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安徽省黄山市2013届高三(屯溪一中等)三校联考数学(文)试题 Word版含答案


黄山市 2013 届三校联考试题 数学(文科) 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 ks5u 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. )

2i 1.设 i 是虚数单位,则复数 1 ? i 在复平面上对应的点位于(
A. 第一象限 B. 第二象限
2



/>C. 第三象限

D. 第四象限

2.设 U ? R , M ? { x | x ? x ? 0} ,函数 A. [0,1) B. (0,1)

f ( x) ?

1 1 ? x 的定义域为 N ,则 M I N ?
D.

C. [0,1]

?1?

3. “m=2”是“直线 2 x ? m y ? 0 与直线 x ? y ? 1 平行”的 A.充要条件 C.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.函数 f ( x) ? sin x ? (cos x ? sin x) 的最小正周期是(



? A. 4

? B. 2
lg x ? c

C.

?

D. 2?

5.设实数 a, b 是方程

的两个不同的实根,若

a ? b ? 10 ,则 abc 的取值范围是
(0,1)

B. (1,10)

C.

(10, 100)

D. (1,100) 该

6.一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示,则 几 何 体 的 表 面 积 和 体 积 分 别 为 ( )

4 2 2? ? 2? ? 4和 ? 3

4 ? 2 2? ? 2? 和 3 B.
8 2 2? 和 ? 3 D.

4 2 2? 和 ? 3 C.

7.已知 m 是两个正数 2 , 8 的等比中项,则圆锥曲线

x2 ?

y2 ?1 m 的离心率为

3 5 A. 2 或 2

3 B. 2

C. 5

3 D. 2 或 5

8.在 ?ABC 中, AB ? BC ? 4, ?ABC ? 30 ,AD 是边 BC 上的高,则 AD ? AC 的值等于
0

???? ????

A.0

B.4

C.8

D.-4

9.设 x, y 满足约束条件

?x ? y ? 1 ? ? x ? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ?

,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 7 ,

3 4 ? 则 a b 的最小值为

A. 4

7?4 3 7 B.

24 C. 7

D. 7

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)
2 11.已知函数 f ?x ? 的导函数为 f ' ? x ? ,且满足 f ?x? ? 3x ? 2 xf ' ?2? ,则 f ' ?5? ?



12.若 ΔABC 的面积为 3 , BC ? 2 , C ? 60? ,则边 AB 的长度等于___________. 13.阅读右边的流程图,若输入 a ? 6, b ? 1,则输出的结果 是 .
1 y ? ln x ? x 2 ? (1 ? a ) x 2 14. (已知 M 是曲线 上的任一点, 若曲

? 线在 M 点处的切线的倾斜角均不小于 4 的锐角, 则实数 a 的

取值范围是



15. 已知一几何体的三视图如下, 正视图和侧视图都是矩形, 俯视图为正方形,在该几何体上任意选择 4 个顶点,它们可 能是如下各种几何形体的 4 个顶点,这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号) . ①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三 a 的四面体;
a 俯视图 a 正视图

b

b

角形

a 侧视图

④每个面都是等腰三角形的四面体; ⑤每个面都是直角三角形的四面体. 解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过 或演算步骤.)

?? ? m ? ?1,cos ? x ? , n ? sin ? x, 3 ?? ? 0 ? 16 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量 ( ,函数

?

?

?? ? f ? x? ? m n ?
? 7? ? ? , ?2 ? ?. 为 ? 12

,且

f ? x?

?? ? ? , 2? 图象上一个最高点的坐标为 ? 12 ? ,与之相邻的一个最低点的坐标

(1)求

f ? x?

的解析式;

2 2 2 (2)在△ABC 中, a , b, c 是角 A、B、C 所对的边,且满足 a ? c ? b ? ac ,求角 B 的大小

以及

f ? A?

的取值范围.

17. (本小题满分 13 分)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其 数学成绩(均为整数)分成六段 ?40,50? ,?50,60? ? ?90,100? 后得到如下部分频率分布直方 图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数在

?70,80? 内的频率,并补全

这个频率分布直方图; (2)统计方法中,同一组数据常用该组 区间的中点值作为代表,据此估计本次考试 的平均分; (3)用分层抽样的方法在分数段为

?60,80? 的学生中抽取一个容量为 6 的样本,
将该样本看成一个总体,从中任取 2 人, 求至多有 1人在分数段 ?70,80? 的概率.

18. (本小题满分 12 分)

如图(1) ?ABC 是等腰直角三角形, AC ? BC ? 4 , E 、 F 分别为 AC 、 AB 的中点, , 将 ?AEF 沿 EF 折起, 使 A? 在平面 BCEF 上的射影 O 恰为 EC 的中点,得到图(2) . (1)求证: EF ? A?C ; (2)求三棱锥 F ? A?BC 的体积.

19. (本小题满分 12 分)

C:
已知椭圆

x2 y 2 2 5 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的离心率为 5 ,且 A(0,1)是椭圆 C 的顶点。

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 A 作斜率为 1 的直线 l ,设以椭圆 C 的右焦点 F 为抛物线 E : y ? 2 px( p ? 0) 的
2

焦点,若点 M 为抛物线 E 上任意一点,求点 M 到直线 l 距离的最小值.

20. (本小题满分 13 分)

f ( x) ?
已知函数

1 2 3 x ? x, 数列{an }的前n项和为Sn , 点 n, S ? n ? ( n? N* ) 均 在 函 数 2 2

y ? f ( x) 的图象上。
(1)求数列

{an }

的通项公式

an



(2)令

bn ?

an , 2n ?1 求数列 {bn }的前n项和Tn;

cn ?
(3)令

an an ?1 1 ? , 2n ? c1 ? c2 ? …+cn ? 2n ? an ?1 an 证明: 2.

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ?x? ? x ln x, g ?x? ? x ? ax ? x ? 2 .
3 2

1 ( ? ,1) (1)如果函数 g ?x ? 的单调递减区间为 3 ,求函数 g ?x ? 的解析式;
(2)在(Ⅰ )的条件下,求函数 y= g ?x ? 的图像在点 P(?1,1) 处的切线方程;

? (3)若不等式 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

黄山市 2013 届三校联考数学(文科) 参考答案及评分标准 一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 C 5 A 6 A 7 D 8 B 9 D 10 D

二、填空题 11.6 三、解答题 12. 2 13.2 14.
( ??, 2]

15.①③④⑤

1 3 ?? ? ? 2( sin ? x ? cos ? x) 2 2 16.解: (1) f ( x) ? m ? n ? sin ? x ? 3 cos ? x
? 2sin(? x ?

?

) 3 .

--------------------------------------2 分

?? ? ? 7? ? ? , 2? ? , ?2 ? f ? x? ?. ? 图象上一个最高点的坐标为 ? 12 ? ,与之相邻的一个最低点的坐标为 ? 12

?

T 7? ? ? 2? ? ? ? ?? ?2 2 12 12 2 ,?T ? ? ,于是 T .

---------------5 分

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 3 . 所以

?

---------------------------------6 分

2 2 2 (2)? a ? c ? b ? ac ,

? cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? 2ac 2 ----------------------------------7-分

又0 ? B ?? ,

?B ?

?

3.

? f ( A) ? 2sin(2 A ?

?

) 3 -----------------------------------------8 分

?B ?

?
3

?0 ? A ?

2? ? ? 5? ? 2A ? ? 3 .于是 3 3 3 ,

? sin(2 A ? ) ? ? ?1,1? 3 .
所以

?

------------------------------------------------10 分

f ( A) ?? ?2, 2?

.---------------------------------------------------------12 分

17. (本题满分 14 分) 解析: (Ⅰ)分数在

?70,80? 内的频率为:

1 ? (0.010 ? 0.015 ? 0.015 ? 0.025 ? 0.005) ?10
0.3 ? 0.03 ? 1 ? 0.7 ? 0.3 ,故 10 ,
如图所示: -----------------------4 分 (求频率 2 分,作图 2 分) ( 1 )











x ? 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 ? 71 .----------------7 分
( 2 ) 由 题 意 , ----------------8 分

?6

0 ,? 7 0

分 数 段 的 人 数 为 : 0.15 ? 60 ? 9 人 ;

?70,80?

















0.3 ? 60 ? 18





----------------9 分 ∵在 ?60,80? 的学生中抽取一个容量为 6 的样本, ∴

?60,70? 分数段抽取 2 人,分别记为 m, n ;?70,80? 分数段抽取 4 人,分别记为 a, b, c, d ;

设从样本中任取 2 人,至多有 1 人在分数段 ?70,80? 为事件 A ,则基本事件空间包含的基本 事件有:

(m, n) 、 (m, a) 、 (m, b) 、 (m, c) 、 (m, d ) 、……、 (c, d ) 共 15 种,
则事件 A 包含的基本事件有:

(m, n) 、 m, a) 、 m, b) 、 m, c) 、 m, d ) 、 n, a ) 、 n, b) 、 n, c) 、 n, d ) 共 9 种, ( ( ( ( ( ( ( ( ----------------12


P ( A) ?

9 3 ? 15 5 . ---------13 分

18. (1)证明:在 ?ABC 中, EF 是等腰直角 ?ABC 的中位线,? EF ? AC 在四棱锥 A? ? BCEF 中, EF ? A?E ,
\ 又 EC ? A E ? E ? EF ? 平面 A?EC ,

EF ? EC ,------4 分

又 A?C ? 平面 A?EC , ? EF ? A?C

------6 分

(2)在直角梯形 EFBC 中, EC ? 2, BC ? 4 , 分 又? A?O 垂直平分 EC ,? A?O ?

? S ?FBC ?

1 BC ? EC ? 4 2

----8

A?E 2 ? EO2 ? 3

-----10 分

∴ VF ? A?BC ? V A?? FBC

1 1 4 3 ? S ?FBC ? A?O ? ? 4 ? 3 ? 3 3 3

-----12 分

19. (1,2)由(1)可求得椭圆 C 的右焦点坐标 F(2,0)
2 ? 抛物线 E 的方程为: y ? 8x ,…………7 分

而直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0

可设与直线 l 平行且抛物线 E 相切的直线 l ? 方程为: x ? y ? c ? 0 …………8 分

?x ? y ? c ? 0 ? 2 y ? 8x 由?
可得: x ? (2c ? 8) x ? c ? 0
2 2

?? ? (2c ? 8)2 ? 4c2 ? 0 ,
解得: c ? 2 ,

? 直线 l ? 方程为: x ? y ? 2 ? 0

…………10 分

? 抛物线上的点到直线 的距离的最小值等于直线 l 与 l ? 的距离:

d?

1 2

?

2 . 2

2 . 即抛物线 E 上的点到直线 l 距离的最小值为 2

…………12 分

20.解: (1) 当

?点(n, Sn )在f ( x)的图象上, S n ? ?

1 2 3 n ? n 2 2

………1 分

n ? 2时,an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 1 ;当 n ? 1时,a1 ? S1 ? 2 ,适合上式.

? an ? n ? 1(n ? N ? )
bn ? an n ?1 ? n ?1 n ?1 2 2 ,

…………4 分

(2)

Tn ? b1 ? b2 ? … ? bn ? 2 ?

3 4 n ?1 ? 2 ? … ? n ?1 2 2 2



1 2 3 n n ?1 Tn ? ? 2 ? … ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 ,
? 得: 由① ②

② ……5 分

1 1 1 1 n ?1 Tn ? 2 ? ? 2 ? … ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2

1 1 1 n ?1 ? (1 ? ? 2 ? … ? n ?1 ) ? (1 ? n ) 2 2 2 2

1 2n ? 1 ? n ? 1 ? 1 2n 2(1 ? 1 ) ? 1 ? n ? 1 ? T ? 6 ? n ? 3 1? n 2n 2n , 2n ?1 2 = 1?

………………8 分

cn ?
(3)证明:由

an an?1 n ? 1 n ? 2 n ?1 n ? 2 ? ? ? ?2 ? ? 2, an?1 an n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?1
…………10 分

?c1 ? c2 ? cn ? ?? cn ? 2n,
cn ?



n ?1 n ? 2 1 1 ? ?2? ? n ? 2 n ?1 n ?1 n ? 2

1 1 1 1 1 1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 1 1 1 ? 2n ? ? ? 2n ? 2 n?2 2
? 2n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n ? 1 2 成立
………………13 分

? 21.解:(1) g ( x) ? 3x ? 2ax ?1
2

? 1 ? ? ? ,1? 由题意 3x ? 2ax ? 1 ? 0 的解集是 ? 3 ?
2

1 ? ,1 即 3x ? 2ax ? 1 ? 0 的两根分别是 3 .
2

1 2 将 x ? 1 或 3 代入方程 3x ? 2ax ? 1 ? 0 得 a ? ?1 . ?

? g ?x ? ? x 3 ? x 2 ? x ? 2 .
? ? (2)由(Ⅰ)知: g ( x) ? 3x ? 2 x ?1 ,? g (?1) ? 4 ,
2

????4 分

? 点 P(?1,1) 处的切线斜率 k ? g ?(?1) ? 4 , ? 函数 y= g ?x ? 的图像在点 P(?1,1) 处的切线方程为:
y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 5 ? 0 .
????8 分

2 (3)由题意 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1 对 x ? ?0,??? 上恒成立

a ? ln x ?
可得

3 1 x? 2 2 x 对 x ? ?0,??? 上恒成立 3x 1 ? 2 2x , x ? 1, x ? ?
'



h? x ? ? ln x ?



h ' ?x ? ?

?x ? 1??3x ? 1? 1 3 1 ? ? 2 ?? x 2 2x 2x 2

令 h ?x ? ? 0 ,得
'

1 3 (舍)
'

当 0 ? x ? 1 时, h ?x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, h ?x ? ? 0

? 当 x ? 1 时, h?x ? 取得最大值, h?x ? max =-2

? a ? ?2 .
????13 分

? a 的取值范围是 ?? 2,??? .


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