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数学思想论文


关于若干数学思想的中学教学策略研究

摘要:数学的基本知识和技能、基本思想和方法对一个人的发展起着潜移默 化的作用.课程标准中指出:教师应该帮助学生真正理解和掌握基本的数学知识 和技能、 数学思想和方法, 使学生学会运用数学的思维方式解决问题、 认识世界. 在新课改和素质教育的大背景下, 中学数学课程中强化数学思想教学显得尤为重 要,数学思想的教学既能减轻学生

学习负担、提高课堂效率,又能提升学生的思 维品质、培养创新精神. 关键词:数学思想;教学策略;数学能力 1 引言 数学的历史不只是一些新概念和新定理的简单堆砌,它还包含着数学思想和 方法的积淀、发展和演进.数学思想,是对数学知识和方法的本质认识,它是数 学思维的结晶和概括,它直接支配着数学的实践活动,是解决问题的灵魂. 1.1 数学思想的概念意义 刘黎明老师总结出了数学思想的含义. [1]人们最初的数学活动经验,实际上 就是原始的数学思想方法.“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高的抽象 概括水平,后者比前者更具体、更丰富,而前者比后者更本质、更深刻.“数学 思想”是与其相应的“数学方法”的精神实质与理论基础,“数学方法”则是实 施相关的“数学思想”的技术与操作程式.数学的思想和方法没有十分明确的界 线,与方法相比较,思想具有更高的抽象层次,一般只是提示思考的方向,而没 有明确具体的操作步骤, 是对数学的概念、原理、方法等本质的认识,是方法 的概括和提炼,数学思想常常表现为数学方法的形式.中学数学用到的各种数学 方法,都体现着一定的数学思想. 1.2 数学思想在中学教学中的地位 现行教材中蕴含了多种数学思想和方法, 宋文媛老师指出中学数学教学应贯 穿两条主线: 一条是数学知识的教学,另一条是数学思想和方法的教学. [2]数学 教师应注重数学思想方法的教学, 充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思 想和方法,设计数学思想方法的教学目标,结合教学内容适时渗透、反复强化、 及时总结,用数学思想方法武装学生,使学生真正成为数学的主人. 不仅教师意识到数学思想在中学中的地位, 国家有关部门也出台相应的文件 强调数学思想的地位. 郭明星老师指出了新课标中数学思想的内容.
[3]

2001 年 7

月颁布的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》,在课程目标的开头就明确 要求: “获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事 实、 数学活动的经验) 以及基本的数学思想方法和必要的应用技能??教师应该 帮助学生真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法”. 2003 年 4

月颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》,在第二部分课程目标中指出“获得 必要的数学基础知识和基本技能??体会其中所蕴含的数学思想和方法”. 1.3 中学中常见的数学思想 陈静仁老师总结了一些数学思想.[4] 在数学发展的历史过程中,国内外数学 家都比较重视数学思想的探讨,特别是 17 世纪以后,形成了许多重要的数学思 想,主要有五种:猜证结合思想;分类和分布思想;化归思想;数形结合思想; 函数和方程思想.除此之外, 还有:公理化、符号化、极限思想、固本思想等等. 中学教材中体现的数学思想方法都是这些大的思想中细化出来的,如代数思想, 集合对应思想, 数形结合思想, 函数方程思想, 分类讨论思想, 化归与转化思想, 数学模型思想. 上述数学思想教师都应该在教学中给以体现, 在日常的教学中凡是涉及到的 数学思想都应该结合具体实例给学上讲解,让学生反复体会,学以致用.数形结 合思想,函数方程思想,分类讨论思想,化归与转化思想是中学数学中最常见, 贯穿整个中学数学的,故本文特选取这四种数学思想具体分析研究,其他数学思 想的教学以此相仿. 2 数学思想中学教学策略 数学思想往往带有理论性的特征,而数学方法具有实践性的倾向.数学中用 到的解题方法都体现着一定的数学思想,一定的数学思想要靠数学方法去实现, 数学思想和方法常统称为数学思想方法.数学思想方法的教学中应该注意层次性 和渐进性、过程性、变式的策略. 2.1 数形结合思想 2.1.1 数形结合思想的概念意义 数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想, 陆诗荣老师总结了数形 结合的含义.
[5]

所谓数形结合是将数学中抽象的数学语言, 数量关系与具体直观

的图像结合起来, 利用抽象思维与形象思维的有机结合, 借助形的具体明确来 反应数量之间的关系, 借助数来具体描述形的本质内涵.用这种思想来解决数学 问题往往可以使复杂的问题简单化, 抽象问题具体化.数形结合思想既能发挥代 数的优势, 又可以充分利用图形的直观性, 从多个角度探索问题, 对思维能力 的发展大有裨益. 2.1.2 数形结合思想教学的必要性 我国著名的数学家华罗庚曾写下这样一首诗, 形象生动的阐述了数形结合 的意义. “数与形, 本是相倚依, 焉能分作两边飞.数缺形时少直觉, 形缺数时难 入微.数形结合百般好, 隔裂分家万事非.切莫忘, 几何代数统一体, 永远联系, 切莫分离.” 可见, 数与形二者相辅相成, 缺一不可.数的抽象, 形的具体, 两者 珠联璧合, 对于数学解题将有出其不意的效果.

1

2.1.3数形结合思想的教学策略 中学教材中很多内容都深刻的体现着数形结合思想,如集合与逻辑部分,把 集合运算与韦恩图结合起来使学生很容易理解和掌握; 三角函数部分可以用函数 图象研究函数的周期、对称轴、单调期间;平面解析几何部分的教学更是离不开 数形结合思想,这部分本就是几何问题的代数刻画;除了上述内容外还有许多内 容都揭示着数形结合思想.下面选取部分内容作分析: 教材中渗透数形结合思想:数、形在一定条件下相互转化是数学中最常见的 规律之一, 在函数教学中把数和形结合起来研究的方法贯穿始终.在研究函数是, 教师要培养学生看见函数式就立即联想到它的图像, 结合实际图像来研究学习函 数有关知识的思维习惯.函数图像与性质常常有如下对应关系: (1) 定义域、值域——数轴的部分或全体 (2) 奇偶性——关于原点或坐标轴对称 (3) 单调性——图像的走势升降 (4) 最大值、最小值——最高点、最低点 (5) 有界性——能否用平行线包围函数图象 (6) 周期性——图像能否有规律的重复出现或叠合 在高中教材必修 4 中第一章三角函数的第四节三角函数的图像与性质, 开始 即指出:遇到一个新函数,非常自然的是画出它的图像,观察图像的形状.看看 它有什么特点, 并借助图像研究它的性质??本节开始用沙漏的实验做出了一个 简谐运动的图像,如图 2.1.1 简谐运动图像.在此基础上,用正弦线画出比较精 确的正弦函数 y ? sin x, x ??0,2? ? 的图像,如图 2.1.2 正弦函数图像.然后根据终 边相同的角三角函数值相同以及正弦函数与余弦函数的关系,得到了正弦函数
y ? sin x , x ? R 和余弦函数 y ? cos x, x ? R 的图像,如图 2.1.3 正弦函数和余弦函

数图像.

图 2.1.1 简谐运动图像

2

图 2.1.2 正弦函数图像

图 2.1.3 正弦函数和余弦函数图像

教材在作完这些图后给出了思考问题:在作出正弦函数的图像时,应抓住哪 些关键点?通过分析归纳出了近似的“五点(画图)法”.教材在此基础上安排 了一个例题,例 1 画出下列函数的简图:(1) y ? 1 ? sin x, x ??0,2? ? ;(2)

y ? ? cos x, x ??0,2? ? .再次巩固了绘制函数简图的方法.
通过上半节,学习了图像的绘制过程,又学习了函数图象的简单画法,下半 节开始结合图形学习函数的性质.这样根据定义,结合图形学生很容易得出了函 数性质,如正弦函数 y ? sin x :定义域是整条数轴, x ? R ;值域是 y ???1,1? ;
3 ?1 ? 函数是奇函数, 图像关于原点对称; 周期是 2? ; ? ? ? 2k? , ? ? 2k? ? , ? k ? Z ? 在 2 ?2 ? 1 ? 1 ? 上函数单调递减, 图像下降; ? ? ? ? 2k? , ? ? 2k? ? , ? k ? Z ? 上函数单调递增, 在 2 ? 2 ?

图像上升?? 练习中强化数形结合思想:我们来看一个例题:两个单位圆的圆心距为 1, 在第一个圆上取点 A .在第二个圆上取关于连心线对称的两个点 B1, B2 ,求

AB12 ? AB22 的最小值.

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解:设两个圆的圆心分别为 Q1 , Q2 ;以 Q2 为原点,建立平面直角坐标系,如 图 2.1.4 例题图形.则圆 Q1 :

? x?1? ? y
2

2

? 1,圆 Q2 : x ? y ? 1 ;
2

2

图 2.1.4 例题图形

令 A? x0 , y0 ? , B1 ? x1, y1 ? , B2 ? x1, ? y1 ? 则:
AB12 ? AB2 2 ? ? x0 ? x1 ? ? ? y0 ? y1 ? ? ? x0 ? x1 ? ? ? y0 ? y1 ?
2 2 2 2

2 2 ? 2( x0 ? y0 ) ? 2 ? 4 x0 x1

? 2 ? x0 2 ? 1 ? ( x0 ? 1)2 ? ? 2 ? 4 x0 x1 ? ? =2 ? 4 x0 ? 4 x0 x1 ? 2 ? 4 x0 ?1 ? x1 ? ? 2
故 AB12 ? AB22 的最小值是 2. 从以上教材内容片断和例题中,我们能感受到教材的编写意图,也能体会到 数形结合的妙处.在此,我结合杨光老师的四点教学策略[6]提出以下几点建议: 第一:教师要善于激发学生的“数形结合”兴趣.这要做到以下两点: (1)展现数学美本身所蕴含的数形美感. (2)重视“数形结合”基础阶段的引导. 第二:教师要重视对数形结合教材内容的充分挖掘利用,让学生在数形结合 的环境中耳濡目染.以下五方面要引起重视: (1)在函数教学中重视数形结合思想. (2)在方程教学中渗透数形结合思想. (3)在不等式的教学中妙用数形结合思想. (4)在复数教学中强化数形结合思想. (5)在解析几何教学中巧用数形结合思想. 第三:日常教学中强化数形结合思想的运用是培养学生数形结合思想的关 键.
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第四:在渗透数形结合思想的教学过程中,指明数形结合是应注意的问题是 培养数形结合思想的关键. (1)数形转化结合过程中应注意三个原则:转化等价原则,数形互补原则, 求解简单原则. (2)要善于观察图形,以揭示图形中蕴含的数量关系. (3)培养学生正确绘制图形的能力,以反映图形中相应的数量关系. (4)确实把握数与形的对应关系,养成见数思形,见形思数的习惯. 2.2 函数方程思想 2.2.1 函数方程思想的概念意义 李国华老师总结出了函数方程思想的含义.[7]函数与方程思想是中学数学教 学的基本思想,函数的思想是用运动和变化的观点,集合与对应的思想去挖掘和 分析数学问题中的数量关系建立和构造函数, 从而在解题中分析转化和处理问题. 方程的思想就是挖掘数学问题中的等量关系构造方程, 运用方程的性质去分析转 化和解决问题.函数思想与方程思想是密切相关的,函数方程思想就是从问题的 数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(函数,方程,不 等式,或方程与不等式的混合组),将问题中的已知量和未知量之间的数量关系 通过适当设元建立起方程(组)或者不等式(组)然后通过解方程(组)或者不 等式(组)来使问题获解的思维方式,有时还实现函数与方程的相互转化. 2.2.2 函数方程思想的教学必要性 考试中心对考试大纲的说明中指出: “高考把函数与方程的思想作为七种思 想方法的重点来考查,使用选择题和填空题考察函数与方程思想的基本运算,而 在解答题中,则从更深的层次,在知识的网络的交汇处,从思想方法与相关能力 相综合的角度进行考查.”函数和方程式中学数学中两个总要的基本内容,贯穿 了整个中学的教学,由此在日常教学和总挖掘和渗透函数方程思想是很有必要 的,它既符合考试理念,又能提升学生的思维品质. 2.2.3 函数方程思想的教学策略 函数方程思想在教材中体现在知识网络的交汇点处, 如用待定系数法列方程 (组) 求解函数解析式的待定系数, 函数图象与坐标轴焦点与方程根的对应关联, 用函数研究方程根与系数的关系,函数方程的观点处理处理数列问题,函数方程 与不等式相互转化研究问题??下面选取部分内容做探究: 首先我们来看几个例题,然后在分析对应的教学策略. x ( x ? 0) . 例题:证明不等式 ln ?1 ? x ? ? 1? x 分析:我们用证明不等式的常用方法作差法和作商法都难以解决此问题,再 一看,这个不等式中有我们熟悉的初等函数,不妨构造一个函数

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f ( x) ? ln ?1 ? x ? ?

x ,利用函数单调性来证明此不等式.此函数在 [0, ??) 上连 1? x

续,则在 [0, ??) 上可导,若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 [0, ??) 上单调增加,即得证. 证明: 设函数 f ( x) ? ln ?1 ? x ? ?
x , 因为 f ( x) 在 [0, ??) 连续, 故当 x ? 0 时, 1? x

f ?( x) ?

1 1? x ? x x ? ? ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 [0,?? )上单调增加,又 2 2 1 ? x ?1 ? x ? ?1 ? x ?
x ,得证. 1? x

f (0) ? 0 ,因此当 x ? 0 时恒有 f ( x) ? f (0) ,即 ln ?1 ? x ? ?

例题:求证两个相交圆 x2 ? y2 ? ax ? by ? c ? 0 和 x2 ? y 2 ? mx ? ny ? 0 的公共 弦的方程是 (a ? m) x ? (b ? n) y ? c ? 0 .
? x12 ? y12 ? ax1 ? by1 ? c ? 0 ? 证明:设两圆的交点为 ? x1 , y1 ? 和 ? x2 , y2 ? 则有: ? 2 两 2 ? x1 ? y1 ? mx1 ? ny1 ? 0 ?

式相减得 (a ? m) x1 ? (b ? n) y1 ? c ? 0 ;同理得 (a ? m) x2 ? (b ? n) y2 ? c ? 0 . 故点 ? x1 , y1 ? 和 ? x2 , y2 ? 是方程 (a ? m) x ? (b ? n) y ? c ? 0 的两个解. ? x1 , y1 ? 和

? x2 , y2 ? 是直线 (a ? m) x ? (b ? n) y ? c ? 0 上两个相异的点,由两点确定一条直线知
道 (a ? m) x ? (b ? n) y ? c ? 0 是两个相交圆公共弦的方程. 例题:直线 m : y ? kx ? 1 和双曲线 x2 ? y 2 ? 1的左支交于 A, B 两点,直线 l 过 点 P(?2, 0) 和线段 AB 的中点 b ? 2 M ,求 l 在 y 轴的截距 b 的取值范围. 解析: b 的变化是由于 k 的变化而引起的,即对于 k 的任意确定值, b 有确 定的值与以之对应,因此 b 是 k 的函数.本题实际为求此函数的值域.
? y ? kx ? 1 ( x ? ?1) 消去 y 得: (k 2 ?1) x2 ? 2kx ? 2 ? 0 ? 由? 2 x ? y2 ? 1 ?

因为直线 m 与双曲线的左支有两个交点,所以方程 ? 有两个不相等的负实

? ?? =4k 2 ? 8(k 2 ? 1) ? 0 ? 2k ? 数根.所以 ? x1 ? x2 ? ? 0 解得: 1 ? k ? 2 1? k 2 ? ?2 ? ? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? 0 ?

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k ? ? x0 ? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 k 1 ? , ) ,Q(0, b) 三 设 M ( x0 , y0 ) 则:? 由 P(?2, 0) ,M ( 2 1? k 1? k 2 ? y ? kx ? 1 ? 1 0 ? 0 1? k 2 ?

点共线不难得出: b ?

2 . ?k ? k ? 2
2

1 17 令 f (k ) ? ?2k 2 ? k ? 2 ? ?2(k ? ) 2 ? 则 f (k ) 在 (1, 2) 上 为 减 函 数 , 故 4 8

f ( 2) ? f (k ) ? f (1) 且 f (k ) ? 0 .
所以 ?(2 ? 2) ? f (k ) ? 0 或 0 ? f (k ) ? 1 . 故b ? ? 2 ?2或b ? 2 . 点评:根据函数思想建立 b 与 k 的函数关系,根据方程思想运用二次方程模 型理论具体求出 b 的表达式,是解出此题的两个关键.不少解析几何问题,其中 某些因素处于变化中,存在相互联系,相互制约的量.它们之间往往存在函数关 系,对直线与曲线的交点问题,往往转化为方程问题,用方程理论解决. 从上面例题看出函数方程思想的妙处, 要能熟练地运用函数方程思想必须牢 牢的掌握一些函数的基本性质和方程理论.对此, 在教学中我提出以下几点建议: 第一: 在函数的教学中让学生深刻理解、 掌握基本函数的性质, 如: 单调性、 奇偶性、 周期、 最值和函数图像.在此基础上掌握函数 y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?( x) 的性质,这是运用函数思想的关键. 第二:日常教学建立起一元二次方程模型,对一元二次方程的基本理论要熟 练掌握.密切结合三个“二次”问题:一元二次函数、一元二次方程、一元二次 不等式,建立常用模型,熟悉三个“二次”之间的联系,能相互转化应用. 第三:在教材内容中充分挖掘,在以下几个内容中充分揭示、渗透函数方程 思想:函数性质、方程理论、不等式教学、数列、解析几何、立体几何、二项式 定理、三角函数. 2.3 分类讨论思想 2.3.1 分类讨论思想的概念意义 分类讨论是中学数学中的一种重要的数学思想方法, 它是适应数学结论的限 制条件而采取的各个击破的解题手段,根据对象相同点和差异点,将数学对象区 分为不同种类的一种思想方法.通过它可以把一个变幻不定的数学问题分解成若 干个相对稳定的问题来处理, 综合对这些小问题的解答, 便可推证出原问题的 结论.其实质是“化整为零, 各个击破, 再积零为整”.解决分类讨论问题的关键 是找出分类的动机, 即为什么分类;找出分类的对策, 即怎样分类;分类结论整
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合,即怎样归纳分类结论. 2.3.2 分类讨论思想的教学必要性 分类讨论思想在高考中占有重要地位, 分类讨论题在高考试卷中的比例总体 有逐年加重的趋势,原因是:分类讨论题覆盖知识比较多,有利于考查学生掌握 的知识面;解分类讨论题,需要学生有一定的分析能力,具有一定的分类思想和 技巧,有利于对学生能力的考查;含参数的问题和分类思想与生产实践,高等数 学有密切的联系.分类讨论具有明显的逻辑性,能够训练学生思维的条理性和概 括性.在教学中, 经常有意渗透分类讨论思想,不仅有助于学生对基本概念,基 础知识的全面理解,同时有助于发展学生思维的严密性、逻辑性和深刻性,这种 思想在学生的思维发展过程中有着重要的作用. 2.3.3 分类讨论思想的教学策略 分类讨论问题分布于中学数学教学的各章节中,是数学教学的难点之一.其 原因在于学生往往不理解在什么情况下需要进行分类讨论, 应该怎样进行分类讨 论.而教师又不能把分类讨论的有关问题,如引起分类讨论的原因,讨论的步骤 及其注意事项系统地给学生讲解,只是就题论题,这样导致学生遇到需讨论的问 题时, 无所适从.认识不到应该分类解决或即使感觉到应进行分类讨论,又不知 如何分类.因此,在日常教学中,通过实例系统地介绍分类讨论的思想、方法、 步骤及注意事项等,并设置环境,启发引导, 讨论示范.有助于培养学生分析问 题,解决问题的能力,以逐步养成严谨的思维习惯. 我们来看一个例题:设 a 为实数,函数 f ( x) ? x2 ? x ? a ?1, x ? R . ( ? )讨论 f ( x) 的奇偶性; ( ? ? )求 f ( x) 的最小值. 分析:本题所给函数的解析式含有参数 a , a 取值的不同,会影响到所研究 函数的奇偶性和最值,故需对 a 的取值进行分类讨论.注意到 f (? x) 不可能与
? f ( x) 相等,只可能与 f ( x) 相等,且仅当 a ? 0 时相等,便有了( ? )中对 a 分类

的依据.( ? ? )中要求函数的最小值,需要先去掉绝对值符号化简表达式,这也 需要分类讨论. 解:( ? )当 a ? 0 时,函数 f (?x) ? (?x)2 ? ?x ?1 ? f ( x) ,此时 f ( x) 为偶函 数.当 a ? 0 时, f (a) ? a2 ?1, f (?a) ? a2 ? 2 a ?1 , f (?a) ? f (a), f (?a) ? ? f (a) , 此时函数 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数.

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1 3 ( ? ? )当 x ? a 时,函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) 2 ? a ? 2 4 1 (ⅰ)若 a ? ,则函数 f ( x) 在 (??, a ] 上单调递减,从而 f ( x) 在 (??, a ] 上 2

的最小值是 f (a) ? a2 ? 1 . (ⅱ)若 a ?
1 f ( ) ? f (a ). 2 1 3 当 x ? a 时,函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) 2 ? a ? . 2 4 1 1 3 ( ⅰ ) 若 a ? ? , 则 函 数 f ( x) 在 [a, ??) 上 的 最 小 值 为 f (? ) ? , 且 2 2 4 1 f (? ) ? f (a ) . 2 1 (ⅱ) a ? ? , 若 则函数 f ( x) 在 [a, ??) 上单调递增, 从而函数 f ( x) 在 [a, ??) 2 1 1 3 , 则 函 数 f ( x) 在 (??, a ] 上 的 最 小 值 是 f ( ) ? a ? , 且 2 2 4

上的最小值为 f (a) ? a2 ? 1 .
1 3 1 1 综上, a ? ? 时, 当 函数 f ( x) 的最小值是 ? a ; ? ? a ? 时, 当 函数 f ( x) 2 2 2 4 1 3 的最小值是 a2 ? 1 ;当 a ? 时,函数 f ( x) 的最小值是 a ? . 2 4 注:本题第二问虽然进行了两次分类讨论,但两次所针对的变量是不同的.

第一次是为了去掉绝对值符号,针对 x 的取值分类;而第二次分类是求最小值, 针对参数 a 的取值分类. 通过上面例题,我们对分类讨论思想有了清晰的认识,对分类讨论的原因, 分类讨论的基本方法和步骤,分类的原则有了基本了解.为了在中学数学教学中 更好灌输分类讨论的思想方法,在此我提出以下几点建议: 第一:对可能引起分类讨论的内容尽可能的让学生理解,给学生明白为什么 要分类讨论.陈秀禄老师总结了中学阶段引起分类讨论的原因[8]有以下几种: (1)数学概念引起的分类讨论; (2)由数学中定理、公式、性质等引起的分类讨论; (3)由运算需要引起的分类讨论; (4)由图形位置的不确定性引起的分类讨论; (5)含参数问题中,由参数的不确定性引起的分类讨论;[8] 第二:结合具体实例讲解分类讨论问题的方法和步骤,让学生在具体情景中 感受分类讨论思想的运用过程. (1)确定是否需要分类讨论;
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(2)确定需要分类讨论的对象及讨论的范围; (3)确定分类标准,科学合理的分类讨论.在此过程中要注意分类讨论的层 次性,当分类的对象是两个以上,或者一次分类不能解决问题是,必须多层次进 行分类讨论.每一层次的分类都应有各自统一的标准,且在同一讨论中只能确定 一个标准.分类应该做到不重复、不遗漏,尽可能减少分类. (4)逐条讨论,得出各类结果; (5)归纳结论;在逐条讨论后要把各类几轮归结作答,这个步骤中之一题 目要求,合理归纳.常见的几种归纳要求为:并列归纳,将分类讨论的结果用并 列复句的形式给出;并集归纳,对每类结果求并集作为最后结论;交集归纳,对 每类结果求交集作为最后结论. 第三:日常教学中,适当引导学生归结题型,建立常用模型.中学中常见的 三类分类模型是: (1)对问题中的变量和参数分类讨论; (2)解题过程中,不能独一叙述、一概而论的内容,必须分类讨论; (3)有些几何问题中,元素的形状、位置、方向变化必须分类讨论. 2.4 化归与转化思想 2.4.1 化归与转化思想的概念意义 化归与转化是数学最基本的思想方法,是数学思想的精髓,更是解决数学问 题的灵魂.在解数学问题时,常常要对问题进行转化,使之逐步成为已经解决的 问题的模式,就是转化与化归的思想.转化与化归是把不熟悉的问题通过“分析 —联想”转化为熟悉的问题,把复杂的问题转化为简单问题,把不规范的问题转 化为规范问题,把实际问题转化为数学问题,从而达到圆满解决问题的目的. 2.4.2 化归与转化思想的教学必要性 在高考中, 对化归转化思想的考察往往结合演绎证明, 逻辑推理, 运算推理, 模式构建等理性思维能力的考察进行,考察都是基本知识的变式,可以说大部分 题都在考察化归意识和转化能力.化归与转化思想不仅对学习知识有很大作用, 在生活中用化归转化思想处理问题也很重要,可以使复杂问题简单化,陌生问题 熟悉化,一般问题特殊化或者特殊问题一般化等等.这样既提高了效率,又培养 了处理问题的思维能力. 2.4.3 化归与转化思想的教学策略 中学数学教材中很多内容都渗透着化归转化的思想,如函数与方程的转化, 解析几何中空间与平面的转化,数与形的转化,函数与不等式的转化,数列与函 数的转化, 立体几何问题与解三角形的转化等等.化归转化思想涉及范围虽然广, 结合它的特点化归转化思想的教学还是有法可依的.以下做具体分析: 我们先看几个体现化归与转化思想的例题, 在具体情境中体会化归与转化思

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想,分析相应的教学策略.例题:对满足 0?t ? 4 的实数 t ,使不等式
x2 ? tx ? 4 x ? t ? 3 恒成立的实数 x 的取值范围是

.

分析:按照常规思想,原不等式为二次不等式, x 为主元, t 为参数.此题若 按照一元二次不等式的理论求解则较为复杂,若转化为以 x 为参数, t 为主元的 一次不等式 ( x ?1)t ? x2 ? 4x ? 3 ? 0 在 0 ? t ? 4 上恒成立,求实数 x 的取值范围.这 样问题就比较简单: 解:令 f (t ) ? ( x ?1)t ? x2 ? 4x ? 3, t ??0, 4? ,则 f (t ) ? 0 的充要条件为:
? 2 ? f (0) ? 0 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 即? 2 解之得: x ? ?1 或 x ? 3 . ? ? f (4) ? 0 ? x ? 1 ? 0 ?

故 x 的取值范围是 (??, ?1) ? (3, ??) . 例题:若动点 ( x, y ) 在曲线
x2 y 2 ? ? 1 上运动,则 2x ? y 的最大值是 4 9

.

分析:此题若通过作图,联系函数方程理论来求解则比较麻烦,该曲线是我 们熟悉的椭圆,联想到参数方程,用三角函数求最值要简便的多.

? x ? 2cos ? 解:该曲线的参数方程是 ? ,则 2 x ? y ? 4cos ? ? 3sin ? ,应用辅助 ? y ? 3sin ?
角公式故有 2 x ? y ? 4 cos ? ? 3sin ? = 42 ? 32 sin(? ? ? ), ? ? arctan 最大值为 5. 通过以上两个例题对化归与转化思想有了一定的体会, 在此我小结出关于化 归与转化思想的几个要点: 第一:朱柳老师总结了化归与转化思想应遵循的原则[9]:熟悉化原则,即将 陌生问题转化为已知问题,用熟知的知识、方法解决有问题;简单化原则,即将 复杂问题转化为简单问题,将原问题中比较复杂的形式、关系结构转化为相对简 单的问题;直观化原则,即将一些空泛的、抽象的、深奥的问题转化为具体的、 直观的、浅显的问题;统一化原则,即当出现多个化归对象、形式多样、目标不 明确时,要观察个对象之间的联系,将问题转化为同一类形式;低层次化原则, 即解决问题时,尽量将高维问题化为低维问题,高次数问题化为低次数问题. 第二:化归与转化的基本方法和途径:函数与方程的转化;数与形的转化; 主与次的转化;借助参数转化;空间与平面的转化;一般与特殊的转化. 第三:化归与转化过程中应注意的问题: (1)有目的、有意识地进行化归转化,始终抓住目标,化大为小,化繁为
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4 , 所以 2x ? y 的 3

简,保证化归的有效性和规范性. (2)注意化归与转化的等价性,保证逻辑上的正确性. (3)化归与转化思想虽然是重要的思想策略,但并不是万能的,学习过程 中不能过分依赖,学习过程中不能只停留在化归分析层面,要培养自己的创新精 神,努力学习新知识,获得新方法. 第四:化归与转化思想的日常教学策略: (1)务实基础知识,完善知识结构是化归转化思想的基础.需要做到以下几 方面:重视概念、公式、法则等基本内容的教学,为寻求化归目标奠定基础;培 养学生养成整理、总结数学方法的习惯,为寻求化归方法奠定基础;完善知识结 构,为寻求化归途径奠定基础. (2)培养学生的化归意识,提高转化能力.在教学中要结合具体实例,示范 讲解化归与转化的原则、基本方法、基本途径及转化过程中要注意的问题.这是 渗透化归转化思想的关键点. (3)深入教材,反复提炼总结化归与转化的思想方法.把化归与转化思想方 法的教学融入教学的各个环节, 让学生确实感受到化归与转化思想的存在形式及 其发挥的作用. 3 几个数学思想的中学教学策略小结 数学思想是中学数学知识的一个重要部分, 和其他数学知识相比它有自己的 特点,表现在:高度的概括性,附着性即数学思想方法附着于数学知识,层次性 和迁移性.鉴于这些特点,数学思想的教学除了采用常规的教学策略外,还应有 针对数学思想方法的策略. 数学思想的教学也应服从一般数学知识的教学策略: 第一:重学习环境,让学生参与数学.要使学生积极、主动地探索求知,教 师必须在民主、平等、友好合作的师生关系基础上,创设愉悦和谐的学习气氛. 例如,在讨论课上,教师提出精心设计好的讨论题,让学生在生动活泼、民主和 谐的环境进行讨论,既独立思考又相互启发,在讨论中加强思维表达,分析问题 和解决问题能力的发展. 第二:重问题情境,让学生亲近数学.罗伯特·马扎诺指出学生有效学习的 必要条件是明确学习方向,人的思维过程始于问题情境. [10]教师创设问题情境, 把学生的注意力全部集中到当前所要解决的问题上来, 一方面为学生指明学习的 方向和目标;另一方面,可以激发学生的学习动机,唤醒学生的学习需求,变学 生的被动学习为主动学习, 从而提高教学的实效. 第三:重动手操作,让学生体验数学.动手实践最易于激发学生的思维和想 象.在教学活动中,教师应重视学生的直接经验,让学生在一系列的亲身体验中 发现新知识、理解新知识和掌握新知识.

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第四:重生活应用,让学生实践数学.在教学中,教师应经常让学生运用所 学知识去解决生活中的实际问题,使学生在实践数学的过程中真正掌握所学知 识,感悟到数学学习的价值所在,从而增强学好数学的信心,培养学生学习数学 的兴趣. 由于数学思想方法是基于一般数学知识又高于一般数学知识的一种隐性数 学知识, 要在反复的体验和实践中才能使学生逐渐认识、 理解, 并最终运用自如. 在一般的教学策略基础上实施针对数学思想方法的教学策略, 这样才能使教学更 具针对性,效果更显著.在此我提出几点建议: 第一:作为教学实施的主体,教师应该更新观念,充分认识到数学思想教学 的重要性,加深对数学思想方法的理解和认识.只有教师对此有足够的重视,才 能在日常的教学中有意识的渗透数学思想; 只有教师对数学思想有深刻的理解和 认识才能更好的教授学生. 第二:教师要回归课本,充分挖掘教材中的体现的数学思想.备课时把数学 思想的教授列为教学目标,构建适合学生实际的授课体系.授课时把握好知识体 系,分层次的教学,最好能按“知识—方法—思想”的顺序来提炼思想方法. 第三:化虚为实,充分渗透,结合优秀例题渗透归纳数学思想.数学思想是 高度概括、高度抽象的,单纯的数学思想教学学生难以理解,难以掌握其精髓. 若能够结合具体实例,形象直观的展现数学思想,学生更易接受和理解. 第四:教学过程中,不失时机的揭示数学思想方法,充分暴露数学思想的体 现、提炼过程.学生学习数学思想要经历感受、领悟、发展三个阶段,每个阶段 都要让学生清楚地感受到知识的形成过程. 第五:专题讲座,专项训练.当学生系统的掌握数学思想时,可以进行专项 练习,有针对性的进行教学可以是效果更好.可以按照“问题情境—建立模型— 求解模型—推广应用”的主线展开教学. 第六:让学生体会数学思想的重要性,培养学生对数学思想的兴趣,让学生 在主动参与中学习数学思想.兴趣是最好的老师,让学生体会到数学思想的重要 性,激发出学习的兴趣后,便会下意识的去模仿、去理解、去应用.最终的效果 会是学生能用数学思想去支配自己的思考方向、实践活动. 第七:落实措施,坚持不懈,反复渗透.要实现数学思想方法的教学目标, 需要教师开展扎实的教学工作,,把数学思想的教学落实到每一个环节,长期坚 持不懈才会取得理想的效果.那种心血来潮,突然想起来讲两句、上两课,随后 就抛脑后,或者公开课高点形式主义的作风是不可取的.教师要在知识的形成阶 段、问题的解决过程中、方法的形成阶段、知识总结复习阶段渗透数学思想. 第八:以教法指导学法.教学是互动的,要想取得好的效果,要注重教师的 教法,也要指导学生的学法.学生应在课本中充分体会数学思想,在概念的形成

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过程中, 解决问题形成方法的过程中, 知识的整理总结过程中充分体会数学思想. 参考文献 [1]刘黎明.高中数学课改初探[J].科学大众.科学教育,2010, (5) :4. [2]陈静仁.数学思想方法[J].边疆经济与文化,2009, (3) :124-125. [3]宋文媛.数学教学应重视渗透数学思想[J].通化师范学院学报(自然科学) , 1998, (4):8-10. [4]陆诗荣.浅谈数学思想方法的教学[J].牡丹江师范学院学报(自然科学版), 2005, (1):45-47. [5]郭明星.数学思想方法与教学[J].甘肃联合大学学报,2005,19(4) :94-96. [6]杨光.数形结合思想探析[J].现代商贸工业,2011, (7) :210-211. [7]李国华.浅析函数与方程思想的运用[N].齐齐哈尔师范高等专科学校学报, 2010, (6) :113-114. [8]陈秀禄.浅析中学数学中的分类讨论思想方法[J].数学教研,2009, :66. (4) [9]朱柳.化归思想在中学数学中的运用[J].上海中学数学,2007, (12) :19-20. [10] Robert J. Marzano.A Handbook for Classroom instruction that works [M].USA: Association for Supervision & Curriculum Deve,2001,37-154. Research on Mathematical Thoughts of Secondary School Teaching Strategies Abstract: The basic knowledge, skills, ideas and methods of mathematics play a subtle role in the development of a person. The curriculum standards say that teachers should help students to understand and master the basic mathematical knowledge, skills, mathematical ideas and methods to inform students how to use mathematical thought to solve problems and understand the world. Under the circumstance of the New Curriculum and quality-oriented education, strengthening mathematical thought is extremely important, because mathematical thought could reduce the burden of student learning, improve classroom efficiency, and enhance the quality of students' thinking and innovation. Keywords: mathematical thought; teaching strategies; mathematical skill

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