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(二)导数与单调性、极值、最值


高二一级部

期末复习(数学)

学案编写

高慎云

审核 任成宪

(第二讲)导数的应用
知识梳理

f ?(x )

的符号判定函数 f (x ) 在各个相应小开区间内

② 将 y= f (x ) 的各<

br />
值与 f (a ) 、 f (b) 比较,

的增减性. 2.可导函数的极值

3.函数的最大值与最小值: ⑴ 设 y= f (x ) 是定义在区间[a ,b ]上的函数,y = f (x ) 在(a ,b )内有导数, 则函数 y= f (x ) 在[a ,b ] 上 ,右 有最大值与最小值;但在开区间内 其

1. 函数的单调性 ⑴ 函数 y= f (x ) 在某个区间内可导,若 f ?(x) >0, 则 f (x ) 为 为 ;若 f ?( x ) <0,则 f (x ) .(逆命题不成立) .

⑴ 极值的概念 设函数 f (x ) 在点 x0 附近有定义, ( 1 ) 如 果 在 x0 附 近 的 左 侧 侧 ,那么 f ( x0 ) 是极大值; ,右

中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

(2) 如果在某个区间内恒有 f ?( x ) ? 0 , f (x ) 则

( 2 ) 如 果 在 x0 附 近 的 左 侧 侧 ,那么 f ( x0 ) 是极小值;

课前热身

注: 连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的 单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: ① 确定函数 f (x ) 的 ② 求 f ?(x) ,令 定义区间内的一切实根; ③ 把函数 f (x ) 的间断点(即 f (x ) 的无定义点)的 横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排 列起来,然后用这些点把函数 f (x ) 的定义区间分 成若干个小区间; ④ 确定 f ?(x) 在各小开区间内的 ,根据 ; ,解此方程,求出它在

⑵ 求可导函数极值的步骤: ① 求导数 f ?(x) ; ② 求方程 f ?(x) =0 的 ;

1、 (2009 江苏卷) 函数 f ( x) ? x3 ?15x2 ? 33x ? 6 的单 调减区间为 . 2 、 ( 2009 苏 北 四 市 调 研 ) 函 数 上 的 最 大 值
2? 2? y ? x ? 2 s ix在 区 [? n 间 , ] 3 3

③ 检验 f ?(x) 在方程 f ?(x) =0 的根左右的符号,如 果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函 数 y= f (x ) 在这个根处取得 ; 如果在根的



.

3 、 2009 苏 、 锡 、 常 、 镇 调 研 ) 若 函 数
2 f ? x ? m x?l n ?

? 2 在定义域内是增函数,则实数 x x

左侧附近为负, 右侧为正, 那么函数 y= f (x ) 在这 个根处取得 . 有最大值与最小值.

m 的取值范围是



4、(2009 南京师大附中期中)函数 y ? x ? 2sin x 在 (0, 2? )内的单调增区间为 . 5、 (2009 通州调研) 函数 f ( x) ? 3 ax3 ? 2 ax2 ? 2ax ? 2a ? 1
1 1

(2) 求最值可分两步进行: ① 求 y= f (x ) 在(a ,b )内的
导数应用 第 1 页 (共 4 页)

值;

的图像经过四个象限的充要条件是

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6、 (2009 镇江调研)方程 x 3 ? 3x ? m ? 0 在[0,1] 上有实数根,则 m 的最大值是 7、 (2009 扬州调研) 若函数 f ? x ? ? x 3 ? a 2 x 满足: 对于任意的 x1, x2 ??0,1? 都有 | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? 1 恒成 立,则 a 的取值范围是
1 3

(2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取 值范围;? (3)是否存在 a,使 f(x)在(-∞,0]上单调递 减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

典型例题

例 1.(单调性、恒成立问题) 已知 f(x)=ex-ax-1.? (1)求 f(x)的单调增区间;?
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变式训练 1. (2009 南京调研) 已知函数
f ( x) ? 1 2 x ? a ln x (a ? R)(1) 若函数 f (x) 在 x ? 2 处 2

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的切线方程为 y ? x ? b ,求 a, b 的值; (2)若函数 f (x) 在 (1,??) 为增函数,求 a 的取值 范围; (3)讨论方程 f ( x) ? 0 解的个数,并说明理由。

值.

例 2.(极值、最值问题) 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切 线为 l:3x-y+1=0,若 x= 2 时,y=f(x)有极值. 3 (1)求 a,b,c 的值;? (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小
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例3.(根的个数问题)设a为实数,已知函数
f ( x) ? 1 x3 ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x . 3

(1)当a=1时,求函数 f ( x) 的极值. (2)若方程 f ( x) =0有三个不等实数根,求a的取 变式训练 2. 已知函数 f ( x) ? x ln x (1)求函数 f ( x) 的极值点; (2) 设函数 g( x) ? f ( x) ? a( x ?1),其中a ? R , 求函数
g ( x)在[1,e]上的最小值 (提示:分类讨论)

值范围.

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(3) 求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间,并 说明单调递减在本题中的实际意义是什么?

例 4:(应用题)某造船公司年造船量是 20 艘, 已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)=3 700x+45x2-10x3(单位:万元) ,成本函数为 C(x)=460x+5 000(单位:万元) ,又在经济学中, 函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x). (1) 求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x);提 ( 示:利润=产值-成本)? (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船 的年利润最大?
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10. 已知函数 f(x)=x3-ax-1.? 4. ( 2007 年 江 苏 9 ) 已 知 二 次 函 数
f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任

(1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围;? (2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单 调递减?若存在, 求出 a 的取值范围; 若不存在,

意 实 数 x 都 有 f ( x )? 0, 则 ________

f (1) 的最小值为 f '(0)

说明理由;? 5. (2007 年江苏 13)已知函数 f ( x) ? x3 ?12x ? 8 在 区间 [?3, 3]上的最大值与最小值分别为 M , m ,则
M ?m ?

(3)证明:f(x)=x3-ax-1 的图象不可能总在直 线 y=a 的上方.?

6. 函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10, 则 a= ,b=

7.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值
课后巩固

为 10,则 f(2)=___________ 8. 若 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 没有极值,则 a

1. (2007 年广东文)函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调 递增区间是____________. 2. 若 f ( x) ? ? x 2 ? b ln( x ? 2)在(-1,+?) 上 是 减 函 数,则 b 的取值范围是 3. 若函数 y ? ? x3 ? bx 有三个单调区间,则 b 的 取值范围是
4 3 1 2

的取值范围为 9. f (x) , g (x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函 数 , 当 x ? 0 时 , f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? 0 , 且
g (?3) ? 0 ,则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是____

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不存在,请说明理由.

11. ( 2009 扬 州 调 研 ) 网 已 知 函 数
f ( x) ? e x ? 2x 2 ? 3x. 高考资源网

(1)求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线方程;高 考资源 (2)当 x ? 1 时, 若关于 x的不等式
2
f ( x) ? 5 2 x ? (a ? 3) x ? 1恒成立, 试求实数 a 的取值范 2

12.设函数 f ? x? ? ax ? ln x , g ? x ? ? a2 x2 . (1) a ? ?1 时, 当 求函数 y ? f ? x ? 图象上的点到直 线
x ? y ? 3 ? 0 距离的最小值;

围。高考资源网

(2)是否存在正实数 a ,使 f ? x ? ? g ? x ? 对一切正 实数 x 都成立?若存在,求出 a 的取值范围;若
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