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湖北省八校2013届高三第一次联考数学(理)试题(word版,有答案)


湖北省

鄂南高中、华师一附中、黄冈中学、黄石二中、 荆州中学、襄 阳 四中、襄阳五中、孝感高中

八校

2013 届高三第一次联考
数学试题(理科)
命题学校:黄市二中 命题人:张晓华 考试时间:2012 年 12 月 21 日下午 15:00——17:00 审题人:黄金龙 王付繁 试卷满分:15

0 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.集合 A= x y ? - x 2 ?10x ? 16 ,集合 B= y y ? log2 x, x ? A ,则 A ? CR B ? A. ?2, 3? B. ?1, 2? C. ?3, 8? D. ?3, 8?

?

?

?

?

2 2.若命题 p: ?x0 ??- 3,3?, x0 ? 2x0 ? 1 ? 0 ,则对命题 p 的否定是

A ?x ? ?-3,3? , x ? 2x ? 1 ? 0
2 2

B ?x ? ? -?,-3?U ? 3, ??? , x ? 2x ? 1 ? 0
2
2 D. ?x0 ??- 3,3?, x0 ? 2x0 ? 1 ? 0

C. ?x ? ? -?,-3?U ?3, ??? , x ? 2x ? 1 ? 0

3.某实心几何体件的三视图如图所示,该几何体的体积为 A. 36 ? 2? B. 36 ? 4? C. 36 ? 8? D. 36 ? 10?

4..等比数列 ?an ?各项为正, a3 , a5 ,-a4 成等差数列. Sn 为 ?an ?的前 n 项和,则

S6 = S3

A.2

B.

7 8

C.

9 8

D.

5 4

5. 如图 MN 是半圆 O 的直径, MN=2, 等边三角形 OAB 的顶点 A、 在半圆弧上, AB//MN, B 且 点 P 半圆弧上的动点,则 PA? PB 的取值范围是 A.? , ? 3 ? 2 2 6.若双曲线 x ?
2

?3 3 ?

? ?

B.? - 3, ?

?3 ?2

3? 2?

C.? - 3, ? 3 ? 2 2

?3 ?

3

? ?

D.?

?3 - 3 3 ? ,? 2? ? 2

y2 ? ?? ? 1 的一条渐近线的倾斜角 ? ? ? 0, ? ,则 m 的取值范围是 2 m ? 3?
第 1 页 共 10 页

A. ?- 3,0?

B. - 3,0

?

?

C. ?0,3?

D. (

3 ,0) 3

7.在 ?ABC 中, sin ( A ? B) ? sin C ? A.

? 3
2

B.

? 6
2 2

3 , BC ? 3 AC , 则 ?B ? 2
C.

? ? 或 6 3

D.

? 2

8.已知 a, b, c ? R ,则 2a ? 3b ? 6c ? 1 是 a ? b ? c ? ?-1,1? 的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 9.若实数 x, y 满足: ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ,则 x ? 2 y 的最大值是

? 2y ? x ? 0
2 ?y ? 5 ? x

A.3

B. 2 5

C.5

D5 5

? 3x ( x ? 0) 10. 已知函数 f ( x) ? ? , 函数 g ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x) ? t (t ? R) . 关于 g (x) ?log3 (- x) ( x ? 0)
的零点,下列判断不正确的是 ... A.若 t ?

1 , g ( x) 有一个零点 4

B.若 - 2 ? t ?

1 , g ( x) 有两个零点 4

C.若 t ? -2, g ( x) 有三个零点

D.若 t ? -2, g ( x) 有四个零点

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)必做题(11-14 题) 11.已知复数 z ? (1 ? 2i) ? (3 ? 4i), i 为虚数单位,则 z 的共轭复数是 . .

12. 函数 f ( x) ? x ln x ,a ? f (2), b ? f ( ), c ? f ( ) , a, b, c 从小到大的排列是 则 13.阅读如图所示程序框图,运行相应程序,输出结果 n = .

1 3

1 4

14.如图把函数
第 2 页 共 10 页

f1 ( x) ? x, f 2 ( x) ? x ?

x3 , 6

f 3 ( x) ? x ?

x3 x5 x3 x5 x7 ? , f 4 ( x) ? x ? ? ? , 6 120 6 120 5040

f 5 ( x) ? x ?

x3 x5 x7 x9 ,依次称为 f ( x) ? sin x 在 ?0,x? 上的第 1 项、 ? ? ? 6 120 5040 362880

2 项、3 项、4 项、5 项多项式逼近函数.以此类推,请将 f ( x) ? sin x 的 n 项多项式逼 近函数 f n (x) 在横线上补充完整: f n ( x) ?
2 n ?1

?
k ?1



)(n, k ? N?) .

(二)选做题(请考生在 15、16 两题中任选一题作答.如果全选,则按第 15 题作答结果计 分) 15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图过点 A 作圆 O 的一条切线 AB ,切点为 B ,OA 交圆 O 于点 C . 若 OC ? CA, BC ? 1 ,则 AB ? 16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 曲线 C 的极坐标方程为: ? ? cos? ? sin ? ,化成普通方程为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) .

( 函 数 f ( x) ? A si n wx ? ? ) ? 1 (A ? 0,w ? 0,

? ?

大值为 2,其图像相邻两个对称中心之间的距离为 (1)求函数 f (x) 的单调递增区间; (2)若 f (? ) ?

? ? 1 ( ,且经过点 - , ) . 2 12 12

? ) 的最 2

? ? 7 ? ,且 ? ? ? ? , ? ,求 f ( ? ) 的值. ?12 4 ? 2 6 5 ? ?
2 3

18.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? - , n ?1 ? a

- 2an ? 3 (n ? Nn) . 3an ? 4

(1)证明数列 {

1 } 是等差数列,并求 ?an ? 的通项公式; an ? 1

(2)数列 {bn } 满足: bn ? 19.( 本 小 题 满 分 12

3n (n ? Nn) ,求 {bn } 的前 n 项和 Sn . an ? 1
分 ) 如 图

D I , 平 面 四 边 形 A B C 中 ,

?A ? 600,?ABC ? 1 50,AB ? AD ? 2BC ? 4, ?ABD 沿直线 BD 折起, 0 把 使得平
面 ABD ? 平面 BCD ,连接 AC 得到如图 II 所示四面体 A ? BCD .设点 O, E , F 分别 是 BD, AB, AC 的中点.连接 CE, BF 交于点 G ,连接 OG .

第 3 页 共 10 页

(1)证明: OG ? AC ; (2)求二面角 B ? AD ? C 的大小.

20. (本小题满分 12 分)在淘宝网上,某店铺专卖当地某种特产,由以往的经验表明,不考 虑其他因素,该特产每日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克,

1 ? x ? 5 )满足:当 1 ? x ? 3 时, y ? a( x ? 3) 2 ?

b , a, b为常数) 3 ? x ? 5 ;当 ( x ?1

时, y ? -70x ? 490,已知当销售价格为 2 元/千克时,每日可售出该特产 700 千克; 当销售价格为 3 元/千克时,每日可售出该特产 150 千克. (1)求 a, b 的值,并确定 y 关于 x 的函数解析式; (2)若该特产的销售成本为 1 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使店铺每日销售该特 产所获利润 f (x) 最大( x 精确到 0.01 元/千克) . 21.(本小题满分 13 分) 如图所示, 过点 M (m,1) 作直线 AB 交抛物线 x 2 ? y 于 A, B 两点,且 AM ? MB ,过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 C .连 接 AC, BC, 记三角形 ABC 的面积为 S? ,记直线 AB 与抛物线所围成的 阴影区域的面积为 S弓 . (1)求 m 的取值范围; (2)当 S? 最大时,求 m 的值; (3)是否存在常数 ? ,使得

S? 若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由. ??? S弓
t

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (1 ? x) ? 1的定义域为 ?- 1,??? ,其中实数 t 满足

t ? 0且t ? 1 .直线 l : y ? g (x) 是 f (x) 的图像在 x ? 0 处的切线.
(1)求 l 的方程: y ? g (x) ; (2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,试确定 t 的取值范围; (3)若 a1, a2 ? ?0,1? ,求证: a1 1 ? a2 2 ? a1 2 ? a21 .
a a a a

( ? 注:当 ? 为实数时,有求导公式 x )? ?x

?

? ?1



第 4 页 共 10 页

参考答案
一 选择题: 1.D 2.A 3.A 4.C 5.B 二 填空题 11. ? 6.A 7.B 8.A 9.C 10.D

1 2 ? i 5 5

12. b ? c ? a

13.3

k? x k (k ? 1)? x k (i k ?1 ? (?i) k ?1 ) x k ) , ) 14. sin( [供参考: cos( (i 为虚数单位)] 2 k! 2 k! 2 k!
15. 3 16. x2 ? x ? y 2 ? y ? 0

三 解答题:

, f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? 1 ……….3’ 3 3 ? ? ? 5 ? (k ? Z ) 令 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? 得 k? ? ? ? x ? k? ? 2 3 2 12 12 5 ? 所以 f ( x ) 单调递增区间是 [k? ? ? , k? ? ](k ? Z ) ; ……….6’ 12 12 7 ? 4 (2)由 f (? ) ? ,得 sin(2? ? ) ? , 5 3 5 ? ? ? 3 ? ? ? [ , ] 所以 cos(2? ? ) ? ? 12 4 3 5

17.解: (1)由已知: A ? 3, ? ? 2, ? ?

?

?

1 ? cos(2? ? ) ? ? 2? ? 3 ?1 f ( ? ) ? 3sin(? ? ) ? 1 ? 3cos(? ? ) ? 1 = 3 2 6 3 6 2
=

?

3 5 ?1 . 5
1 an ?1 ? 1 ? 3a ? 4 1 1 ? n ? 3? ?2an ? 3 an ? 1 ? 1 an ? 1 3an ? 4

………12’

18.解: (1)因为

所以

1 ?3 an?1 ? 1 an ? 1 ? 1 }是首项为 3,公差为 3 的等差数列。 an ? 1
....... .......4'

1

所以{

所以

1 ? 3n , an ? 1

第 5 页 共 10 页

所以 an ?

1 ?1 ; 3n

......... .........5'

(2)由已知 bn ?
3

3n ? 3n?1 n an ? 1

........ ........6’

Sn ? 32 ?1 ? 3 ? 2 ? ... ? 3n ? (n ? 1) ? 3n?1 ? n



3Sn ? 33 ?1 ? 34 ? 2 ? ... ? 3n?1 ? (n ?1) ? 3n?2 ? n ②
① - ② 得

?2Sn ? 32 ? 3 ? ... ? 3n?1 ? 3n?2 ? n
3

?

32 (3n ? 1) n ? 2 ?3 ?n 3 ?1 3n ? 2 ? 9 n n ? 2 ? 3 ?4 2

........ ........9’

所以 Sn ?

?

(2n ? 1) n ? 2 9 3 ? . 4 4

........ ........12’

19.解: (以下仅提供一种解法,其它解法酌情给分) (1) 由已知, ?ABD 是等边三角形,取 OD 的中点 M ,连接 AM 、CM、FM 在三角形 ABM 中,BM=3,AB=4,B= 60 , 由余弦定理得 AM= 13 在三角形 CBM 中,BC=2,BM=3, CB ? BD ,得 CM= 13 所以 AM=CM, 因为 F 为 AC 中点,所以 MF ? AC 由已知,G 为三角形 ABC 的重心, 所以 BG:GF=BO:OM=2:1 所以 OG//MF, 所以 OG ? AC ;........ .........6' (2)? 平面 ABD ? 平面 BCD , 平面 ABD ? 平面 BCD =BD
?

CB ? BD ? CB ? 面 ABD ? CB ? AB ? ?ABC ? ?BCD ? AC ? CD
取 AD 中点 N,连接 CN,BN, 则 CN ? AD,BN ? AD
第 6 页 共 10 页

所以 ?BNC 是二面角 B ? AD ? C 的平面角.
? 在三角形 BNC 中,CB ? BN,BC=2,BN= 2 3 ,所以 ?BNC = 30

所以二面角 B ? AD ? C 的大小为 30

?

........12' .......

20.解: (I)因为 x=2 时,y=700;x=3 时,y=150,所以

?b ? ? 150 解得 a ? 400, b ? 300 ?2 ? a ? b ? 700 ?

300 ? 2 (1 ? x ? 3) ?400( x ? 3) ? 每日的销售量 y ? ? x ?1 ??70 x ? 490(3 ? x ? 5) ?
(II)由(I)知, 当 1 ? x ? 3 时: 每日销售利润 f ( x) ? [400( x ? 3) 2 ?



....4' ...

300 ]( x ? 1) ? 400( x ? 3)2 ( x ?1) ? 300 x ?1

? 400( x3 ? 7 x2 ? 15x ? 9) ? 300 ( 1 ? x ? 3 )
f '( x) ? 400(3x2 ?14 x ? 15)
5 , 或 x ? 3 时 f '( x) ? 0 3 5 5 当 x ? (1, ) 时 f '( x) ? 0 , f ( x ) 单增;当 x ? ( ,3) 时 f '( x) ? 0 , f ( x ) 单减. 3 3 5 5 32 .. ? x ? 是函数 f ( x) 在 (1,3] 上的唯一极大值点,f ( ) ? 400 ? ? 300 ? 700 ; .. 8' 3 3 27 当 3 ? x ? 5 时:
当x?
2 每日销售利润 f ( x) ? (?70 x ? 490)( x ? 1) = ?70( x ? 8x ? 7)

5 f ( x) 在 x ? 4 有最大值,且 f (4) ? 630 ? f ( ) . 3 5 综上,销售价格 x ? ? 1.67 元/千克时,每日利润最大. 3

.....11' .... ..... .....12'

21.解: (1)易知直线 AB 的斜率存在,设 AB 直线方程为 y ? k ( x ? m) ? 1
2 代入抛物线方程 x ? y 得, x ? kx ? mk ? 1 ? 0 (*)
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 因为 M 是 AB 的中点,所以 m ?

x1 ? x2 k ? ,即 k ? 2 m 2 2
第 7 页 共 10 页

方程(*)即为: x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 (**)
2 2

由 ? ? 4m ? 8m ? 4 ? 0 得 ?1 ? m ? 1
2 2

所以 m 的取值范围是 (?1,1) ; (2)因为 M (m,1), C(m, m2 ), MC ? x 轴, 所以|MC|= 1 ? m ,
2

... ...4'

由方程(**)得 x1 ? x2 ? 2m, x1 x2 ? 2m2 ?1 所以 S? = S ACM ? SBCM =

1 1 | x1 ? x2 | .| MC | = ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 .| MC | 2 2

=

3 1 4 ? 4m 2 . ? m 2 ) = (1 ? m2 ) 2 ≤1 (1 2

所以当 S? 最大时, m ? 0 ; (3)常数 ? 存在且 ? ? 不妨设 x1 ? x2

... ...8'

3 4

S弓 =? [k ( x ? m) ? 1 ? x2 ]dx =? [2mx ? 1 ? 2m2 ? x2 ]dx
x1 x1

x2

x2

1 ? [mx 2 ? (1 ? 2m2 ) x ? x3 ] |x12 x 3 1 3 2 ? m( x2 ? x12 ) ? (1 ? 2m 2 )( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? x13 ) 3 1 2 ? ( x2 ? x1 )[m( x2 ? x1 ) ? (1 ? 2m 2 ) ? ( x2 ? x2 x1 ? x12 )] 3 1 ? ( x2 ? x1 )[m( x2 ? x1 ) ? (1 ? 2m 2 ) ? (( x2 ? x1 ) 2 ? x2 x1 )] 3
由方程(**)得 x1 ? x2 ? 2m, x1 x2 ? 2m2 ?1, 代入上式化简得 S弓 ?
3 2 4 4 ? 4m2 . (1 ? m2 ) ? (1 ? m2 ) 2 3 3

由(2)知 S? = (1 ? m ) 2
2

3

S (1 ? m 2 ) 2 3 ? 所以 ? = 3 S弓 4 4 (1 ? m 2 ) 2 3
第 8 页 共 10 页

3

所以常数 ? 存在且 ? ?

3 . 4

.........13' ........

22.解: (1)因为 f '( x) ? t (1 ? x) x?1 ,所以 f '(0) ? t , 又 f (0) ? 0 ,所以 l : y ? tx ; (2)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? (1 ? x) t ? tx ?1 .......... ..........2'

h '( x) ? t (1 ? x)t ?1 ? t ? t[(1 ? x)t ?1 ?1]
当 t ? 0 时,

(1 ? x)t ?1 ?1 单调递减,当 x ? 0 时, h '( x) ? 0
当 x ? (?1, 0) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减;当 x ? (0, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增. 所以,x ? 0 是 h( x) 的唯一极小值点, 所以 h( x) ? h(0) ? 0 , f ( x ) ≥ g ( x) 恒成立;.. .. 4' 当 0 ? t ? 1 时,

(1 ? x)t ?1 ?1 单调递减,当 x ? 0 时, h '( x) ? 0
当 x ? (?1, 0) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增;当 x ? (0, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减. 所以, x ? 0 是 h( x) 的唯一极大值点,所以 h( x) ? h(0) ? 0 ,不满足 f ( x ) ≥ g ( x) 恒成 立;....6' .... 当 t ? 1 时,

(1 ? x)t ?1 ?1 单调递增,当 x ? 0 时, h '( x) ? 0
当 x ? (?1, 0) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减;当 x ? (0, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增. 所以, x ? 0 是 h( x) 的唯一极小值点,所以 h( x) ? h(0) ? 0 , f ( x ) ≥ g ( x) 恒成立; 综上, t ? (??,0) ? (1, ??) ; (3) 当 a1 ? a2 ,不等式显然成立; 当 a1 ? a2 时,不妨设 a1 ? a2 ....... .......8' ...... ......9'

a1a1 ? a2a2 > a1a2 ? a2a1 ? a1a1 ? a1a2 ? a2a1 ? a2a2
令 ? ( x) ? x 1 ? x 2 , x ?[a1 , a2 ]
a a

下证 ? ( x) 是单调减函数:

第 9 页 共 10 页

? '( x) ? a1 x a ?1 ? a2 x a ?1 ? a1 x a ?1 ( x a ?a ?
1 2 2 1 2

a2 ) a1 1 ?1 1 ? a1 ? a2

易知 a1 ? a2 ? (?1,0) , 1 ? a1 ? a2 ? (0,1) ,

由(2)知当 t ? 1 , (1 ? x)t ? 1 ? tx , x ?[a1 , a2 ] 所以 a
1 1? a1 ? a2 2

? [1 ? (a2 ? 1)]

1 1? a1 ? a2

? 1?

a2 ? 1 a1 ? ? a1 1 ? a1 ? a2 1 ? a1 ? a2

1 所以 a2 ? a1?a1 ?a2

所以

a2 ? a1a1 ? a2 ? x a1 ? a2 a1

所以 ? '( x) ? 0 , 所以 ? ( x) 在 [a1 , a2 ] 上单调递减. 所以 ? (a1 ) ? ? (a2 ) ,即 a1 1 ? a1 2 ? a2 1 ? a2
a a a a2

所以 a1 1 ? a2 2 > a1 2 ? a2 1 .
a a a a

综上, a1 1 ? a2 2 ≥ a1 2 ? a2 1 成立.
a a a a

........14' .......

(如果您对试题和答案有不同见解,欢迎来电交流!TEL:13972760801 张晓华)

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