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直线与直线方程经典例题


必修 2 第二章 解析几何初步
第一节:直线与直线方程(王建明)
一、直线的倾斜角和斜率 (1)倾斜角定义:平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l, 把__x 轴(正方向)_按__逆时针__方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角, 叫作直线 l 的倾斜角。 (0°≤α <180°) (2)斜率 k=tan ? =

y 2 ? y1 x2 ? x1

(0°≤ ? <180°) ,当 ? =90 时,k 不存在。 (两种求法,注意 x1 ? x 2 的

情况) (3)函数 y=tanx 在 [0,900 ) 增加的,在 (900 ,1800 ) 也是增加的。 例 1:过点 M(-2,m),N (m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为 。 2 2 2 例 2:过两点 A(m +2,m -3),B(3-m-m ,2m)的直线 l 的倾斜角为 45°求 m 的值。 例 3:已知直线 l 经过点 P(1,1) ,且与线段 MN 相交,又 M(2,-3) ,N(-3,-2) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围。 例 4:已知 a>0,若平面内三点 A(1,—a) ,B(2,a2),C(3,a3)共线,则 a 值为 。 练习:
1 1 经过点 P(2,m)和 Q(2m,5)的直线的斜率等于 ,则 m 的值是( B 2 A.4 B.3 C.1 或 3 D.1 或 4 )

变: 求经过点 A(?2, sin ? ), B(? cos? ,1)的直线l的斜率 k 的取值范围

2. 已知直线 l 过 P(-1,2),且与以 A(-2,-3)、B(3,0)为端点的线段相交,求直线 l 的斜率的取值范 围.
1 点评:要用运动的观点,研究斜率与倾斜角之间的关系!答案: ?-∞,-2?∪[5,+∞) ? ? ? ?

3.已知坐标平面内三点 A(-1,1),B(1,1),C(2, 3+1),若 D 为△ABC 的边 AB 上一动点,求直线 CD 斜率 k 的变化范围.
1 答案:?-∞,-2?∪[5,+∞) ? ? 二、两直线的平行与垂直 1.平行的判定: 2. 垂直的判定:

例(1)l1 经过点 M(-1,0), N (-5,-2),l2 经过点 R(-4,3) ,S(0,5) 1 与 l2 是否平行? ,l (2)l1 经过点 A(m,1), B (-3,4), )l2 经过点 C(1,m), D (-1, m+1),确定 m 的值,使 l1//l2。

练习:

1. 已知直线l1 : x ? 2ay ? 1 ? 0与直线l2 : (3a ? 1) x ? ay ? 1 ? 0平行,求实数 的值 a 2. 已知直线l1 : (a ? 2) x ? 3ay ? 1 ? 0与直线l2 : (a ? 2) x ? (a ? 2) y ? 3 ? 0平行,求实数 的值 a

例(1) l1 的倾斜角为 45,l2 经过点 P(-2,-1) ,Q(3,-6). 例(2)已知点 M(2,2)和 N(5,-2) ,点 P 在 x 轴上,且∠MPN 为直角,求点 P 的坐标。

练习:
1.求 a 为何值时,直线 l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0 与直线 l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0 互相垂直? 答案:a=-1 2.求过点 P(1,-1),且与直线 l2:2x+3y+1=0 垂直的直线方程. 答案:3x-2y-5=0. 三、直线的方程 1、点斜式: y-y0=k(x-x0) (斜率存在,可为 0) 1、 斜截式: y=kx+b (b 是与 y 轴的交点) (斜率存在,可为 0) 2、 两点式:

y ? y1 x ? x1 = y 2 ? y1 x2 ? x1

(斜率存在,不能为 0)

3、 一般式:Ax+By+C=0 4、 截距式: 典型例题

(任意直线)

x y + =1 (斜率存在且不过原点且不为 0) a b

例1.下面四种种法中正确的    ( ) A. 经经过定P 0 (x 0, y 0 )的直线直线都可以用 -y 0=k(x-x 0 )表示 y B. 经经过任意两个不同 1 (x1, y1 )、 P2 (x 2, y 2 )的直线直线都可以 P 程(y-y1 )(x2-x 1 )=(x-x 1 )(y2-y1 )表示 C.不 经不经过原点的直 可以用方程ax ? by ? 1表表 D. 经经过定A(0 b)的直线直线都可以用 =kx+b表示 , y
例 2.求过定点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 例 3.已知△ABC 的顶点 A(1,-1),线段 BC 的中点为 D(3,

3 ). 2

(1)求 BC 边上的中线所在直线的方程; (2)若边 BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是 9,求 BC 所在直线的方程. 例 4.方程(m -2m-3)x+(2m +m-1)y=2m-6 满足下列条件,请根据条件分别确定实数 m 的值. (1)方程能够表示一条直线; (答案:m ? ?1 ) (2)方程表示一条斜率为-1 的直线. (答案:m ? ?2 ) 例 5.直线 l 的方程为(a-2)y=(3a-1)x-1(a∈R). 1 3 (1)求证:直线 l 必过定点; (答案:( , )) 5 5 (2)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (答案:5x+5y-4=0) (3)若直线 l 不过第二象限,求实数 a 的取值范围. (答案:分斜率存在与不存在) 练习: 1.若直线 7x+2y-m=0 在两坐标轴上的截距之差等于 5,则 m=( ) A.14 B.-14 C.0 D.14 或-14 2、直线过点(3,2) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。 3、经过点 A(-1,8) ,B(4,-2)的直线方程。 4、已知 A(1,2), B(3,1) ,求线段 AB 的垂直平分线方程。 5、一条光线从点 P(6,4)射出,与 x 轴相交于点 Q(2,0)经 x 轴反射,求入射光线和反射光线所在的直线方程。 四、直线的交点坐标与距离公式 1、求两条直线的交点(联立方程组)
2 2

例(1)若三条直线:2x+3y+8=0,x-y-1=0 和 x+ky+k+

1 =0 相交于一点,则 k= 2

(2)已知直线 l1:x+y+2=0,

l2:2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线 3x+y-1=0 平行的直线 l 的方程。

2、 两点间的距离公式︱P1P2︱=

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

例(1)已知点 A(a,-5)与 B(0,10)间的距离是 17,求 a 的值。

例(2)已知点 A(-1,2) ,B(2, 7 ) ,在 x 轴上求一点 P,使︱PA︱=︱PB ︱,并求的 ︱PA︱值。 例.直线 l 的方程为(a-2)y=(3a-1)x-1(a∈R). 1 3 (1)求证:直线 l 必过定点; (答案:( , )) 5 5 (2)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (答案:5x+5y-4=0) (3)若直线 l 不过第二象限,求实数 a 的取值范围. (答案:分斜率存在与不存在) 五、点到直线的距离

例 1:求点 A(-2,3)到直线 l:3x+4y+3=0 的距离 d= 。 例 2:已知点(a,2)到直线 l: x-y+1=0 的距离为 2,则 a= 。 (a<0) 例 3:求直线 y=2x+3 关于直线 l: y=x+1 对称的直线方程。 练习: 1.已知△ABC 中,A(-2,1),B(3,-3),C(2,6),试判断△ABC 的形状 2.求过点 M(-2,1)且与 A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线方程. 3.已知点 A(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 等于( ) A. 2 B.2- 2 C. 2-1 D. 2+1 4.已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC 的面积.

六、两平行直线间的距离

例 1:求平行直线 l1:2x-7y-8=0 与 l2:6x-21y-1=0 的距离 例 2:已知直线 l1: (t+2)x+(1-t)y=1 与 l2: (t-1)x+(2t+3)y+2=0 相互垂直,求 t 的值。 例 3:求点 A(2,2)关于直线 2x-4y+9=0 的对称点坐标。 练习:

1. 两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(-3,-1),如果两条平行直线间的距离为 d, 求:(1)d 的变化范围;(2)当 d 取最大值时,两条直线的方程. 2.求与直线 l:5x-12y+6=0 平行,且到 l 的距离为 2 的直线的方程.


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