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上海市黄浦区2013届高三数学一模试卷


上海市黄浦区 2013 届高三数学一模试卷

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若集合 , ,则 【 】. A. B. C. D. 2.若复数 满足: ,则复数 的共轭复数 【 】. A. B. C. D. 3.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【

】.

4.若 的三个内角满足 ,则 【 】. A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 5.函数 是【 】. A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 的奇函数 C.最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数 6.按右面的程序框图运行后,输出的 应为【 】. A. B. C. D. 7.若数列 满足 ,且 ,则使 的 值为【 】. A. B. C. D. 8.“ ”是“直线 : 与 : 平行”的【 】. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.设 , 分别为双曲线 的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点 ,满足 ,且 到直线 的距离 等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【 】. A. B. C. D. 10.一个赛跑机器人有如下特性: (1)步长可以人为地设置成 米, 米, 米,?, 米或 米; (2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成; (3)当设置的步长为 米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔 秒. 则这个机器人跑 米(允许超出 米)所需的最少时间是【 】. A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 第Ⅱ卷 (共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.在 的展开式中,常数项为 . 12.若向量 , ,则 的最大值为 . 13.若实数 满足 ,且 ,则 的取值范围是________. 14.若曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为 ,则 ________. 15.请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分. A.(不等式选讲)若实数 满足 ,则 的最大值为_________. B.(几何证明选讲)以 的直角边 为直径的圆 交 边于点 ,点 在 上,且 与圆 相切.若 ,则 _________.

C.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线 与直线 的两个交点之间的距离为_________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(本题 12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数 . ① ; ② ; ③ ; ④ ; ⑤ . (1)从上述五个式子中选择一个,求出常数 ; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.

17.(本题 12 分)如图,在长方体 中, 点 在棱 上. (1)求异面直线 与 所成的角; (2)若二面角 的大小为 ,求点 到面 的距离.

18.(本题 12 分) 某校设计了一个实验考查方案:考生从 道备选题中一次性随机抽取 道题,按 照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中 道题的便可通过.已知 道备选 题中考生甲有 道题能正确完成, 道题不能完成; 考生乙每题正确完成的概率都是 ,且每题正 确完成与否互不影响. (1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力. 19.(本题 12 分)在数列 中, ,且对任意的 都有 . (1)求证: 是等比数列; (2)若对任意的 都有 ,求实数 的取值范围.

20.(本题 13 分) 已知椭圆 : 的离心率为 ,过右焦点 且斜率为 的直线交椭圆 于 两点, 为 弦 的中点, 为坐标原点. (1)求直线 的斜率 ; (2)求证:对于椭圆 上的任意一点 ,都存在 ,使得 成立.

21.(本题 14 分)设函数 有两个极值点 ,且 . (1)求实数 的取值范围; (2)讨论函数 的单调性; (3)若对任意的 ,都有 成立,求实数 的取值范围.

高 2013 届第三次五校联考数学(理)参考答案

一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C C C D A B A 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 12. 13. 14. 15. A. B. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(本题 12 分) 解:(1)选择②式计算: .?4 分 (2)猜想的三角恒等式为: .???6 分 证明:

C.

.????????????12 分 17.(本题 12 分) 解法一:(1)连结 .由 是正方形知 . ∵ 平面 , ∴ 是 在平面 内的射影. 根据三垂线定理得 , 则异面直线 与 所成的角为 .????5 分 (2)作 ,垂足为 ,连结 ,则 . 所以 为二面角 的平面角, . 于是 , 易得 ,所以 ,又 ,所以 . 设点 到平面 的距离为 ,则由于 即 , 因此有 ,即 ,∴ .????12 分 解法二:如图,分别以 为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系. (1)由 ,得 , 设 ,又 ,则 . ∵ ∴ , 则异面直线 与 所成的角为 .????????5 分 (2) 为面 的法向量,设 为面 的法向量,则 , ∴ . ① 由 ,得 ,则 ,即 ,∴ ②由①、②,可取 ,又 , 所以点 到平面 的距离 .?????12 分 18.(本题 12 分) 解:(1)设甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 , ,则 取值分别为 ; 取值分别为 . ,,.

∴考生甲正确完成题数的概率分布列为 123

.??????????3 分 ∵ , 同理: , , . ∴考生乙正确完成题数的概率分布列为: 0123 .??????7 分 (2)∵ , .(或 ). ∴ . ∵ ,, ∴ .?????10 分 从做对题数的数学期望考察,两人水平相当;从做对题数的方差考察,甲较稳定;从至少完成 道题的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较 强.????????12 分 说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分. 19.(本题 12 分) 证:(1)由 ,得 . 又由 ,得 . 因此, 是以 为首项,以 为公比的等比数列.???5 分 解:(2)由(1)可得 ,即 , , 于是所求的问题:“对任意的 都有 成立”可以等价于问题:“对任意的 都有 成立”. 若记 ,则 显然是单调递减的,故 . 所以,实数 的取值范围为 .?????????12 分 20.(本题 13 分) 解:(1)设椭圆的焦距为 ,因为 ,所以有 ,故有 . 从而椭圆 的方程可化为: ①易知右焦点 的坐标为( ),据题意有 所在的直线方程为: . ②由①,②有: . ③设 ,弦 的中点 ,由③及韦达定理有: 所以 ,即为所求. ???5 分 (2)显然 与 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量 ,有且 只有一对实数 ,使得等式 成立.设 ,由(1)中各点的坐标有: ,故 . ??7 分 又因为点 在椭圆 上,所以有 整理可得: . ④

由③有: .所以 ⑤又点 在椭圆 上,故有 . ⑥将⑤,⑥代入④可得: . ???11 分 所以,对于椭圆上的每一个点 ,总存在一对实数,使等式 成立,且 . 所以存在 ,使得 .也就是:对于椭圆 上任意一点 ,总存在 ,使得等式 成立. ??? 13 分 21.(本题 14 分) 解:(1)由 可得 . 令 ,则其对称轴为 ,故由题意可知 是方程 的两个均大于 的不相等的实数根,其充 要条件为 ,解得 .????????5 分 (2)由(1)可知 ,其中 ,故 ①当 时, ,即 在区间 上单调递增; ②当 时, ,即 在区间 上单调递减; ③当 时, ,即 在区间 上单调递增.???9 分 (3)由(2)可知 在区间 上的最小值为 . 又由于 ,因此 .又由 可得 ,从而 . 设 ,其中 , 则 . 由 知: , ,故 ,故 在 上单调递增. 所以, . 所以,实数 的取值范围为 .???????????14 分 (事实上,当 时, ,此时 .即,“ ”是其充要条件.)


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