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高一数学必修四 2.1 平面向量的实际背景及基本概念


2.1.1

向量的物理背景与概念

2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量

情境

老鼠为什么认为猫是“傻猫”?

傻 猫 10m/s 50m/s

结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了。 速度是既有大小又有方向的量

/> 质量



速度

(1)

(2)

(3)

问题:请观察这三个物理中的量有什么区别? 质量:只有大小.(标量) 力、速度:既有大小又有方向的量.(矢量)

2.1.1向量的物理背景与概念
思考:下列物理量不

是向量的是(
① 质量



② 速度

③ 位移
⑤ 加速度 ⑦ 密度

④ 力
⑥ 路程 ⑧ 功

向量:既有大小,又有方向的量。 数量:只有大小,没有方向的量。

向量的两要素:方向、大小

2.1.2向量的几何表示
数量常常用数轴上的一个点表示.如3,2,-1
-1 0 1 2 3

1.向量的几何表示:用有向线段表示。 向量常用带箭头的线段来表示. B(终点) 具有方向的线段叫做有向线段。 记作: AB A(起点)

有向线段的三个要素: 起点、方向、长度

2、向量的字母表示: a , b , c 或 AB,CD

注: 1.向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点
可以取任意位置. 数学中的向量也叫自由向量.

2.有向线段与向量的区别:
有向线段:三要素:起点、大小、方向 向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向
B D B D

A

C

A

C

有向线段AB、CD 是不同的。

向量 AB、CD 是同一个 向量。

3.向量的有关概念
记作 |AB| 或 | a |

(1)向量的长度(模):向量AB的大小也就是向量的长度(模)。

(2)两个特殊向量:
零向量---长度(模)为0的向量叫做零向量,记作 0。

单位向量---长度(模)等于1个单位长度的向量叫作单位向量。

说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
问:在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P,那么它们 的终点的集合组成什么图形?

P

(3)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 如: a b c

记作 a ∥b ∥c 规定:0与任一向量平行。

判断题1
(1) 平行向量是否一定方向相同? 不一定

(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量? 零向量
(3) 若两个向量在同一直线上,则这两个向

量一定是什么向量?

平行向量

判断题2
1.零向量没有方向( 3.若|a|>|b| ,则a > b ) ) 2.向量的模是一个正实数. (

(

)

注意:向量不能比较大小

2.1.3相等向量与共线向量
(4).相等向量 长度相等且方向相同的向量叫相等向量
a b A4 c B4 A1 A2 A3 B3 B2 B1

a =b=c
A1B1=A2B2=A3B3=A4B4

注:1.若向量 a , b 相等,则记为 a ? b; 2.零向量与零向量相等 3.任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向 线段来表示,并且与有向线段的起点无关。

(5)共线向量:就是平行向量.

? a ? b ? c

方向相同或相反的向量

C


O

B

A

1.判断下列向量是否为平行向量 ?

? b

? a

b ? a

? a


? b

不是 2.判断对与错



(1)  若非零向量 AB// CD, 则AB// CD
(2)

(错 )

若a // b, b // c, 则a // c

(错 )

例1.如图设O是正六边形ABCDEF的中心,写出图中
与向量OA、OB、OC相等的向量. OA = DO = CB OB = DC = EO OC=AB=ED=FO 变式一:与向量OA长度相等的向量 有多少个? 11个 存在,为 FE

变式二:是否存在与向量OA长度相等,方向 相反的向量?

变式三:与向量OA长度相等的共线向量有哪些? CB、DO、FE

A B 1.判断下列命题是否正确,若不正确,请 简述理由. C D ? ???? ???? ①向量 AB 与 CD是共线向量,则A、B、C、D 四点必在一直线上; (× )

②单位向量都相等;

(× ) (× )

③共线的向量,若起点不同, 则终点一定不同.

2.下面几个命题:
(1)若a = b,b = c,则a = c.

(2)若|a|=0,则a = 0.
(3)若|a|=|b|,则a = b. (4)若A、B、C、D是平面上的四点,若AB=DC,则 四边形ABCD是平形四边形. 其中正确的个数是( A. 0 B. 1 C. 2 ) D. 3

??? ? 例2:在4 ? 5方格纸中有一个向量 AB,以图中 ??? ? 的格点为起点和终点作向量,其中与 AB相等的 ??? ? 向量有多少个?与 AB长度相等的共线向量有多少个? ?? ? (AB除外)

B

相等的有 7个

A

长度相等 的有15个

? ? ? ? ? 例3.在如图所示的向量 a ,b ,c ,d ,e
正方形的边长为1),是否存在: (1)共线向量? (3)相等向量?

中( 小

(2)相反向量? (4)模相等的向量?

若存在,分别写出这些向量.

? b

? a

? c

? d

? e

例4.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改 变方向按东北方向走了 10 2 米到达C点,到达C点 后又改变方向向西走了10米到达D点 (1)作出向量AB,BC,CD;
(2) 求AD的模
1m 北

D

C

西

A 南

B东

根据下列小题的条件,分别判断四边形ABCD 的形状: ???? ? ???? ? ???? ??? ? ??? ? ???? AB ? DC 且 AB ? AD (1)AD ? BC ; (2)
D

C

(1)四边形ABCD是平行四边形。
A D

B

C
(2)四边形ABCD是菱形。

A

B

小结:
定义 有向线段 表示 向量 向量的有关概念 字母表示 长度(模) 零向量 特殊向量 向量间 的关系 单位向量 平行(共线)

相等


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