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浙江省温州市2013届高三2月第一次适应性测试数学理试题


2013 年温州市高三第一次适应性测试 数学(理科)试题
分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号.不能答

在试题卷上. 参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么 棱柱的体积公式

2013.2

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 3 至 4 页.满

P( A ? B ) ? P ( A) ? P( B)
如果事件 A, B 相互独立,那么

V ? Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高
棱锥的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是

p ,那么

1 V ? Sh 3
其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱台的体积公式

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
Pn (k ) ? C p (1 ? p )
k n k n?k

, (k ? 0,1, 2,? , n)

球的表面积公式 一、
S ? 4? R 2

V ?

1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3

其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下底面积,

球的体积公式

h 表示棱台的高

V?

4 3 其中 R 表示球的半径 ?R 3

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? ?1, 2? B ? ?2,3, 4? 则 (CU A) ? B ? ( ▲ ) A. ?3, 4? 2.已知 i 为虚数单位,则 A. 1 ? i B.

?3, 4,5?

C.

?2,3, 4,5?

D. ?1, 2,3, 4?

2i ?( ▲ ) 1? i
B. ?1 ? i C. 1 ? i D.

?1 ? i

3.已知 q 是等比数列 {an } 的公比,则“ q ? 1 ”是“数列 {an } 是递减数列”的( ▲ ) A. 充分不必要条件 C. 充要条件 4.将函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象向左平移 A. y ? cos 2 x ? sin 2 x C. y ? cos 2 x ? sin 2 x B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

?
4

个单位,所得图象的解析式是( ▲ ) B. y ? sin 2 x ? cos 2 x D. y ? sin x cos x

5.甲、乙两人计划从 A 、 B 、 C 三个景点中各选择两个游玩,则两人所选景点不全相同的 选法共有( ▲ ) A. 3 种 B. 6 种 C. 9 种 D.12 种

6.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, CC1 与平面 A1 BD 所成角的余弦值为( ▲ ) A.

2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

6 3

7.设点 A(1, ?1) , B (0,1) ,若直线 ax ? by ? 1 与线段 AB (包括端点)有公共点,则 a 2 ? b 2 的最小值为( ▲ ) A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D. 1

8.椭圆 M:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 长轴上的两个顶点为 A 、 B ,点 P 为椭圆 M 上除 A 、B a2 b2
??? ??? ? ? ??? ??? ? ?

外的一个动点, QA?PA ? 0 且 QB ?PB ? 0 , 若 则动点 Q 在下列哪种曲线上运动 ( ▲ ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

9.若实数 a,b,c 满足 log a 2 ? log b 2 ? log c 2 ,则下列关系中不可能成立的是( ▲ ) ..... A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a D. a ? c ? b

10.已知函数 f (x) 在 R 上是单调函数,且满足对任意 x ? R ,都有 f [ f ( x) ? 2 x ] ? 3 ,若则

f (3) 的值是( ▲ )
A.3 B.7 C.9 D.12

非选择题部分(共 100 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. ( x ?

1 6 ) 展开式中的常数项是 ▲ 2x

12.按右图所示的程序框图运算,若输入 x ? 20 ,则输出的 k = ▲ 13.已知双曲线 为 ▲ 15.已知正四面体的俯视图如图所示,其中四边形 ABCD 是边长为 2 的 正方形,则这个正四面体的体积为 ▲ .
第 12 题

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 y ? 2 x ,则其离心率 a 2 b2
??? ?



14. 在 ?ABC 中,若 ?A ? 120? , AB ? AC ? ?1 ,则 | BC | 的最小值是

第 15 题

16. 已知数列 {an } 中,a1 ? 1 ,an ?1 ? (?1) (an ? 1) , S n 为 {an } 前 n 项的和, S 2013 = 记 则
n

▲ ;

17.已知 {x1 , x2 , x3 , x4 } ? {x ? 0 | ( x ? 3) ? sin ? x ? 1} ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 的最小值为 ▲ ; 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分) 已知 a , b , c 分别是 ?ABC 的三个内角 A , B , C 的对边, (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ )求函数 y ? 3 sin B ? sin(C ?

2b ? c cos C ? . a cos A

?
6

) 的值域.

19.(本题满分 14 分) 从装有大小相同的 2 个红球和 6 个白球的袋子中, 每摸出 2 个球为一次试验, 直到摸出 的球中有红球(不放回),则试验结束. (Ⅰ)求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率; (Ⅱ)记试验次数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 E ( X ) .

20.(本题满分 14 分) 如图,已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt ?ABC 所在平面,且 PA=AB=AC. (Ⅰ)求证:PA∥ 平面 QBC; (Ⅱ)若 PQ ? 平面QBC ,求二面角 Q-PB-A 的余弦值.

P Q

C B
21.(本题满分 15 分) 已知点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是抛物线 y 2 ? 4 x 上相异两点,且满足 x1 ? x2 ? 2 . (Ⅰ)若 AB 的中垂线经过点 P (0, 2) ,求直线 AB 的方程;

A

(Ⅱ)若 AB 的中垂线交 x 轴于点 M ,求 ?AMB 的面积的最大值及此时直线 AB 的方 程.

22.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? e (a ? R ) .
2 x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,试判断 f (x) 的单调性并给予证明; (Ⅱ)若 f (x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) . (i) 求实数 a 的取值范围; (ii)证明: ?

e ? f ( x1 ) ? ?1 。 (注: e 是自然对数的底数) 2

2013 年温州市高三第一次适应性测试 数学(理科)试题参考答案
2013.2

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 号 三、 题 四、 1 五、 2 六、 3 七、 4 八、 5 九、 6 十、 7 十一、 十四、 案 十二、 8 0 十三、 9 1

答 十五、 十六、 十七、 十八、 十九、 二十、 二十一、二十二、二十三、二十四、 C C B D C B D C B A

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11.

15 4

12.3

13. 5

14. 6

15.

8 3

16. ?1005

17.12

三、解答题: 18.解:(I)由正弦定理,得:

2sin B ? sin C cos C ……………………2 分 ? sin A cos A 即 2sin B cos A ? sin A cos C ? sin C cos A 故 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B ……………………4 分 1 ? sin B ? 0,? cos A ? 2
所以 A ?

?

(II)? A ?

?
3

3

……………………………………6 分

2 2 ? B ? C ? ? 且B ? (0, ? ) 3 3

………………………8 分

? y ? 3 sin B ? sin(C ? ) ? 3 sin B ? sin( ? B) 6 2 ? 3 sin B ? cos B ? 2sin( B ? ) 6

?

?

?

…………11 分

2 ? ? 5 ? 1 ? B ? (0, ? ), B ? ? ( , ? ),? sin( B ? ) ? ( ,1] ……………13 分 3 6 6 6 6 2 所以所求函数值域为 (1, 2] ………………14 分
19.解:(I) P ( A) ?
1 1 C2C6 3 ? C82 7 1 1 2 C2C6 ? C2 13 ; ? C82 28

………………4 分
1 1 2 C62 C4C2 ? C2 9 ; ? ? 2 2 C8 C6 28

(II) P ( X ? 1) ?

P( X ? 2) ?

2 1 1 2 2 2 C62 C4 C2C2 ? C2 C62 C4 C2 5 1 P( X ? 3) ? 2 ? 2 ? ? ; P ( X ? 4) ? 2 ? 2 ? 2 ? ; 2 C8 C6 C4 28 C8 C6 C4 28

X 的分布列为

二十五、 X 三十、
P

二十六、 1 三十一、

二十七、 2 三十二、

二十八、 3 三十三、

二十九、 4 三十四、

13 28

9 28

5 28

1 28

………………12 分

E ( X ) ? 1?
20.方法一:

13 9 5 1 25 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 28 28 28 28 14

…………………14 分

解:(I)证明:过点 Q 作 QD ? BC 于点 D , ∵平面 QBC ⊥平面 ABC 又∵ PA ⊥平面 ABC ∴ QD ∥ PA 又∵ QD ? 平面 QBC ∴ PA ∥平面 QBC ……6 分 (Ⅱ)∵ PQ ? 平面 QBC ∴ ?PQB ? ?PQC ? 90? ∴ ?PQB ? ?PQC ∴ AD ? 平面 QBC 设 PA ? 2a ∴ PQ ? AD ? 又∵ PB ? PC , PQ ? PQ ∴ BQ ? CQ ∴ PQ ∥ AD , AD ? QD ∴ QD ? 平面 ABC

∴点 D 是 BC 的中点,连结 AD ,则 AD ? BC ∴四边形 PADQ 是矩形 ……8 分

2a , PB ? 2 2a

∴ BQ ?

6a

过 Q 作 QR ? PB 于点 R , ∴ QR ?

2a ? 6a 6 PQ 2 2a 2 2 ? a , PR ? ? ? a 2 PB 2 2a 2 2 2a 取 PB 中点 M ,连结 AM ,取 PA 的中点 N ,连结 RN 1 1 1 ∵ PR ? PB ? PM , PN ? PA ∴ MA ∥ RN 4 2 2 ∵ PA ? AB ∴ AM ? PB ∴ RN ? PB ∴ ?QRN 为二面角 Q ? PB ? A 的平面角……12 分
连结 QN ,则 QN ? QP 2 ? PN 2 ?

2a 2 ? a 2 ? 3a

又∵ RN ?

2 a 2

3 2 1 2 a ? a ? 3a 2 QR 2 ? RN 2 ? QN 2 2 3 2 ? ?? ∴ cos ?QRN ? 2QR ? RN 3 6 2 2? a? a 2 2 3 即二面角 Q ? PB ? A 的余弦值为 ? ……14 分 3
方法二: (I)同方法一 ……………………………………6 分
?

(Ⅱ)∵ PQ ? 平面 QBC ∴ ?PQB ? ?PQC ? 90 ,又∵ PB ? PC , PQ ? PQ ∴ ?PQB ? ?PQC ∴ AD ? 平面 QBC ∴ BQ ? CQ ∴ PQ ∥ AD , AD ? QD ∴点 D 是 BC 的中点,连结 AD ,则 AD ? BC ∴四边形 PADQ 是矩形 ……………………8 分 分别以 AC , AB, AP 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz

设 PA ? 2a ,则 Q (a, a, 2a ) , B (0, 2a, 0) , P (0, 0, 2a ) , 设平面 QPB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ∵ PQ ? (a, a, 0) , PB ? (0, 2a, ?2a )

?

??? ?

??? ?

? ? ax ? ay ? 0 ? n ? (1, ?1, ?1) ?2ay ? 2az ? 0 ?? 又∵平面 PAB 的法向量为 m ? (1, 0, 0) ……12 分 设二面角 Q ? PB ? A 为 ? ,则 ?? ? ?? ? m?n 3 | cos ? |?| cos ? m, n ?|? ?? ? ? 3 | m |?| n | 又∵二面角 Q ? PB ? A 是钝角
∴? ∴ cos ? ? ?

3 ………………………………14 分 3

21.方法一: 解:(I)当 AB 垂直于 x 轴时,显然不符合题意, 2 所以可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,代入方程 y ? 4 x 得:

k 2 x 2 ? (2kb ? 4) x ? b 2 ? 0
∴ x1 ? x2 ? 得: b ?

4 ? 2kb ?2 k2

…………………………2 分

2 ?k k 2 k 2 k
………………4 分

∴直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ?

∵ AB 中点的横坐标为 1,∴ AB 中点的坐标为 (1, ) ∴ AB 的中垂线方程为 y ? ?

1 2 1 3 ( x ? 1) ? ? ? x ? k k k k 3 3 ∵ AB 的中垂线经过点 P (0, 2) ,故 ? 2 ,得 k ? …………………6 分 k 2 3 1 ∴直线 AB 的方程为 y ? x ? ………………7 分 2 6 1 3 (Ⅱ)由(I)可知 AB 的中垂线方程为 y ? ? x ? ,∴ M 点的坐标为 (3, 0) ……8 分 k k 2 2 因为直线 AB 的方程为 k x ? ky ? 2 ? k ? 0
∴ M 到直线 AB 的距离 d ?

| 3k 2 ? 2 ? k 2 | k4 ? k2

?

2 k 2 ?1 |k|

………10 分

?k 2 x ? ky ? 2 ? k 2 ? 0 k 2 2 y ? ky ? 2 ? k 2 ? 0 , 由? 得 2 4 ? y ? 4x
y1 ? y2 ? 4 8 ? 2k 2 , y1 ? y2 ? k k2

1 4 1 ? k 2 k 2 ?1 | AB |? 1 ? 2 | y1 ? y2 |? k k2
∴ S ?AMB ? 4(1 ?

…………………12 分

1 1 ) 1? 2 , 2 k k

设 1?

1 ? t ,则 0 ? t ? 1 , k2
6 3

S ? 4t (2 ? t 2 ) ? ?4t 3 ? 8t , S ' ? ?12t 2 ? 8 ,由 S ' ? 0 ,得 t ?
16 6 9

即 k ? ? 3 时 S max ?

此时直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 3 ? 0 (本题若运用基本不等式解决,也同样给分) 法二: (1)根据题意设 AB 的中点为 Q (1, t ) ,则 k AB ?

…………15 分

y2 ? y1 y ?y 2 ? 22 12 ? x2 ? x1 y2 y1 t ? 4 4

………2 分

由 P 、 Q 两点得 AB 中垂线的斜率为 k ? t ? 2 ,

……………4 分

2 4 ? ?1 ,得 t ? t 3 3 1 ∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 2 6
由 (t ? 2) ? (2)由(1)知直线 AB 的方程为 y ? t ?

………………6 分 ……………7 分

2 ( x ? 1) t

…………8 分

t AB 中垂线方程为 y ? t ? ? ( x ? 1) ,中垂线交 x 轴于点 M (3, 0) 2
点 M 到直线 AB 的距离为 d ?

t2 ? 4 t ?4
2

? t2 ? 4

………10 分

2 ? ? y ? t ? ( x ? 1) 2 2 2 由? 得: 4 x ? 8 x ? (t ? 2) ? 0 t ? y2 ? 4x ?

?| AB |? 1 ?

4 | x1 ? x2 |? (t 2 ? 4)(4 ? t 2 ) t2

x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ?

(t 2 ? 2) 2 4

?S ?

1 1 | AB | ?d ? (t 2 ? 4) 2 (4 ? t 2 ) 2 2 2 2 16 3 16 6 ? (t 2 ? 4)(t 2 ? 4)(8 ? 2t 2 ) ? ( ) ? 4 4 3 9
16 6 4 时, S 有最大值 ,此时直线 AB 方程为 3 x ? 3 y ? 1 ? 0 ……15 分 9 3

当 t2 ?

22.解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x 2 ? e x , f (x) 在 R 上单调递减 ………1 分

f ' ( x) ? 2 x ? e x ,只要证明 f ' ( x) ? 0 恒成立,
设 g ( x) ? f ' ( x) ? 2 x ? e ,则 g ' ( x) ? 2 ? e ,
x x

………………2 分

当 x ? ln 2 时, g ' ( x) ? 0 , 当 x ? (??, ln 2) 时, g ' ( x) ? 0 ,当 x ? (ln 2,??) 时, g ' ( x) ? 0 …………4 分

? f 'max ( x) ? g max ( x) ? g (ln 2) ? 2 ln 2 ? 2 ? 0 ,故 f ' ( x) ? 0 恒成立
所以 f (x) 在 R 上单调递减 故方程 2ax ? e x ? 0 有两个根 x1 , x2 , 又? x ? 0 显然不是该方程的根,所以方程 2a ? 设 ? ( x) ? ……6 分 (2)(i)若 f (x) 有两个极值点 x1 , x2 ,则 x1 , x2 是方程 f ' ( x) ? 0 的两个根,

ex e x ( x ? 1) ,得 ? ' ( x) ? x x2

ex 有两个根, x

………8 分

若 x ? 0 时, ? ( x) ? 0 且 ? '( x) ? 0 , ? ( x) 单调递减 若 x ? 0 时, ? ( x) ? 0

0 ? x ? 1 时 ? '( x) ? 0 , ? ( x) 单调递减 x ? 1 时 ? '( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增 ………………………10 分 x e e 要使方程 2a ? 有两个根,需 2a ? ? (1) ? e ,故 a ? 且 0 ? x1 ? 1 ? x2 x 2 e 故 a 的取值范围为 ( , ??) …………………………12 分 2
法二:设 g ( x) ? f '( x) ? 2ax ? e ,则 x1 , x2 是方程 g ( x) ? 0 的两个根,
x

则 g '( x) ? 2a ? e ,
x

当 a ? 0 时, g '( x) ? 0 恒成立, g ( x) 单调递减,方程 g ( x) ? 0 不可能有两个根 所以 a ? 0 ,由 g '( x) ? 0 ,得 x ? ln 2a , 当 x ? (??, ln 2a) 时, g '( x) ? 0 ,当 x ? (ln 2a, ??) 时, g ' ( x) ? 0

? g max ( x) ? g (ln 2a) ? 2a ln 2a ? 2a ? 0 ,得 a ?
(ii) 由 f ' ( x1 ) ? 0 ,得: 2ax1 ? e
x1

e 2

? 0 ,故 a ?

e x1 , x1 ? (0,1) 2 x1

f ( x1 ) ? ax1 ? e x1 ?
2

e x1 x 2 ? x1 ? e x1 ? e x1 ( 1 ? 1) 2 x1 2
………………14 分



x1 ? (0,1)
t 2

设 ? (t ) ? et ( ? 1)(0 ? t ? 1) ,则 ? ' (t ) ? et ( 故 ? (1) ? ? (t ) ? ? (0) ,即 ?

t ?1 ) ? 0 , ? (t )在0 ? t ? 1 上单调递减 2
………………………15 分

e ? f ( x1 ) ? ?1 2


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