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高中数学必修三知识点总结与例题精讲


一:随机事件的概率
(1) 必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件 (certain event) , 简称必然事件. ( 2 )不可能事件:在条件 S 下 , 一定不会发生的事件 , 叫相对于条件 S 的不可能事件 (impossible event),简称不可能事件. (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定

事件. (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件 (random event),简称随机事件;确定事件和随机事件统称为事件,用 A,B,C,?表示. (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验 中事件 A 出现的次数 na 为事件 A 出现的频数(frequency) ;称事件 A 出现的比例 fn(A)=

nA n

为事件 A 出现的频率(relative frequency);对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的 增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A),称为事件 A 的概 率(probability). (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值

nA ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这 n

种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件 发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率. 频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通 常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值. 频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同. 概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则 掷硬币出现正面朝上的概率就是 0.5,与做多少次实验无关. 例 1 为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法,先从水库中捕出一定数量的鱼,例 如 2 000 尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库 中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如 500 尾,查看其中有记号的鱼,设 有 40 尾. 试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数. 分析: 学生先思考,然后交流讨论,教师指导,这实际上是概率问题,即 2 000 尾鱼在水库中占 所有鱼的百分比,特别是 500 尾中带记号的有 40 尾,就说明捕出一定数量的鱼中带记号的概 率为

40 ,问题可解. 500 2000 . n
① ②

解: 设水库中鱼的尾数为 n,A={带有记号的鱼},则有 P(A)=

40 , 500 2000 40 ? 由①②得 ,解得 n≈25 000. n 500
因 P(A)≈ 所以估计水库中约有鱼 25 000 尾.

二:概率的意义 1、 概率是对随机事件发生的可能性的描述,概率越大随机事件发生的可能性越 大,概率越小随机事件发生的可能性就越小。对于高概率的事件也有可能不 会发生,低概率的事件也有可能会发生。 1 例如:1、如果某种彩票中奖的概率为 ,那么买 1 000 张彩票一定能中奖吗 1000
2、 “天气预报说昨天降水概率为 90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确 了.”学了概率后,你能给出解释吗? 答:1、不一定能中奖,因为买 1 000 张彩票相当于做 1 000 次试验,因为每次试验的结果 都是随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1 000 张彩票中可能没有一张中奖,也 可能有一张、两张乃至多张中奖. 2、 天气预报的“降水”是一个随机事件,因此,“昨天没有下雨”并不说明“昨天的 降水概率为 90%”的天气预报是错误的.

三:概率的基本性质
若 A、B 为随机事件,则 ①如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这时我们说事件 B 包含事件 A (或事件 A 包含于事件 B),记为 B ? A(或 A ? B),不可能事件记为 ? ,任何事件都包含不可能事件. ②如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,反之也成立, (若 B ? A 同时 A ? B) ,我们说这两个事 件相等,即 A=B. ③如果某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与 B 的并事件 (或 和事件),记为 A∪B 或 A+B. ④如果某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与 B 的交事件 (或 积事件),记为 A∩B 或 AB. ⑤如果 A∩B 为不可能事件(A∩B= ? ),那么称事件 A 与事件 B 互斥,即事件 A 与事件 B 在 任何一次试验中不会同时发生. ⑥如果 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件,即事件 A 与事件 B 在一次试验中有且仅有一个发生.

基本性质:
(1)概率的取值范围是 0—1 之间,即 0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率是 1.如在掷骰子试验中,E={出现的点数小于 7},因此 P(E)=1. (3)不可能事件的概率是 0,如在掷骰子试验中,F={出现的点数大于 6},因此 P(F)=0. (4)当事件 A 与事件 B 互斥时,A∪B 发生的频数等于事件 A 发生的频数与事件 B 发生的频 数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即 P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是 概率的加法公式.也称互斥事件的概率的加法公式. (5)事件 A 与事件 B 互为对立事件,A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,P(A∪B)=1.所以 1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).如在掷骰子试验中,事件 G={出现的点数为偶数 } 与 H={出现的点数为奇数}互为对立事件,因此 P(G)=1-P(H).

例题:
1.一口袋内装有大小一样的 4 只白球与 4 只黑球,从中一次任意摸出 2 只球.记摸出 2 只白球 为事件 A,摸出 1 只白球和 1 只黑球为事件 B.问事件 A 和 B 是否为互斥事件?是否为对立事 件? 解:事件 A 和 B 互斥,因为从中一次可以摸出 2 只黑球,所以事件 A 和 B 不是对立事件. 2.在一个盒子内放有 10 个大小相同的小球,其中有 7 个红球、2 个绿球、1 个黄球,从中任取 一个球,求:

(1)得到红球的概率; (2)得到绿球的概率; (3)得到红球或绿球的概率; (4)得到黄球的概率. (5)“得到红球”和“得到绿球”这两个事件 A、B 之间有什么关系,可以同时发生吗? (6) (3)中的事件 D“得到红球或者绿球”与事件 A、B 有何联系? 答案: (1)

1 7 9 1 (2) (3) (4) (5) 互斥事件 不可以 (6) P(D)=P(A)+P(B) 5 10 10 10

3.在一只袋子中装有 7 个红玻璃球,3 个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个. 试求: (1)取得两个红球的概率; (2)取得两个绿球的概率; (3)取得两个同颜色的球的概率; (4)至少取得一个红球的概率. 答案:(1)

7 15

(2)

1 15

(3)

8 15

(4)

14 15

4.盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只,试求下列事件 的概率: (1)取到的 2 只都是次品; (2)取到的 2 只中正品、次品各一只; (3)取到的 2 只中至少有一只正品. 解:从 6 只灯泡中有放回地任取两只,共有 36 种不同取法. (1)取到的 2 只都是次品情况为 4 种.因而所求概率为

4 1 ? . 36 9

(2)由于取到的 2 只中正品、次品各一只有两种可能:第一次取到正品,第二次取到次品;及 第一次取到次品,第二次取到正品.因而所求概率为 P=

4? 2 4 ?2 ? . 36 9

(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.因而所求 概率为 P= 1 ?

1 8 ? . 9 9

5.若 A 表示四件产品中至少有一件是废品的事件,B 表示废品不少于两件的事件,试问对立事 件 A 、 B 各表示什么? 解: A 表示四件产品中没有废品的事件; B 表示四件产品中没有废品或只有一件废品的事 件. 6.回答下列问题: (1)甲、乙两射手同时射击一目标,甲的命中率为 0.65,乙的命中率为 0.60,那么能否得出结论: 目标被命中的概率等于 0.65+0.60=1.25,为什么? (2)一射手命中靶的内圈的概率是 0.25,命中靶的其余部分的概率是 0.50,那么能否得出结论: 目标被命中的概率等于 0.25+0.50=0.75,为什么? (3)两人各掷一枚硬币,“同时出现正面”的概率可以算得为

1 .由于“不出现正面”是上述事件 22

的对立事件,所以它的概率等于 1 ?

1 3 ? ,这样做对吗?说明道理. 2 4 2

解:(1)不能.因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥. (2)能.因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件. (3)不对.因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件,故其概率和不为 1. 7.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别是 试求该市足球队夺得全省足球赛冠军的概率. 答案:

3 1 和 . 7 4

19 28

8.在房间里有 4 个人.问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少? 答案:

41 96

9.某单位 36 人的血型类别是:A 型 12 人,B 型 10 人,AB 型 8 人,O 型 6 人.现从这 36 人中任 选 2 人,求此 2 人血型不同的概率.

34 45 四:古典概型
答案: 1、基本事件 :随机事件的每一个可能结果,称为基本事件.例如:抛一枚硬币的基本事件 有,A=“正面朝上” ,B=“反面朝上” 。 ①任何两个基本事件是互斥的; ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

2、古典概率模型
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (有限性) ②每个基本事件出现的可能性相等.(等可能性) 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型 (classical models of probability) , 简称古典概型.

2、 古典概率模型的概率计算公式
古典概型计算:事件 A 的概率计算公式为: P(A)=

A所包含的基本事件的个 数 . 基本事件的总数
②要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.

注意点:①要判断该概率模型是不是古典概型; 例题:1、向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你
认为这是古典概型吗?为什么?

答:不是,因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点,而圆内的点的个数是无限的,所以

试验的所有可能结果数是无限的,虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”,但这个试验 不满足古典概型的第一个条件.

2、如下图,某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中 10 环、命
中 9 环??命中 5 环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么?

不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有 7 个,而命中 10 环、命中 9 环??命中 5 环和不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件

练习:
1.在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30 mm,从中任取一根,取到长度超过 30 mm 的纤维的概 率是( ) A.

30 40

B.

12 40

C.

12 30
12 . 40

D.以上都不对

解析:在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30 mm,即基本事件总数为 40,且它们是等可能发 生的,所求事件包含 12 个基本事件,故所求事件的概率为

答案:B 2.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是 ( ) A.

1 5

B.

1 4

C.

4 5

D.

1 10

解析: (方法 1)从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为 10,其中抽到合格铁钉(记为事件 A)包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 P(A)=

8 4 ? .(方法 2)本题还可以用对立事件 10 5

的概率公式求解,因为从盒中任取一个铁钉,取到合格品(记为事件 A)与取到不合格品(记 为事件 B)恰为对立事件,因此,P(A)=1-P(B)= 1 ?

2 4 ? . 10 5

答案:C 3.在大小相同的 5 个球中,2 个是红球,3 个是白球,若从中任取 2 个,则所取的 2 个球中至少有 一个红球的概率是_____________. 解析:记大小相同的 5 个球分别为红 1,红 2,白 1,白 2,白 3,则基本事件为: (红 1,红 2),(红 1,白 1),(红 1,白 2) , (红 1,白 3),(红 2,白 1),(红 2,白 2),(红 2,白 3),(白 1,白 2),?( 白 1,白 3),(白 2,白 3)共 10 个,其中至少有一个红球的事件包括 7 个基本事件,所以,所求事件的概率为

7 .本题还可以利用“对立事件的概率和为 1”来求解,对于求“至多”“至少”等事件的概率问题, 10
常采用间接法,即求其对立事件的概率 P(A),然后利用 P(A)=1-P(A)求解. 答案:

7 10

4.抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为 8 的概率.

解: 在抛掷 2 颗骰子的试验中,每颗骰子均可出现 1 点,2 点,…,6 点 6 种不同的结果,我们把两 颗骰子标上记号 1,2 以便区分,由于 1,2 号骰子分别有 6 种不同的结果,因此同时掷两颗骰子的 结果共有 6× 6=36 种,在所有结果中,向上的点数之和为 8 的结果有 (2,6) ( , 3,5) ( , 4,4) ( , 5,3) , (6,2)5 种,所以,所求事件的概率为

5 . 36

5.豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因记为 D,决定矮的基因记为 d,则 杂交所得第一子代的一对基因为 Dd,若第二子代的 D,d 基因的遗传是等可能的,求第二子代 为高茎的概率(只要有基因 D 则其就是高茎,只有两个基因全是 d 时,才显现矮茎). 解:由于第二子代的 D,d 基因的遗传是等可能的,可以将各种可能的遗传情形都枚举出来. Dd 与 Dd 的搭配方式共有 4 种:DD,Dd,dD,dd,其中只有第四种表现为矮茎,故第二子代为高 茎的概率为

3 =0.75. 4

答:第二子代为高茎的概率为 0.75.

五:几何概型:
1、几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成 比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称几 何概型. 2、 几何概型的基本特点: a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; b.每个基本事件出现的可能性相等. 3、几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度 (面积或体积 ) . 试验的全部结果所构成 的区域长度 (面积或体积 )

4、 古典概型和几何概型的联系与区别: 联系:两种概率模型的每个基本事件的发生都是等可能的; 区别: 古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率 计算公式的含义也不同. 例题: 例 1 判断下列试验中事件 A 发生的概率是古典概型,还是几何概型. (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域时,甲获 胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率. 解: (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的,因此属于古典 概型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率 可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.

点评: 本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概 型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.

例 2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于 10 分钟的概率.

分析:假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,但是 0~60 分钟 之间有无穷个时刻,所以不能用古典概型。因为电台每隔一小时报时一次,他在 0~60 之间 任何一个时刻打开收音机是等可能的, 所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段 的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的时间 A 恰好是打开收音机的时 刻位于[50,60]的时间段内,因此有 P(A)=(60-50)/60=1/6 变式训练 1、 某路公共汽车 5 分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于 3 分钟的 概率(假定车到来后每人都能上). 解: 可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为 a,则某人到站的一切可 能时刻为 Ω =(a,a+5),记 Ag={等车时间少于 3 分钟},则他到站的时刻只能为 g=(a+2,a+5)中 的任一时刻,故 P(Ag)=

g的长度 3 ? . ?的长度 5

点评:通过实例初步体会几何概型的意义. 2、 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一 点钻探,钻到油层面的概率是多少? 分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的,而 40 平方千米可看作 构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率. 解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)=0.004. 答:钻到油层面的概率是 0.004.

几种常见的几何概型:
1.与长度有关的几何概型 例 1 有一段长为 10 米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于 3 米,则符合要求的截 法的概率是多大? 分析:由于要求每一段都不小于 3 米,也就是说只能在距两端都为 3 米的中间的 4 米中截,这 是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题. 解:记两段木棍都不小于 3 米为事件 A,则 P(A)=

10 ? 3 ? 3 2 ? . 10 5

2.与面积有关的几何概型 这里有一道十分有趣的题目: 例 2 郭靖、 潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下: 在很远的地方有一 顶帐篷,可以看到里面有一张小方几 ,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几 边长的

3 ,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几 4

上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大?

分析: 这是一道几何概型问题,在几何概型中,样本空间是问题所涉及的整个几何图形,在本题 中,样本空间就是小方几的桌面面积.一个事件就是整个几何图形的一部分 ,这个事件发生的 概率就是这部分面积与整个图形的面积比. 解:不妨设小方几的边长为 1,铜板落到小方几上,也就是铜板的中心落到方几上,而要求整个 铜板落到小方几上,也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个 图),这时铜板中心到方几边缘的距离≥铜板边长的

1 1 × 的小正方形内(如上 4 4

3 .整个方几的面积为 1× 1=1,而中央小正 8 1 1 1 1 1 方形的面积为 × = ,所以郭靖进入下一轮比赛的概率为 16 ? . 4 4 16 1 16
例 3 甲、乙两人相约在上午 9:00 至 10:00 之间在某地见面,可是两人都只能在那里停留 5 分钟.问两人能够见面的概率有多大? 解:设甲到的时间为(9+x)小时,乙到的时间为(9+y)小时,则 0≤x≤1,0≤y≤1. 点(x,y)形成直角坐标系中的一个边长为 1 的正方形,以(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)为 顶点(如右图).由于两人都只能停留 5 分钟即

1 1 小时,所以在|x-y|≤ 时,两人才能会面. 12 12

1 1 1 是两条平行直线 x-y= 与 y-x= 之间的带状区域,正方形在这两个带状区域 12 12 12 1 1 11 2 是两个三角形,其面积之和为(1)× (1- )=( ). 12 12 12 23 11 2 23 23 从而带形区域在这个正方形内的面积为 1-( )= ,因此所求的概率为 144 ? . 12 144 1 144
由于|x-y|≤ 3.与体积有关的几何概型 例 4 在 5 升水中有一个病毒,现从中随机地取出 1 升水,含有病毒的概率是多大? 分析: 病毒在这 5 升水中的分布可以看作是随机的,取得的 1 升水可以看作构成事件的区域,5 升水可以看作是试验的所有结果构成的区域,因此可能用体积比公式计算其概率. 解:“取出 1 升水,其中含有病毒”这一事件记作事件 A,则 P(A)= 从而所求的概率为 0.2.

取出的水的体积 1 ? =0.2. 所有水的体积 5

现在我们将这个问题拓展一下: 例 5 在 5 升水中有两个病毒,现从中随机地取出 1 升水,含有病毒的概率是多大? 分析:此题目与上一题有一点区别,即现在在 5 升水中含有两个病毒,我们不妨将这两个病毒 分别记作病毒甲和病毒乙.随机地取 1 升水,由上题我们可知含有病毒甲的概率为 乙的概率也是

1 ,含有病毒 5

1 ,而这两种情况都包括了“既有病毒甲又有病毒乙”的情况,所以应当将这种情 5

况去掉. 解:记“取 1 升水,含有病毒甲”为事件 A;“取 1 升水,含有病毒乙”为事件 B,则“既含有病毒甲 又含有病毒乙”为事件 AB. 从而所求的概率为 P=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=

1 1 1 1 9 ? ? ? ? =0.36. 5 5 5 5 25

4.与角度有关的几何概型 例 6 在圆心角为 90° 的扇形中,以圆心为起点作射线 OC,求使得∠ AOC 和∠ BOC 都不小于 30° 的概率. 解:设事件 A 是“作射线 OC,求使得∠ AOC 和∠ BOC 都不小于 30°”.则 μa=90° -30° -30° =30° , 而 μΩ=90° ,由几何概型的计算公式得 P(A)=

? A 30? 1 ? ? . ? ? 90? 3

注意:在高中数学阶段,我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点 掌握.这里只是列出了几道与几何概型有关的题目 ,可以说,在高中数学学习阶段,这四种几何 概率模型基本上包括了我们所要学习的几何概型,希望能对大家有一点帮助.


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