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全国第八届青年数学教师优质课教学设计:直线与平面垂直的判定 2 Word版含答案


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中国教育学会中学数学教学专业委员会 2016 年高中青年数学教师优秀课展示

《直线与平面垂直的判定》教学设计
江西省吉安市第三中学 课 题 谢国珍 总课时
1 第一课时

直线与平面垂直的判定

本节是北师大版高中数学必修 2 第一章第 6 节第一课时,是立体几何的核心 教学内容 内容之一,在学生学习了线面平行关系之后,是对学生“直观感知、操作确认、 解析 归纳总结、初步运用”的认识过程的一个再强化。 通过直观感知、操作确认,理解线面垂直的定义,归纳线面 知识与技能 垂直的判定定理, 并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的 简单命题。 教学目标 通过线面垂直定义及定理的探究过程,感知几何直观能力和 过程与方法 抽象概括能力,体会转化思想在解决问题中的运用。 通过播放天安门广场升旗仪式的视频,激发学生的爱国热情; 情感、态度 通过线面垂直定义及定理的探究,让学生亲身经历数学研究 与价值观 的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣。 学生已经学习了直线和平面、平面和平面平行的判定及性质,学习了两直线 学生学情 (共面或异面)互相垂直的位置关系,有了“通过观察、操作并抽象概况等活动 分析 获得数学结论”的体会,有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能 力。 采用“启发-探究”的教学方法,通过一系列的问题串及层层递进的的教学 活动,引导学生进行主动的思考、探究。帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到 一般的过度,从而完成定义的建构和定理的发现并且在充分理解判定定理的基础 上能对其进行简单应用,能解决简单的直线与平面垂直的证明问题。 在直线与平面垂直概念形成的过程中,构建“墙角的竖直棱为什么与地面垂 直?”的问题情境,通过动画展示,在师生互动中,让学生认识到“墙角的竖直 棱与地面内的所有直线都垂直”之后,得出直线与平面垂直的定义。通过小组讨 教学策略 论“为什么比萨斜塔看起来与地面不垂直?”得出“只要地面内有一条直线与比 分析 萨斜塔所在直线不垂直,那么比萨斜塔所在直线与地面所在平面不垂直。”这就 从正反两方面说明了定义的合理性。 在直线与平面垂直的判定定理的教学中,以长方体模型为载体,引导学生观 察长方体中的线面关系,再让学生动手实践,折叠三角形纸片。学生经历了直观 感知、操作确认的过程后,最后归纳出直线与平面垂直的判定定理。

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教学重点 教学难点 教学过程

通过直观感知、操作确认概括直线与平面垂直的定义和判定定理。 对直线与平面垂直的判定定理的理解。 教学内容
教师活动 学生活动 师生共同观 看天安门广 场升旗仪式 的视频,激发 学生的爱国 热情。

备课 扎记

一、课题导入
1. 播放天安门广场五星红旗徐徐升旗的视频。

问题 1:最近我们学校准备立一根新的旗杆,怎样检验旗杆与地 通 过 创 设 适 面是不是垂直的呢? 引导学生将旗杆抽象成一条直线,地面抽象成一个平面,得 出这就是“如何判定直线与平面是否垂直”的问题,也就是今天 我们要研究的课题,从而引出新课。
当的问题情 境,使学生自 然地关心起 学校这个集 体,培养学生 的集体主义 精神。

2. 直观感知 问题 2:你能举出生活中直线与平面垂直的例子吗? 引导学生找一找生活中直线与平面垂直的实例。 (多媒体展示 图片)
学生举例后, 观看图片,直 观感知直线 与平面垂直 的现象并能 与生活实际 相联系。

二、探索新知
1. 问题提出 生活中有如此多直线与平面垂直的实例,那么如何用语言描 述直线与平面垂直的关系呢? 组织学生观看多媒体动画:小实验(拿一块教学用的直角三 角板,放在墙角,使三角板的直角顶点 C 与墙角重合,直角边 AC 所在直线与墙角所在直线重合, 将三角板绕 AC 转动, 在转动过程 中,直角边 CB 与地面紧贴,这就表示,AC 与地面垂直)
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认真观看动 画,思考教师 提出的问题, 从而概括出 直线与平面 垂直的定义。

通过动画展 示,在师生 互动中,让 学生认识到 “墙角的竖 直棱与地面 内的所有直 线都垂直”

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问题 1:在转动过程中,BC 边与地面是什么位置关系? 问题 2:在转动过程中,BC 边一直在移动,而 AC 边与 BC 边所成 角度是否会发生改变呢? 问题 3: AC 边与地面任意一条不过 C 点的直线又是什么位置关系?

之后,得出 直线与平面 垂直的定 义。将“异 面直线垂 直”转化为 “相交直线 垂直”,很 好地渗透了 类比、 转化、 降维等数学 思想方法。

2.归纳概括 直线与平面垂直的定义: 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条 直线和这个平面垂直。
小组讨论提 出的问题, 结合动画展 示,学生抽象 出直线与平 面垂直的定 义。

图形语言表示: 符号语言表示:l

??

3. 辨析思考 将这个定义中的“任何一条直线”换成“所有直线”这个命 题还成立吗?换成“无数条直线”呢?

组织学生课 堂辨析判断, 加深对直线 与平面垂直 的定义的理 解。

4. 正反对比,深化理解 问题 1 :你能举出生活中直线与平面相交但不垂直的例子 吗? (学生举例后,教师展示比萨斜塔图片) 问题 2:为什么比萨斜塔看起来和地面不垂直呢?
学生通过讨 论,从正反两 方面体会定 义的合理性

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5. 探究思考 显然,根据定义判定直线与平面垂直,需要判定直线与平面 内“任何一条直线”即“所有直线”都垂直。而事实上这往往是 难以实现的,我们可否寻求一个更为简便的方法,用有限条直线 来代替所有直线?

例1

已知 a ? ? , a ∥b.求证:b ? ?
通过这个例 题让学生巩 固直线与平 面垂直的定 义,同时叙述 该命题,从而 得出一个重 要结论。

你能用文字语言叙述这个命题吗?

5. 观察图形,发现定理 观察下图,回答下面的问题 (1) 如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直, 此直线是

从一条直线 到两条直线 (2) 如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直, 此直线是 借 助 长 方 体 的讨论,符 让 学 生 直 观 合学生的思 否和平面垂直? 的 感 知 线 面 维习惯, 在 否和平面垂直?
垂直的关系。 学 生 的 最 近 发展区设问。

6. 动手实践 请准备一块三角形的纸片,沿△ABC 的高 AD 翻折纸片,将翻 折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触) ,此时折痕 在 教 师 的 引 AD 与桌面垂直吗? 如果 AD 不是△ABC 的高, 此时 AD 与桌面还会 导 下 动 手 实 垂直吗?
践,从而发现 当且仅当折 痕 AD⊥BC 时, 翻折后 AD 所

以长方体模 型为载体, 引导学生观 察长方体中 的线面关 系,再让学 生动手实 践,折叠三

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A

B

D

C

在直线与桌 面所在平面 垂直,继而概 括出直线与 平面垂直的 判定定理。

角形纸片。 学生经历了 直观感知、 操作确认, 最后归纳出 直线与平面 垂直的判定 定理

7. 抽象概括 直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该 直线与此平面垂直。

图形语言表示:

? 符号语言表示:若a ? ? ?,b ? ?,l ? a, l ? b, a ? b ? A, 则l ? ?
8. 辨析思考 (1)书脊 AB 与桌面 ? 有什么关系,为什么? (展示直立在桌面上的书的图片) (2)如何检验旗杆与水平地面是否垂直?
巩固理解判 定定理,体会 数学在生活 中的应用。 回答了本节 课导入中提 出的问题,使 整节课前后 照应。

三、数学应用,巩固深化
例2 如图所示,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,点 P 为△ABC 所在

平面外一点,PA ⊥平面 ABC。问: △PBC 是什么三角形?并证明 你的结论。 分析:直线与平面之间的垂直 关系,可以相互转化。当线面 垂直时,线就会垂直于面内的 所有线;当一条直线垂直于一 个平面内的两条相交直线时,
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P

A

C

对直线与平 面垂直的定 义及判定学 会简单应用, 体会转化的

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这条直线就垂直于这个平面。

B

数学思想。

练习

如图, M 是菱形 ABCD 在平面外一点,满足 MA=MC 求证: AC⊥平面 BDM M

D O A B

C

对直线与平 面垂直的定 义及判定学 会简单应用, 体会转化的 数学思想。

四、内容小结
1、本节课你学会了哪些判定直线与平面垂直的方法? (1)定义法:强调是“任何一条直线” (2)判定定理法:必须是“两条相交直线” 。 2、直线与平面垂直的判定定理中体现了什么数学思想方法 ? 转化的思想

任何一条
线面垂直 两条相交
五、课后作业
必做: 教材 P42 第 1,2,5 题, 选做: 教材 P43 B 组 第 2 题。

线线垂直

梳理本节课 的主要内容, 优化学生的 知识结构。

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