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数学必修一第一章集合与函数概念整合提升


1.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},则? ? A.{2,3} C.{4,5} 解析:∵A={1,2,3},B={2,3,4},∴ A ? B ? {2,3}. 又U={1,2,3,4,5},∴? ? U ( A ? B ) ? {1,4,5}.

U

( A ? B ) 等于(

/>)

B.{1,4,5} D.{1,5}

答案:B 2.若函数f(x)是R上的奇函数,则下列关系式恒成立的是( ) A. f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 B. f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 C. f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 D. f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 解析:∵f(-x)=-f(x),∴f(x)-f(-x)=2f(x)不能确定符号.
f ( x) ? f (? x) ? ? f ( x) ? 0 .
2

答案:C 3.下列集合中表示相等集合的是( ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={3,2},N={2,3} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={1,2},N={(1,2)} 答案:B 4.同时满足 (1) M ? {1,2,3,4,5},(2)若 a ? M ? 则 6 ? a ? M 的非空集合M有( ) A.32个 B.15个 C.7个 D.6个 解析:1,5与2,4必须成对出现. ∴符合条件的集合M有{1,5},{1,5,3},{1,5,2,4},{3},{3,2,4},{2,4},{1,5,3,2,4}共7个. 答案:C 5.下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( )

解析:根据函数的概念知,只有”一对一”或”多对一”对应才能构成函数关系. 答案:A 6.设f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)等于 ( ) A.2x+1 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7 解析:g(x+2)=f(x)=2x+3=2(x+2)-1, ∴g(x)=2x-1.

答案:B 7.函数 f ( x ) ? a x ? ( a ? 1) x ? 48(a-2)x+b的图象关于原点成中心对称,则f(x)在[-4,4]上的单调 性是… ( ) A.增函数 B.减函数 C.在[-4,0]上是增函数,在[0,4]上是减函数 D.在[-4,0]上是减函数,在[0,4]上是增函数 解析:∵f(x)为奇函数,
3 2

∴ ?

? a ? 1 ? 0? ? b ? 0?
3

∴ ?

? a ? 1? ?b ? 0?

∴ f ( x) ? x ? 48 x . 在[-4,4]上任取 x1 ? x 2 ? 且 ? 4 ? x1 ? x 2 ? 4 ?
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? 48 x1 ? x 2 ? 48 x 2 ? ( x1 ? x 2 )( x1 ? ? x1 x 2 ? ? x 2 ) ? 48( x1 ? x 2 )
3 3 2 2

? ( x1 ? x 2 )( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ? 4 8) .
2 2

∵ ? 4 ? x1 ? x 2 ? 4 ? ∴ x1 ? x 2 ? 0 ? x 1 ? x 1 ? x 2 ? x 2 ? 4 8 ? 0 .
2 2

∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) . ∴f(x)在[-4,4]上为减函数. 答案:B 8.已知函数f(x)= ?
? x? x ? 0? ? x ? x ? 0?
2

则f[f(-2)]的值是…… (

) D.-4

A.2 B.-2 C.4 2 解析:∵x=-2,而-2<0,∴f(-2) ? ( ? 2 ) ? 4 . 又4>0,∴f[f(-2)]=f(4)=4. 答案:C 9.全集U=R,A={x|x<-3或 x ? 2 },B={x|-1<x<5},则集合{x|-1<x<2}是( A.(? ? U A ) ? ( ? ? U B ) B.? ? U ( A ? B ) C.

)

??

U

A? ? B
U

D. A ? B

解析:∵? ? ∴(? ? 答案:C
U

A ? {x| ? 3 ? x ? 2 },

A ) ? B ? {x|-1<x<2}.

10.给出下列函数表达式:① y ? ④y ?
1? x ? x ? 2 ?? 2
2

x ?1 ?
3

1 ? x ;② y ?
3

x ?1 x ?1

;③ y ? 3 x ? a ( a ? R且 a ? 0 ) ;
2

? 其中奇函数的个数为(

)

A.1 B.2 C.3 D.0 解析:由定义域可以排除①(因为定义域只包含一个元素1,而不包含-1),②(因为x可取1,不可取-1); 用 ? f ( ? x ) ? ?-f(x) 可 排 除 ③ , ④ 中 分 子 的 隐 含 条 件 为 ? ? 1 ? ? x ? 1? 所 以 x ? 2 ? 0? y ? 答案:A
1? x x
2

为奇函数.

二 填空题
11.若函数f(x+3)的定义域为[-5,-2],则F(x)=? f(x+1)+? f(x1)的定义域为. 解析:∵函数f(x+3)的定义域为[-5,-2], 即 ? 5 ? x ? ? 2?

∴ ?2 ? x ? 3 ? 1 . ∴ ?
? ? 2 ? x ? 1 ? 1? ? ?2 ? x ? 1 ? 1? ∴ ?1 ? x ? 0 .

∴F(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域为[-1,0]. 答案:[-1,0] 0 12.用列举法表示集合:M={m| m1 ? 1 ? Z ? m ? Z}=. 答案:{-11,-6,-3,-2,0,1,4,9} 13.函数 y ?
2

x ? 2 x ? 3 的单调递减区间是.
2

解析:由 x ? 2 x ? 3 ? 0 得 x ? 1 或 x ? ? 3? ∴函数减区间为 ( ? ? ? ? 3] . 答案: ( ? ? ? ? 3] 14.若函数 f ( x ) ? kx ? ( k ? 1) x ? 2是偶函数,则f(x)的递减区间是. 解析:∵f(x)是偶函数,
2

∴f ( ? x ) ? kx ? ( k ? 1) x ? 2 ? kx ? ( k ? 1) x ? ? 2=? ? f(x)? . ∴k=1.
2 2

∴ f ( x ) ? x ? 2 ? 其递减区间为 ( ? ? ? 0 ] .
2

答案: ( ? ? ? 0 ]

三 解答题 15.已知集合A={x| 2 ? x ? 8 },B={x|1<x<6},C={x|? x>a}? ,U= R. (1)求 A ? B ? ( ? ? A ) ? B ; (2)若 A ? C ? ? ,求a的取值范围.
U

解: (1) A ? B ? {x| 2 ? x ? 8 } ? {x|1<x<6} ={x| 1 ? x ? 8 }. ? ? U A ? {x|x<2或x>8}. ∴(? ?
U

A ) ? B ? {x|1<x<2}.

(2)∵ A ? C ? ? , ∴a<8. 16.设f(x)是R上的奇函数,且当 x ? (0 ? ? ? ) 时,? f(x)=? ? x(1+? x), 求f(x)在R上的解析式. 解:∵f(x)是R上的奇函数, ∴f(-0)=-f(0). ∴f(0)=0. 设x<0,则-x>0, ∴f(-x)=-x(1-x). 又∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=-x(1-x). ∴f(x)=x(1-x).
? x (1 ? x ) ? x ? 0 ? ? 0? x ? 0? ∴f(x)= ? ? x (1 ? x ) ? x ? 0 ? ?

17.有甲、乙两种商品,经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元,他们与投入资金 x万元的关系为:p=
1 5 x, q ?
3 5

x ,今有3万元资金投入经营这两种商品,为获得最大利润,对

这两种商品的资金分别投入多少时,能获得最大利润?最大利润为多少? 解:设甲 , 乙 两 种 商 品 分 别 投 入 x 万 元 ? (3 ? x ) 万 元 ? 则 利 润 V(x)=p+q= 令 3 ? x ? t ( t ? 0 )? 则 x ? 3 ? t ?
2
3 ∴ V ( x ) ? f ( t ) ? 1 (3 ? t ) ? 5 t 5 2

1 5

x?

3 5

3? x .

? ?1t ? 5
2

3 5

t?
2

3 5 21 20

3 ? ? 1 (t ? 2 ) ? 5

.
9 4

∴当 t ? 3 ? 即 x ? 3 ? 2

?

3 4

时 ? V ( x ) m ax ?
3 4

21 20

.
9 4
21 万元时,获得最大利润 2 0 万元.

答:对甲 , 乙 两 种 商 品 分 别 投 入 18.已知函数 f ( x ) ?
(1) a ?
1 2

万元,

x ?2 x?a x

2

? x ? [1? ? ? ) .

时,求函数f(x)的最小值;
1 2

(2)若对任意 x ? [1? ? ? ) ? f ( x ) ? 0 恒成立,试求实数a的取值范围. 解:(1)当 a ? 时? f (x) ? x ?
1 2x

? 2 ? 用函数的单调性定义可证f(x)在区间 [1? ? ? ) 上为增函数.
7 2

∴f(x)在 [1? ? ? ) 上的最小值为 f (1) ? (2)在区间 [1? ? ? ) 上 ? f ( x ) ?
2 2 2

.
2

x ?2 x?a x

2

? 0 恒成立,等价于 x ? 2 x ? a ? 0 恒成立.

设 y ? x ? 2 x ? a ? x ? [1? ? ? ) . ∵ y ? x ? 2 x ? a ? ( x ? 1) ? a ? 1 在 [1? ? ? ) 上递增, ∴当x=1时 ? y m in ? 3 ? a . 于是,当且仅当 y m in ? 3 ? a ? 0 时,f(x)>0恒?成立.? ∴a>-3.? ?


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