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【步步高】2015届高考数学总复习 第六章 6.1数列的概念及简单表示法课件 理 北师大版


数学

北(理)

§6.1 数列的概念及简单表示法
第六章 数 列

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.数列的定义 按 一定次序排列的一列数叫作数列, 数列中的每一个数 叫作这个数列的 项 . 2.数列的分类 分类原则 类型 有穷数列 无穷数列 满足条件 项数有限 项数 无限

按项数分类

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

按项与项间 递增数列 的大小关系 递减数列 分类 常数列 有界数列 按其他 标准分类

an+1 an+1

> an

< an

其中 n ∈ N+

an+1=an

存在正数 M,使|an|≤M 从第二项起,有些项大于

摆动数列 它的前一项,有些项小于 它的前一项的数列

基础知识·自主学习
要点梳理
3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法 、图像法 和 解析法 . 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与 序号n 之间的函数关系可以用一个式 子表示成 an=f(n),那么这个式子叫作这个数列的通项公式. ? ?n=1? ? S1 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn,则 an=? S -S . ? -1 ? n ≥ 2 ? n n ?
知识回顾 理清教材

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2)√ (3)× (4) √(5)√ (6)√

解析

A A
(-2)n-1
an= 3n-2

题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 写出下面各数列的一 个通项公式: (1)3,5,7,9,…; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,…; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)-1, , - ,, - ,, …; 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333,….

题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 写出下面各数列的一 个通项公式: (1)3,5,7,9,…; 出其通项公式,要注意项与项 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,…; 2 4 8 16 32 数之间的关系,项与前后项之 3 1 3 1 3 (3)-1, , - ,, - ,, …; 2 3 4 5 6 间的关系. (4)3,33,333,3 333,….
先观察各项的特点,然后归纳

题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 写出下面各数列的一 个通项公式:



(1)各项减去 1 后为正偶数,

所以 an=2n+1.

(1)3,5,7,9,…; (2)每一项的分子比分母少 1,而 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,…; 分母组成数列 21,22,23,24,…, 2 4 8 16 32 n 2 -1 3 1 3 1 3 (3)-1, , - ,, - ,, …; 所以 an= 2n . 2 3 4 5 6
(3)奇数项为负,偶数项为正,故 通项公式中含因子(-1)n;

(4)3,33,333,3 333,….

各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,…;

题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 写出下面各数列的一 个通项公式:

而各 项绝对值 的分子组成 的数列 中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇

(1)3,5,7,9,…; 数项为 2-1,偶数项为 2+1, n 1 3 7 15 31 2 + ? - 1 ? n (2) , , , , ,…; 所以 a = ( - 1) · . n 2 4 8 16 32 n 3 1 3 1 3 (3)-1, , - ,, - ,, …; 也可写为 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333,….
? 1 ?-n,n为正奇数, an=? ?3,n为正偶数. ?n

题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 写出下面各数列的一 个通项公式:

(1)3,5,7,9,…; 1 3 7 15 31 2 3 4 别 是 10 - 1,10 - 1,10 - 1,10 - (2) , , , , ,…; 2 4 8 16 32 1,…, 3 1 3 1 3 (3)-1, , - ,, - ,, …; 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333,….
1 n 所以 an=3(10 -1).

9 99 999 (4)将数列各项改写为 , , , 3 3 3 9 999 ,…,分母都是 3,而分子分 3

题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 写出下面各数列的一 个通项公式:

根据所给数列的前几项求其通项

时,需仔细观察分析,抓住其几 (1)3,5,7,9,…; 1 3 7 15 31 方面的特征:分式中分子、分母 (2) , , , , ,…; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 的各自特征; 相邻项的联系特征; (3)-1, , - ,, - ,, …; 2 3 4 5 6 拆项后的各部分特征; 符号特征, (4)3,33,333,3 333,…. 应多进行对比、分析,从整体到 局部多角度观察、归纳、联想.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)数列-1,7,-13,19,…的一个通项公式是 an=
n ( - 1) · (6n-5) ________________.

3 7 9 (2)数列{an}的前 4 项是 ,1, , ,则这个数列的一个通项公 2 10 17 2n+1 式是 an=________. n 2 +1
解析 (1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n 1 表示, 其各项的绝对值的


排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大 6,故通项 公式为 an=(-1)n(6n-5).

2×1+1 2×2+1 2×3+1 (2) 数列 {an} 的前 4 项可变形为 2 , 2 , 2 , 1 +1 2 +1 3 +1 2×4+1 2n+1 ,故 an= 2 . 42+1 n +1

题型分类·深度剖析
题型二 由数列的前n项和Sn求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【 例 2】

已知下面数列 {an}

的前 n 项和 Sn,求{an}的通 项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b.

题型分类·深度剖析
题型二 由数列的前n项和Sn求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【 例 2】

已知下面数列 {an}
当 n=1 时,由 a1=S1,求 a1;
当 n≥2 时,由 an=Sn-Sn-1 消去 Sn,得 an+1 与 an 的关系.转化成 由递推关系求通项.

的前 n 项和 Sn,求{an}的通 项公式: (1)Sn=2n -3n; (2)Sn=3 +b.
n 2

题型分类·深度剖析
题型二 由数列的前n项和Sn求数列的通项
思维启迪 解析

思维升华

【 例 2】

已知下面数列 {an}



(1)a1=S1=2-3=-1,

的前 n 项和 Sn,求{an}的通 项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3 +b.
n

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1

=(2n2-3n)-[ 2(n-1)2-3(n-1)] =4n-5,
由于 a1 也适合此等式,

∴an=4n-5.

(2)a1=S1=3+b,
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1
=(3n+b)-(3n 1+b)=2· 3n 1.
- -

题型分类·深度剖析
题型二 由数列的前n项和Sn求数列的通项
思维启迪 解析

思维升华

【 例 2】

已知下面数列 {an}
当 b=-1 时,a1 适合此等式.

的前 n 项和 Sn,求{an}的通 项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b.

当 b≠-1 时,a1 不适合此等式.
∴当 b=-1 时,an=2· 3n 1;


当 b≠-1 时,
? ?3+b, an=? n-1 ? 3 , ?2·

n=1, n≥2.

题型分类·深度剖析
题型二 由数列的前n项和Sn求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【 例 2】

已知下面数列 {an}

的前 n 项和 Sn,求{an}的通 项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b.

数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的 ?S ,n=1, ? 1 关系是 an = ? ? ?Sn-Sn-1,n≥2. 当 n=1 时, a1 若适合 Sn-Sn-1, 则 n=1 的情况可并入 n≥2 时 的通项 an;当 n=1 时,a1 若不 适合 Sn-Sn-1, 则用分段函数的 形式表示.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n+1,则
?2,n=1 ? an=? ? ?6n-5,n≥2

其通项公式为___________________.
解析 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1+1=2;

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[ 3(n-1)2-2(n-1) +1] =6n-5,显然当 n=1 时,不满足上式.
故数列的通项公式为
?2,n=1, ? an=? ? ?6n-5,n≥2.

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an= _____________. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =____________. (3) 在数列 {an} 中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a .则{an}的通项 3 n 公式为____________.

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an= _____________. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =____________. (3) 在数列 {an} 中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a .则{an}的通项 3 n 公式为____________.

观察递推式的特点,可以利 用累加 ( 乘 ) 或迭代法求通项 公式.

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an= _____________. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =____________. (3) 在数列 {an} 中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a .则{an}的通项 3 n 公式为____________.

(1)由题意得,当 n≥2 时,
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+ (an-an-1) =2+(2+3+…+n) ?n-1??2+n? n?n+1? =2+ = 2 +1. 2 1×?1+1? 又 a1=2= +1,符合 2
上式,

n?n+1? 因此 an= +1. 2

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an= _____________. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =____________. (3) 在数列 {an} 中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a .则{an}的通项 3 n 公式为____________.

(2)方法一

(累乘法)

an+1=3an+2,即 an+1+1=3(an+1),

an+1+1 即 =3, an+1 a2+1 a3+1 所以 =3, =3, a1+1 a2+1 a4+1 an+1+1 =3,…, =3. a3+1 an+1
将这些等式两边分别相乘得 an+1+1 =3n. a1+1

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an= _____________. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =____________. (3) 在数列 {an} 中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a .则{an}的通项 3 n 公式为____________.

an+1+1 因为 a1=1,所以 =3n, 1+1

即 an+1=2×3n-1(n≥1),
所以 an=2×3n-1-1(n≥2),

又 a1=1 也满足上式, 故数列{an}的一个通项公式为 an=2×3n-1-1.

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an= _____________. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =____________. (3) 在数列 {an} 中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a .则{an}的通项 3 n 公式为____________.

方法二 (迭代法) an+1=3an+2,
即 an+1+1=3(an+1)=32(an-1+1) =33(an-2+1)

=…=3n(a1+1)=2×3n(n≥1),
所以 an=2×3n-1-1(n≥2),

又 a1=1 也满足上式,
故数列{an}的一个通项公式为 an=2×3n-1-1.

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an= _____________. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =____________. (3) 在数列 {an} 中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a .则{an}的通项 3 n 公式为____________.

(3)由题设知,a1=1.
当 n>1 时,an=Sn-Sn-1 n+2 n+1 = a- a . 3 n 3 n-1 an n+1 ∴ = . an-1 n-1

a n n +1 a4 5 ∴ = ,…,a =3, an-1 n-1 3

a3 4 a2 a2=2,a1=3.

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an= _____________. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =____________. (3) 在数列 {an} 中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a .则{an}的通项 3 n 公式为____________.

以上 n-1 个式子的等号两端分 an n?n+1? 别相乘,得到 = , a1 2

又∵a1=1,

n?n+1? ∴an= 2 .

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an= n?n+1? +1 _____________. 2 (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an

以上 n-1 个式子的等号两端分 an n?n+1? 别相乘,得到 = , a1 2

2×3 -1 =____________.
(3) 在数列 {an} 中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a .则{an}的通项 3 n n?n+1? an= 2 公式为____________.

n-1

又∵a1=1,

n?n+1? ∴an= . 2

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an= n?n+1? +1 _____________. 2 (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an

已知数列的递推关系,求数列的 通项时,通常用累加、累乘、构 造法求解. 当出现 an=an-1+m 时,构造等差 数列; 当出现 an=xan-1+y 时, 构造等比 数列;

2×3 -1 =____________.
(3) 在数列 {an} 中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a .则{an}的通项 3 n n?n+1? an= 2 . 公式为____________

n-1

当出现 an=an-1+f(n)时,用累加 法求解; an 当出现 =f(n) 时,用累乘法求 an-1
解.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 1 an=________. n 等于 A.-16 n- 1 (1)已知数列{an}满足 a1=1,an= n an-1(n≥2),则

(2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1(n∈N+),则 a5 ( B ) B.16 C.31 D.32 n-2 1 n-1 解析 (1)∵an= n an-1 (n≥2), ∴an-1=n-1an-2,…,a2=2a1. n-1 a1 1 12 以上(n-1)个式子相乘得 an=a1· …· n = n =n. 2· 3· (2)当 n=1 时,S1=2a1-1,∴a1=1.
当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-1,∴an=2an-2an-1,

∴an=2an-1.∴{an}是等比数列且 a1=1,q=2,
故 a5=a1×q4=24=16.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列9
(1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
思想与方法系列9
(1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)求使 an<0 的 n 值;从二次函数看 an 的最小值.
(2)数列是一类特殊函数,通项公式可以看作相应的解析式 f(n)=n2+kn +4.f(n)在 N+上单调递增,但自变量不连续.从二次函数的对称轴研究 单调性.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列9
(1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}.

思 维 启 迪


规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)①由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4.

∵n∈N+,∴n=2,3.

∴数列中有两项是负数,即为 a2,a3. ②∵an=n
2

4分

? 5?2 9 -5n+4=?n-2? -4的对称轴方程为 ? ?

5 n=2.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列9
(1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}.

思 维 启 迪
又 n∈N+,

规 范 解 答

温 馨 提 醒

∴当 n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=-2.

8分

(2)由 an+1>an 知该数列是一个递增数列,又因为通项公式 an=n2+kn+4,可 以看作是关于 n 的二次函数,考虑到 n∈N+, k 3 所以-2<2,即得 k>-3.

12分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列9
(1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集 N+上的 二次函数,因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性,得到实 数 k 的取值范围,使问题得到解决.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列9
(1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(2)在利用二次函数的观点解决该题时,一定要注意二次函数对称轴位 置的选取.
(3)易错分析: 本题易错答案为 k>-2.原因是忽略了数列作为函数的特殊 性,即自变量是正整数.

思想方法·感悟提高
1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错 数列一般用(-1)n 或(-1)n+1 来区分奇偶项的符 号);已知数列中的递推关系,一般只要求写出 数列的前几项,若求通项可用归纳、猜想和转 化的方法.
? ?S1 Sn 的关系:an=? ? ?Sn-Sn-1

方 法 与 技 巧

2.强调 an 与

?n=1? . ?n≥2?

3.已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高, 但试题难度较难把握.一般有两种常见思路: (1)算出前几项,再归纳、猜想; (2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式.

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1.数列是一种特殊的函数,在利用函数观点研究数列 时,一定要注意自变量的取值,如数列 an=f(n)和函 数 y=f(x)的单调性是不同的.

2.数列的通项公式不一定唯一.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

1.数列 0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是 an 等于 ?-1?n+1 A. 2 n+1 C.cos π 2 ( D ) nπ B.cos 2 n+2 D.cos π 2

解析

令 n=1,2,3,…逐一验证四个选项,易得 D 正确.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6 等于 A.3×44
解析

( A ) B.3×44+1 C.45 D.45+1

当 n≥1 时,an+1=3Sn,则 an+2=3Sn+1,

∴an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即 an+2=4an+1,

∴该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列.

? ?1?n=1?, a2=3S1=3a1=3,∴an=? n-2 ? 3 × 4 ?n≥2?. ?


∴当 n=6 时,a6=3×46 2=3×44.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

3.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+…+ a10 等于 A.15 B.12 C.-12 D.-15 ( A )

解析 由题意知,a1+a2+…+a10

=-1+4-7+10+…+(-1)10×(3×10-2)
=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9× (3× 9-2)+(-1)10× (3× 10-2)]

=3×5=15.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

4 n-1 2 n-1 4.已知数列{an}的通项公式为 an=( ) -( ) ,则数列{an}( C ) 9 3 A.有最大项,没有最小项 B.有最小项,没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项

4 n-1 2 n-1 解析 ∵数列{an}的通项公式为 an=(9) -(3) , 12 1 2 n-1 2 令 t=(3) ,t∈(0,1],t 是减函数, 则 an=t -t=(t-2) -4, 由复合函数单调性知 an 先递增后递减.
故有最大项和最小项,选 C.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

n 1 5.若 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn= ,则 等于 ( D ) a5 n+ 1 5 6 1 A. B. C. D.30 6 5 30

解析 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1
n-1 n 1 = - = , n n+1 n?n+1?
1 所以a =5×6=30. 5

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

n2 7 6.已知数列{ 2 },则 0.98 是它的第________ 项. n +1

解析

n2 49 =0.98= ,∴n=7. 50 n2+1

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

7 .数列 {an} 中, a1 = 1 ,对于所有的 n≥2, n∈N+ ,都有
61 a1· a2 · a3· …· an=n ,则 a3+a5=________. 16
2

解析 由题意知:a1· a2· a3· …· an-1=(n-1)2,
n 2 ∴an=( ) (n≥2), n-1
3 2 5 2 61 ∴a3+a5=( ) +( ) = . 2 4 16

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

8.已知{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N+,an=n2+λn 恒成 立,则实数 λ 的取值范围是_____________.

解析 方法一 (定义法) 因为{an}是递增数列,所以对任意的 n∈N+,都有 an+1>an, 即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整理,得
2n+1+λ>0,即 λ>-(2n+1). (*)

因为 n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只 需 λ>-3.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

8.已知{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N+,an=n2+λn 恒成

(-3,+∞) . 立,则实数 λ 的取值范围是_____________
方法二 (函数法)
2

λ 设 f(n)=an=n +λn,其图像的对称轴为直线 n=- , 2 要使数列{an}为递增数列, 只需使定义在正整数上的函数 f(n) 为增函数,
故只需满足 f(1)<f(2),即 λ>-3.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

9.数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数?

解 (1)当 n=4 时,a4=42-4×7+6=-6. (2)令 an=150,即 n2-7n+6=150, 解得 n=16 或 n=-9(舍去), 即 150 是这个数列的第 16 项.
(3)令 an=n2-7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍).
故数列从第 7 项起各项都是正数.

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

9n?n+1? 10.已知数列{an}的通项公式为 an= ,试判断此数列是 10n 否有最大项?若有,第几项最大,最大项是多少?若没有, 说明理由.
9n+1?n+2? 9n?n+1? 9n 8-n 解 an+1-an= - = n· , n n+1 10 10 10 10 当 n<8 时,an+1-an>0,即 an+1>an;
当 n=8 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>8 时,an+1-an<0,即 an+1<an.
98×9 99 故数列{an}有最大项,为第 8 项和第 9 项,且 a8=a9= 108 =108.

则 a1<a2<a3<…<a8=a9>a10>a11>…,

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1.跳格游戏:如图,人从格子外只能进入第 1 个格子,在格子 中每次可向前跳 1 格或 2 格,那么人从格子外跳到第 8 个格 子的方法种数为 ( )

A.8 种

B.13 种

C.21 种

D.34 种

解析 设跳到第 n 个格子的方法种数有 an,则到达第 n 个格 子的方法有两类: ①向前跳 1 格到达第 n 个格子,方法种数为 an-1;
②向前跳 2 格到达第 n 个格子,方法种数为 an-2, 则 an=an-1+an-2,

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1.跳格游戏:如图,人从格子外只能进入第 1 个格子,在格子 中每次可向前跳 1 格或 2 格,那么人从格子外跳到第 8 个格 子的方法种数为 ( C )

A.8 种

B.13 种

C.21 种

D.34 种

由数列的递推关系得到数列的前 8 项分别是 1,1,2,3,5,8,13,21. ∴跳到第 8 个格子的方法种数是 21.故选 C.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1 2.数列{an}满足 an+an+1= (n∈N+),a2=2,Sn 是数列{an}的 2 前 n 项和,则 S21 为 7 A.5 B. 2 ( B ) 9 C. 2 13 D. 2

1 解析 ∵an+an+1=2(n∈N+), 1 1 1 ∴a1=2-a2=2-2,a2=2,a3=2-2,a4=2,…, 1 故 a2n=2,a2n-1=2-2.
1 1 7 ∴S21=10×2+a1=5+2-2=2.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

2n 3.若数列{n(n+4)( ) }中的最大项是第 k 项,则 k=______. 4 3
? ?k?k+4??2?k≥?k+1??k+5??2?k+1 3 3 ? 由题意得? 2k 2 k -1 ? k?k+4?? ? ≥?k-1??k+3?? ? ? 3 3 ?

解析



?k2≥10 ? 所以? 2 ? ?k -2k-9≤0

,由 k∈N+可得 k=4.

练出高分
1

B组
2

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3 4 5

4.已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}满足 bn= 2 ,且前 n 项和为 Tn,设 cn=T2n+1-Tn. an+1 (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性.



(1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2).

?2 ?3?n=1? ∴bn=? ?1?n≥2? ?n

.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

4.已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}满足 bn= 2 ,且前 n 项和为 Tn,设 cn=T2n+1-Tn. an+1 (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性.
1 1 1 (2)∵cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1= + +…+ , n + 1 n+ 2 2n+1 1 1 1 ∴cn+1-cn= + - 2n+2 2n+3 n+1

-1 1 1 = - = <0, 2n+3 2n+2 ?2n+3??2n+2?
∴{cn}是递减数列.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N+. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an,n∈N+,求 a 的取值范围.

解 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n, 即 Sn+1=2Sn+3n, 由此得 Sn+1-3n 1=2(Sn-3n).


即 bn+1=2bn,又 b1=S1-3=a-3,
因此,所求通项公式为 bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N+.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N+. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an,n∈N+,求 a 的取值范围.

(2)由(1)知 Sn=3n+(a-3)2n 1,n∈N+, 于是,当 n≥2 时, - - - an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n 1-3n 1-(a-3)2n 2


=2×3n 1+(a-3)2n 2, 3 n-2 n-1 n-2 n-2 an+1-an=4×3 +(a-3)2 =2 [12(2) +a-3],
- -

3 n-2 当 n≥2 时,an+1≥an?12(2) +a-3≥0?a≥-9.

又 a2=a1+3>a1.

综上,所求的 a 的取值范围是[-9,+∞).


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