3.1.3二倍角

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
目标导学
1、理解二倍角公式的推导； 2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式； 3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及 证明。

一、复习:两角和的正弦、余弦、正切公式:
sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

cos ?? ?

? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan ? ? tan ? tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?
若上述公式中 ，

? ? ? 你能否对它进行变形？

sin 2? ? 2 sin ? cos? ? ?R 二 倍 ? ?R cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? 角 公 2 tan? ? k? ? ?k tan 2? ? ?? ? ,且? ? k? ? ， ? Z ? 2 式： 2 2 4 1 ? tan ?
对于C 2? 能否有其它表示形式？

cos 2? ? 2 cos ? ? 1
2

cos 2? ? 1 ? 2 sin ?
2

公式中的角是否为任意角？

注意：
①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角 的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互 化问题。

②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是 2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6 的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理 解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。 凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。
③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等 时推导出来，记忆时可联想相应角公式。

例1

12 ? ? 已知 cos ? ? , ? ( , ? )，求 sin ?， 2 13 2 2 cos ?， ?的值。 tan

?

5 ? ? 已知 sin 2? ? , ? ? ( , )，求 sin 4?， 13 4 2 cos 4?， 4?的值。 tan

例2

求下列各式的值：
0 0 2

(1) sin 22.5 cos 22.5 ; (2) cos

?
8

? sin

2

?
8

;

2 tan150 (3) ; 2 0 1 ? tan 15

(4)1 ? 2sin 75 .
2 0

(5)8sin

?
48

cos

?
48

cos

?
24

cos

?
12

练习

同类题 ? ? (1)sin cos 4 4
3 1 ? tan ? 2 (3) 3 tan ? 2
2

? 4? (2)sin ? cos 2 2
4

(4) sin(

?
4

? ? ) cos(? ?

?
4

)

5? (5)、 cos cos 12 12

?

(6)、 cos36 cos 72

?

?

引申：公式变形：

1 ? sin2? ? (sin ? cos? ) ?
1 ? cos2? ? 2 cos ?
2

2

1 ? cos 2? ? 2 si n ?
2

? ?

升幂降角公式

1 ? cos 2? cos ? ? 2 1 ? cos 2? 2 sin ? ? 2
2

降幂升角公式

例3

(1) 1 ? sin 40? ; (2) 1 ? sin 40? ; (3) 1 ? cos 20? ; (4) 1 ? cos 20?

化简

变式：如何化简 2 ? sin 2 ? cos 4呢？
2

1 ? sin 2? ? cos 2? 求证： ? tan? 1 ? sin 2? ? cos 2? 2 1 ? 2 sin? cos? ? (1 ? 2 sin ? ) 证明：左边 ? 2 1 ? 2 sin? cos? ? ( 2 cos ? ? 1)
例4

2 sin? (cos? ? sin? ) ? 2 cos? (cos? ? sin? )
? tan? ? 右边

sin? ? cos?

? 原式成立 .

练习

1 ? sin 2? ? cos 2? 1.化简 : 1 ? sin 2? ? cos 2?
1 2、已知 sin ? ? cos ? ? , 0 ? ? ? ? , 3 求 sin 2? 和 cos 2?

总结 1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导 sin 2? ? 2 sin ? cos? ? ? R cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ?R 2 tan? k? ? ,且? ? k? ? ? ， ? Z ? tan 2? ? ?k ?? ? 2 1 ? tan ? 2 2 4 2、注意正 用 、逆用、变形用

cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ?

建议作业：
P137-P138 11，14，15，17，18