ 33?, =f? ? ? 2 ? 3+ 33 从而当 y0= 时 S△PMN 取得最小值. 2

专题限时集训(十七)
【基础演练】
1.A [解析] 因为 A∪B=A?B?A,所以 m=3 或 m= m,解得 m=3 或 m=0 或 m= 1,根据集合元素的互异性可知,m≠1,所以 m=0 或 3. sin 47°-sin 17°cos 30° 2.C [解析] cos 17° sin(30°+17°)-sin 17°cos 30° = cos 17° sin 30°cos 17°+cos 30°sin 17°-sin 17°cos 30° = cos 17° sin 30°cos 17° = cos 17° =sin 30° 1 = . 2 y2 3.D [解析] 根据题意,得 m2=16,解得 m=± 4.当 m=4 时,圆锥曲线 x2+ =1 是椭 4 2 3 y 圆,其离心率为 ;当 m=-4 时,圆锥曲线 x2- =1 是双曲线,其离心率为 5. 2 4 b2+c2-a2 1 4.C [解析] 根据正弦定理可得,b2+c2-a2=-bc,又 cos A= =- ,0<A< 2bc 2 2π π ,所以 A= . 3 5.(-1,0)∪(1,+∞) [解析] 当 x>0 时,由 log2x>0 可得 x>1.根据函数 f(x)是奇函数, 其图像关于坐标原点对称可得,当 x<0 时,f(x)>0 的解集为(-1,0),所以 x 的取值范围是(- 1,0)∪(1,+∞).

【提升训练】
Sn+64 n2+n+64 n 32 1 [解析] 由已知易得公差 d=2,首项 a1=2,所以 = = + + ≥ an 2n 2 n 2 n 32 1 17 2 ? + = , 2 n 2 2 当且仅当 n=8 时,等号成立. 7.A [解

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