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2013年绍兴市高三教学质量调测文科数学试卷(一模)


2013 年 绍 兴 市 高 三 教 学 质 量 调 测

数学(文)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.C 2.A 3.A 4.C 5.B 6. D 7.C 8.B 9.D 10.A 二、填空题 (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.45 12.

8 1 5

13.

1 2

14.153 15.

?2,4?

16.

2 2

17.

?2 ,2 ?

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 18.(本小题满分 14 分)

6
解:(Ⅰ)在△ BC D 中,由正弦定理得

1 sin ? BDC

? sin

3

?
4



……………………3 分

则 sin

? BDC

?
? DC
?

3 2

,则

? BDC A ?

?

?
3

或?

BDC


?

又因为 DA

,所以 ?

?
6

或?

A ?

?
3

2? 3



……………………5 分 ……………………7 分 ……………………9 分

(Ⅱ)由已知得 S ?BCD 得 BD

1 1 ?BC ? BD ? sin B ? , 2 6

?

2 3


2

……………………10 分

又由余弦定理得, DC 得 DC 由 DA

? BC 2 ? BD 2 ?2 BC ? BD ? cos B ,

……………………12 分 ……………………13 分

?

5 3



? DC

,得

AB ? AD ? DB ? DC ? DB ?
;当 n

5? 2 3



……………14 分

19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 n 又b
n

? 1 时, a 1 ? 1
是a
n

? 2

时, a ?S ?S ? ?n;故 a n n n n1

与a

n?1

的等差中项,所以 b n

?

a

n

? a 2

n ? 1

? n. 1 ,得 b n ? n ? 2

………………4 分 .……………7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 cn

2 1 1 ? ? , (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 1 所以 T n ? 1 ? . 2n ? 1 ?


………………………9 分 …… …………10 分

1 1 1 f (n) ? Tn ? bn ? 1 ? ? (n ? ) ? 1 ? (n ? ? 2n ? 1 2 2

1 2 ) ,则 f (n) 在 (0, ??) 1 n? 2
………………………(12 分)

且n?

N* 上是减函数.

因为满足不等式 b n

?b2 ? ? ? T2 , 第 1 页(共 4 页) ? ? 文科数学一模答案 有且仅有两个,所以应满足 ? ? T n 的正整数 n ?b3 ? ? ? T3 ,
……………………13 分

解得 ?

37 14

? ? ? ?

17 10



……………………14 分

20.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)

? ED ? 平面 BCD ,? DM 为 EM 在平面 BCD 上的射影, ……………………2 分 ? ? EMD 为 EM 与平面 BCD 所成角. ? DA ? 平面 ABC ,? DA ? AB , DA ? AC , E 设 AB ? a ,又? DA ? AB ? AC ,? DC ? DB ? 2a . D 在△ ABC 中,? ? BAC ? 120 ? ,? BC ? 3 a , 又? M 为 BC 中点,? DM ? BC ,
BM ? 1 3 BC ? a ,? DM 2 2

?

5 2

a

.…5 分

P A B M ………………………7 分 C

3 2 2 在 Rt △ EDM 中, EM ? DE ? DM ? a , 2 DE a 2 ? sin ?EMD ? ? ? . EM 3 a 3 2
(Ⅱ)?

AB ? AC , M

为 BC 中点,? BC

? AM .又 DA ? 平面 ABC ,
……………………9 分 ……………………11 分 . ……………………13 分 ……………………14 分

? BC ? DA ,? BC
又 又? 又?

?
,?

平面 DAM

. ,

AP

?

平面 DAM ,?

BC ? AP
平面 BCD

AP ? DM

AP ?

ED ? 平面 BCD ,? AP // DE



21.(本小题满分 15 分) 解:(Ⅰ)当 a ①若 ? 所以 ②若 ? 所以

? 1

时,

f ?( x ) ? x 2 ? 2 x ? b
,即 b



……………………2 分 , …4 分

? 4 ? 4b ? 0

? 1 ? 1

时,

f ?( x ) ? 0

f (x) f (x)
在( ?

为(

?? , ?? )
?? , ? 1 ?

上的增函数,所以 时,

f ( x) 的增区间为 (??, ??) ;

? 4 ? 4b ? 0
在(

,即 b

f ?( x) ? ( x ? 1 ? 1 ? b ) ( x ? 1 ? 1 ? b ) ,

1 ? b )

,(

?1 ?

1 ? b , ?? )
,(

上为增函数, ……………………7 分

f (x)
所以

1?

1 ? b ,? 1 ? 1? b)

1? b)


上为减函数.

f ( x) 的增区间为 ( ?? , ? 1 ?

1 ? b )

?1 ?

1 ? b , ?? )
时,

;减区间为

(? 1 ?

1 ? b ,? 1 ?
? 1
时,

综上,当 b

f ( x) 的增区间为 (??, ??) ;当 b ? 1

f ( x) 的增区间为

1 ? b ) , ( ? 1 ? 1 ? b , ?? ) ;减区间为 ( ? 1 ? 1 ? b , ? 1 ? 1 ? b ) . 1 (Ⅱ)方法 1:由 f ( 1 ) ? ,得 b ? ? a , ……………………8 分 3 1 3 即 f ( x ) ? x ? ax 2 ? ax , f ? ( x ) ? x 2 ? 2 ax ? a . ……………………9 分 3 1 由 y ? f ( x ) 在 (0, ) 上不存在极值点,下面分四种情况讨论. 2

( ?? , ? 1 ?

[来源: .Com]

y ? f ( x ) 没有极值点时, ? ? 4 a 2 ? 4 a ? 0 ,得 ? 1 ? a ? 0 ②当 y ? f ( x ) 有两个极值点,且两个极值点都在 ( ??, 0] 时, ?? ? 0, ? 则 ? f ?(0) ? 0, 得 a 无解; ……… ??a ? 0, ?
①当 ③当

;……10 分

………11 分

y ? f (x)

有两个极值点,且两个极值点都在 [



? ? 0, 1 f ?( ) ? 0, 2 1 ?a ? , 2

1 , ??) 时, 2
……………………12 分

得a

? ?1



④当

y ? f (x)

有两个极值点,且两个极值点一个在 ( ??, 0] ,另一个在 [

? f ?(0) ? 0, ? 时,则 ? 得 a 无解. ……………………13 分 1 ? f ?( 2 ) ? 0, ? 综上, a 的取值范围为 ( ??, 0] . ……………………15 分 1 方法 2:由 f ( 1 ) ? ,得 b ? ? a , ……………………8 分 3 1 3 即 f ( x ) ? x ? ax 2 ? ax , f ? ( x ) ? x 2 ? 2 ax ? a . ……………………9 分 3 2 2 令 f ?( x ) ? 0 ,即 x ?2 x?a?0,变形得 (1? 2x)a ? x , a
因为 x ,令 1 ? 2x ? t , 1? 2x x2 1 1 则t ? ? 0 ,1 ? , ? ( t ? ? 2 ). 1? 2x 4 t 1 因为 h ( t ) ? t ? ? 2 在 t ? ? 0 , 1 ? 上单调递减,故 h (t ) ? ? 0, ?? ? , ………13 分 t x2 ? 1 ? ? 1 ? 由 y ? f ( x ) 在 ? 0 , ? 上不存在极值点,得 a ? 在 ? 0 , ? 上无解, 1? 2x ? 2 ? ? 2 ? 所以, a ? ( ?? , 0 ] . ……………………14 分 a 的取值范围为 (??, 0] . 综上, ……………………15 分 ,所以 a 文科数学一模答案 第 3 页(共 4 页)

1 , ??) 2

? 1 ? ? ?0, ? ? 2 ?

?

x

2

22.(本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)若四边形

A?B?BA 为等腰梯形,则 k A B ? 2 , 故直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 . ……………………2 分 (Ⅱ)设直线 A B 的方程为 x ? ty ? 2 , A 1 y) Bx,y) ( , 1, ( 2 2 , x y ?2 y ?2 , y1 ) , B?(? 2 , y2 ) , 则 A?( ? 1 2 2 ? x ? ty ? 2, 2 由? 2 得 y ? 4 ty ? 8 ? 0 ,得 y 1 ? y 2 ? 4 t , y 1 y 2 ? ? 8 . ………4 分 ? y ? 4 x,

y2 ? 2 y1 , ? ty 2 ? 2 y1 ? 2 即 2y ? y ?8 ?4,又 y 1 ? y 2 ? 4 t ,得 y 2 ? ? 4 t 1 2 所以 y 1 ? 2 ,所以 A ?1, 2 ? , B? ?1, ?4 ? , 故直线 A B ? 与 y 轴平行; (Ⅲ)设 Q ( m , y 0 ) ,由已知以 AB 为直径的圆经过点 Q ,
因为

A ? , O , B 三点共线,所以

……………………5 分 ,又

y1y

2

? ?8



……………………7 分 ……………………8 分

得 k QA 即

?k

QB

? ?1



……………………9 分

y1 ? y0 y2 ? y0 ? ? ? 1 , x1 ? m x2 ? m 2 2 即 y1 y2 ? y0 ( y1 ? y2 ) ? y0 ? ? x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m . *) (
y 1 ? y 2 ? 4 t , y 1 y 2 ? ? 8 ,则 x 1 x 2 ? 4 2 2 2 代入(*)式得 y0 ? 4ty0 ? m ?4m ? 4mt ? 4 ? 0 .
由(Ⅱ)知, 因为总存在点 Q 即 16t
2 2

,x1

? x2 ? 4t2 ? 4



………………………11 分 要恒成立.

,所以关于 y 0 的方程恒有解,所以 ?
2

? 0

? 4m ? 16m ?16mt ? 16 ? 0 对一切的 t ? R 恒成立, 2 2 整理后得 ( 4 m ? 4 ) t ? m ? 4 m ? 4 . ①当 m ? ? 1 时,上式不可能对一切的 t ? R 恒成立; m 2 ? 4m ? 4 2 ②当 m ? ? 1 时, t ? 对一切的 t ? R 恒成立, 4m ? 4 2 只需要 m ? 4 m ? 4 ? 0 ,即 2 ? 2 2 ? m ? 2 ? 2 2 . 综上,所求的实数 m 的取值范围为 [2 ? 2 2, 2 ? 2 2] .

………………………12 分 ………………………13 分

………………………14 分 ………………15 分


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