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《备战2014数学高考》2014


2014 届高三数学复习精练试题选

6-4 数列的综合问题与数列的应用
【基础巩固强化】 1.(2012· 杭州第一次质检)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a6+a7>0 是 S9≥S3 则 的( ) A.充分但不必要条件 C.充要条件 [答案] [解析] A ∵S9≥S3? 4+a5+a6+a7+a8+a9≥0? 6+a7)≥0

? 6+a7≥0,∴a6+ a 3(a a B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a7>0?a6+a7≥0,但 a6+a7≥0?/ a6+a7>0,故选 A. 2.(2011· 淄博模拟)已知{an}是递增数列,且对任意 n∈N*都有 an=n2+λn 恒 成立,则实数 λ 的取值范围是( 7 A.(-2,+∞) C.[-2,+∞) [答案] C [解析] λ 2 λ2 an=n +λn=(n+ ) - , 2 4
2

) B.(0,+∞) D.(-3,+∞)

∵对任意 n∈N*,an+1>an, λ ∴-2≤1,∴λ≥-2,故选 C. 1 3.(文)设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f ′(x)=2x+1,则数列{f?n}(n∈N*)的前 n ? 项和是( n A.n+1 n C.n-1 [答案] A ) n+2 B.n+1 n+1 D. n

[解析] f ′(x)=mxm-1+a=2x+1,∴a=1,m=2, 1 1 1 1 ∴f(x)=x(x+1),f?n=n?n+1?=n-n+1, ?
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2014 届高三数学复习精练试题选

1 ? 1? ?1 1? n ?1 ? ∴Sn=?1-2?+?2-3?+…+?n-n+1?=n+1. ? ? ? ? ? ? (理)(2011· 北京西城期末)已知各项均不为零的数列{an},定义向量 cn=(an, an+1),bn=(n,n+1),n∈N*.则下列命题中为真命题的是( )

A.若对于任意 n∈N*总有 cn∥bn 成立,则数列{an}是等差数列 B.若对于任意 n∈N*总有 cn∥bn 成立,则数列{an}是等比数列 C.若对于任意 n∈N*总有 cn⊥bn 成立,则数列{an}是等差数列 D.若对于任意 n∈N*总有 cn⊥bn 成立,则数列{an}是等比数列 [答案] [解析]
+2

A an an+1 an+2 若对任意 n∈N*,有 cn∥bn,则 n =n+1=n+2,所以 an+1-an=an

-an+1,即 2an+1=an+an+2,所以数列{an}为等差数列. 4.(文)(2011· 山西运城教学检测)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,过点 P(n,

Sn)和 Q(n+1,Sn+1)(n∈N*)的直线的斜率为 3n-2,则 a2+a4+a5+a9 的值等于 ( ) A.52 C.26 [答案] [解析] B Sn+1-Sn 由题意得 ?n+1?-n =3n-2, n+1-Sn=3n-2, an+1=3n-2, n ∴S 即 ∴a B.40 D.20

=3n-5,因此数列{an}是等差数列,a5=10,而 a2+a4+a5+a9=2(a3+a7)=4a5 =40,故选 B. 7 (理)两个正数 a、b 的等差中项是2,一个等比中项是 2 3,且 a<b,则双曲线 x2 y2 a2-b2=1 的离心率 e 等于( 3 A.4 5 C.4 [答案] [解析] D ∵a+b=7,a· b=12,b>a>0,
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) 15 B. 2 5 D.3

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a2+b2 5 c ∴a=3,b=4.∴e=a= a =3. sinA 2cosC+cosA 5.(2011· 江西新余四中期末)在△ ABC 中,cosA= 2sinC-sinA 是角 A、B、C 成等差数列的( ) B.充要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分非必要条件 C.必要非充分条件 [答案] [解析] A

sinA 2cosC+cosA 2 2 cosA = 2sinC-sinA ?2sinAsinC-sin A=2cosAcosC+cos A?2cos(A

1 π +C)+1=0?cosB=2?B=3?A+C=2B?A、B、C 成等差数列.但当 A、B、C sinA 2cosC+cosA π π π 成等差数列时,cosA= 2sinC-sinA 不一定成立,如 A=2、B=3、C=6.故是充分 非必要条件.故选 A. 2 6.(2012· 东北三省四市第三次联考)设数列{an}满足 a1=2,an+1=1-a +1, n 记数列{an}的前 n 项之积为 Tn,则 T2010 的值为( A.1 1 C.3 [答案] [解析] D 2 1 2 1 2 ∵a1=2, 2=1-2+1=3, 3=1-1 a a =-2, 4=1- 1 a =-3, -2+1 3+1 B.2 2 D.3 )

2 a5=1--3+1=2. 1 1 ∴an+4=an,∴{an}是以 4 为周期的数列,T4=2× × 2)× 3 (- (-3)=1.∴T2010= 2 T2008× 2009× 2010=3,故选 D. a a 7.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是( )

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A.8 [答案] [解析] D

B.9

C.10

D.11

由程序框图可知,S=1+2+22+…+2k=2k+1-1,由 S<2014 得,

2k+1<2015,∴k≤9. ∵1+2+22+…+29=1023, ∴S 的值加上 29 后,变为 S=1023<2014,此时 k 的值增加 1 变为 k=10, 再执行一次循环体后, S=1023+210=2047,k=10+1=11,此时不满足 S<2014,输出 k 的值 11 后 结束. [点评] 这是最容易出错的地方,解这类题时,既要考虑等比数列求和,在 k

取何值时,恰满足 S≥2014,又要顾及 S 与 k 的赋值语句的先后顺序. 8.(文)已知数列{an}的通项公式为 an=2n(n∈N*),把数列{an}的各项排列成 如图所示的三角形数阵: 2 22 24 27 28 25 29 …… 记 M(s, t)表示该数阵中第 s 行的第 t 个数, M(11,2)对应的数是________(用 则 2n 的形式表示,n∈N).
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23 26 210

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[答案] [解析] +…+m= 第

257 由数阵的排列规律知, m 行的最后一个数是数列{an}的第 1+2+3 第 m?m+1? 2 项,且该行有 m 项,由此可知第 11 行的第 2 个数是数列{an}的

10× 11 57 2 +2=57 项,对应的数是 2 . (理)若数列{an}满足a 1
n+1

1 -a =d(n∈N*,d 为常数),则称数列{an}为调和数
n

1 列.已知数列{x }为调和数列,且 x1+x2+…+x20=200,则 x5+x16=________.
n

[答案] [解析]

20 1 1 由题意,若{an}为调和数列,则{a }为等差数列,∵{x }为调和数列,
n n

∴数列{xn}为等差数列, 由等差数列的性质可知,x5+x16=x1+x20=x2+x19=…= 200 x10+x11= 10 =20.故填 20. 9.(文)(2011· 江苏镇江市质检)已知 1,x1,x2,7 成等差数列,1,y1,y2,8 成等 比数列,点 M(x1,y1),N(x2,y2),则线段 MN 的中垂线方程是________. [答案] [解析] x+y-7=0 由条件得 x1=3,x2=5,y1=2,y2=4,

∴MN 的中点(4,3),kMN=1,∴MN 的中垂线方程为 y-3=-(x-4),即 x+y -7=0. (理)已知双曲线 an-1y2-anx2=an-1an(n≥2,n∈N*)的焦点在 y 轴上,一条渐近 线方程是 y= 2x,其中数列{an}是以 4 为首项的正项数列,则数列{an}的通项公 式是________. [答案] [解析] x,∴ an=2n+1 y2 x2 双曲线方程为a -a =1, ∵焦点在 y 轴上, 又渐近线方程为 y= 2
n n -1

an = 2, an-1

又 a1=4,∴an=4× n-1=2n+1. 2 10.(文)(2011· 北京海淀)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,且 Sn=Sn-1+
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2n(n≥2,n∈N*). (1)求 Sn; (2)是否存在等比数列{bn}满足 b1=a1,b2=a3,b3=a9?若存在,则求出数列 {bn}的通项公式;若不存在,则说明理由. [解析] (1)因为 Sn=Sn-1+2n,

所以有 Sn-Sn-1=2n 对 n≥2,n∈N*成立. 即 an=2n 对 n≥2 成立.又 a1=S1=2× 1, 所以 an=2n 对 n∈N*成立. 所以 an+1-an=2 对 n∈N*成立. 所以{an}是等差数列. 所以 Sn=n2+n,n∈N*. (2)存在.由(1)知 an=2n 对 n∈N*成立, 则 a3=6,a9=18.又 a1=2, b2 b3 所以由 b1=a1,b2=a3,b3=a9,得b =b =3.
1 2

即存在以 b1=2 为首项,公比为 3 的等比数列{bn},其通项公式为 bn=2·n- 3
1

. (理)(2012· 天津十二区县联考一)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=a(Sn-

an+1)(a 为常数,且 a≠0,a≠1). (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=a2+Sn·n,若数列{bn}为等比数列,求 a 的值. a n 1 1 (3)在满足条件(2)的情形下,设 cn=b +1-b -1,数列{cn}的前 n 项和为 n n +1 1 Tn,求证:Tn>2n-2. [解析] (1)S1=a(S1-a1+1),∴a1=a,

当 n≥2 时,Sn=a(Sn-an+1), Sn-1=a(Sn-1-an-1+1), an 两式相减得 an=a·n-1,a =a, a
n-1

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即{an}是等比数列,∴an=a·n-1=an. a a?an-1? (2)由(1)知 an=a ,Sn= a-1 ,
n

a?an-1? n ∴bn=(a ) + a-1 a
n 2

?2a-1?a2n-aan = , a-1
2 若{bn}为等比数列,则有 b2=b1b3,

而 b1=2a2,b2=a3(2a+1),b3=a4(2a2+a+1), 故[a3(2a+1)]2=2a2·4(2a2+a+1), a 1 解得 a=2, 1 1 再将 a=2代入,得 bn=(2)n 成立, 1 所以 a=2. 1 (3)证明:由(2)知 bn=(2)n, 1 1 所以 cn=1 -1 ?2n+1 ?2n+1-1 ? ? 2 2n 1 1 =2n+1+2n+1-1=2-2n+1+2n+1-1, 1 1 所以 cn>2-2n+2n+1, Tn=c1+c2+…+cn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >(2-2+22)+(2-22+23)+…+(2-2n+2n+1)=2n-2+2n+1>2n-2. 【能力拓展提升】 11.在圆 x2+y2=10x 内,过点(5,3)有 n 条长度成等差数列的弦,最短弦长为 1 2 数列{an}的首项 a1, 最长弦长为 an, 若公差 d∈(3, ], 3 那么 n 的取值集合为( A.{4,5,6} C.{3,4,5}
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n+1

)

B.{6,7,8,9} D.{3,4,5,6}

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[答案] [解析]

A ∵圆 x2+y2=10x,∴(x-5)2+y2=5,圆心为(5,0),半径为 5.故最长

2 弦长 an=10,最短弦长 a1=8,∴10=8+(n-1)d,∴d=n-1, 1 2 1 2 2 ∵d∈(3,3],∴3<n-1≤3,∴4≤n<7, 又∵n∈N*,∴n 的取值为 4,5,6,故选 A. 12.(文)(2011· 安徽百校论坛联考)已知 a>0,b>0,A 为 a,b 的等差中项,正 数 G 为 a,b 的等比中项,则 ab 与 AG 的大小关系是( A.ab=AG C.ab≤AG [答案] C [解析] a+b 由条件知,a+b=2A,ab=G2,∴A= 2 ≥ ab=G>0,∴AG≥G2, B.ab≥AG D.不能确定 )

即 AG≥ab,故选 C. [点评] 在知识交汇点处命题是常见命题方式,不等式与数列交汇的题目要

特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用. 1 (理)已知等比数列{an}的各项均为正数, 公比 q≠1, P=2(log0.5a5+log0.5a7), 设 a3+a9 Q=log0.5 2 ,P 与 Q 的大小关系是( A.P≥Q C.P≤Q [答案] [解析] D P=log0.5 a5a7=log0.5 a3a9,Q=log0.5 a3+a9 2 > a3a9 a3+a9 2 , ) B.P<Q D.P>Q

∵q≠1,∴a3≠a9,∴

又∵y=log0.5x 在(0,+∞)上递减, a3+a9 ∴log0.5 2 <log0.5 a3a9,即 Q<P.故选 D. 13.(2011· 湖北荆门调研)秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近 30 天每天入
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院治疗流感的人数依次构成数列{an},已知 a1=1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1)n (n∈N*),则该医院 30 天入院治疗流感的人数共有________人. [答案] [解析] 255 ∵an+2-an=1+(-1)n (n∈N*),∴n 为奇数时,an+2=an,n 为偶

数时,an+2-an=2,即数列{an}的奇数项为常数列,偶数项构成以 2 为首项,2 为公差的等差数列. 故这 30 天入院治疗流感人数共有 15+(15× 2+ 15× 14 2)=255 人. 2 ×

14.(2011· 江苏,13)设 1=a1≤a2≤…≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的 等比数列,a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________. [答案] [解析] 3 3

∵a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,且 a1=1,

∴a3=q,a5=q2,a7=q3, ∵a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列, ∴a4=a2+1,a6=a2+2, ∵a2≥1,q=a3≥a2≥1, ∴q2=a5≥a4=a2+1≥2,q3=a7≥a6=a2+2≥3, 3 3 ∵q≥1,∴q≥ 2且 q≥ 3,∴q≥ 3, 3 ∴q 的最小值为 3. an+an+1 15. (2011· 蚌埠质检)已知数列{an}满足, 1=1, 2=2, n+2= a a a , n∈N*. 2 (1)令 bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式. [解析] (1)b1=a2-a1=1,当 n≥2 时,

an-1+an 1 1 bn=an+1-an= -an=-2(an-an-1)=-2bn-1, 2 1 所以{bn}是以 1 为首项,-2为公比的等比数列.

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? 1? (2)由(1)知 bn=an+1-an=?-2?n-1, ? ? 当 n≥2 时, an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) ? 1? 1-?-2?n-1 ? ? ? 1? ? 1? =1+1+?-2?+…+?-2?n-2=1+ ? ? ? ? ? 1? 1-?-2? ? ? 2? ? 1? ? 5 2? 1? ? ? =1+3?1-?-2?n-1?=3-3?-2?n-1, ? ? ? ? 5 2? 1? ? 当 n=1 时,3-3?-2?1-1=1=a1. ? 5 2? 1? ? 所以 an=3-3?-2?n-1(n∈N*). ? 16.(文)(2011· 山东文,20)等比数列{an}中,a1、a2、a3 分别是下表第一、二、 三行中的某一个数,且 a1、a2、a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nlnan,求数列{bn}的前 2n 项和 S2n. [解析] (1)依次验证知 a1=2,a2=6,a3=18 时符合题意,∴an=2·n-1. 3

(2)∵bn =an +(-1)nlnan=2·n - 1 +(-1)nln(2·n - 1)=2·n -1 +(-1)n(ln2-ln3) 3 3 3 +(-1)nnln3 ∴S2n=b1+b2+…+b2n=2(1+3+…+32n-1)+[-1+1-1+…+(-1)2n](ln2 -ln3)+[-1+2-3+…+(-1)2n· 2n]ln3 1-32n =2× 1-3 +nln3=32n+nln3-1. (理)(2011· 湖南六校联考)为加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市 计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧 车.替换车为电力型和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车 128 辆,混合
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动力型公交车 400 辆;计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50%,混合 动力型车每年比上一年多投入 a 辆. (1)求经过 n 年,该市被更换的公交车总数 S(n); (2)若该市计划 7 年内完成全部更换,求 a 的最小值. [解析] (1)设 an,bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车,混合动力型公交车

的数量,依题意, 3 {an}是首项为 128,公比为 1+50%=2的等比数列, {bn}是首项为 400,公差为 a 的等差数列. 3 128× [1-?2n] ? {an}的前 n 项和 Sn= 3 1-2 3 =256[(2)n-1]. {bn}的前 n 项和 Tn=400n+ n?n-1? 2 a,

所以经过 n 年,该市更换的公交车总数为: n?n-1? 3 S(n)=Sn+Tn=256[(2)n-1]+400n+ 2 a. (2)若计划 7 年内完成全部更换, 所以 S(7)≥10000, 3 7× 6 所以 256[(2)7-1]+400× 7+ 2 a≥10000, 16 即 21a≥3082,所以 a≥14621. 又 a∈N*,所以 a 的最小值为 147. 【备选练习】 1 1. x 的方程 x2-x+a=0 和 x2-x+b=0(a≠b)的四个根可组成首项为4的等 若 差数列,则 b 的值可以为( 3 A.8
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) 11 B.24

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13 C.24 [答案] [解析] 35 144,选 D. D

35 D.144

1 1 1 1 1 3 1 3 3 5 7 由题意四个根为4、4+6、4+3、4,则 b=4× =16,或 b=12× = 4 12

2.(2012· 河南新乡、平顶山、许昌调研)设正项等比数列{an}的前 n 项之积为 1 1 Tn,且 T10=32,则a +a 的最小值为(
5 6

) B. 2 D. 3

A.2 2 C.2 3 [答案] [解析] B

1 由条件知,T10=a1a2…a10=(a5a6)5=32,∵an>0,∴a5a6=2,∴a +
5

1 1 1 1 1 1 =2·5a6· +a )=2(a5+a6)≥2× a5a6= 2,等号在 a5=a6= 2时成立. a (a 2 a6 5 6 3. (2011· 银川一中三模)已知函数 f(x)=x2+bx 的图象在点 A(1, f(1))处的切线 1 l 与直线 3x-y+2=0 平行,若数列{f?n}的前 n 项和为 Sn,则 S2012 的值为( ? 2009 A.2010 2011 C.2012 [答案] [解析] D 本题考查导数的几何意义及数列求和知识;由于 f ′(x)=2x+b,据题 2010 B.2011 2012 D.2013 )

1 1 1 1 意则有 f ′(1)=2+b=3,故 b=1,即 f(x)=x2+x,从而f?n=n?n+1?=n-n+1, ? 1 1 1 1 1 1 n 其前 n 项和 Sn=(1-2)+(2-3)+…+(n-n+1)=1-n+1=n+1,故 S2012= 2012 2013. 4.(2012· 吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列{an}的前 20 项的和 是 100,那么 a6·15 的最大值是( a
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)
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A.25 C.100 [答案] [解析] A

B.50 D.不存在

1 1 由条件知,a6 +a15 =a1 +a20 =10 S20 = 10 × 100=10,a6>0,a15>0,

a6+a15 ∴a6·15≤( 2 )2=25,等号在 a6=a15=5 时成立,即当 an=5(n∈N*)时,a6·15 a a 取最大值 25. 5.(2011· 黄冈月考)在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*), a3 则a 的值是(
5

) 15 B. 8 3 D.8

15 A.16 3 C.4 [答案] C [解析]

∵a1=1,anan-1=an-1+(-1)n,

∴a2a1=a1+1,∴a2=2, ; 1 ∵a3a2=a2-1,∴a3=2; ∵a4a3=a3+1,∴a4=3; 2 a3 3 ∵a5a4=a4-1,∴a5=3,∴a =4.
5

6.(2012· 北京海淀期中)已知数列 A:a1,a2,…,an(0≤a1<a2<…<an,n≥3) 具有性质 P:对任意 i,j(1≤i≤j≤n),aj+ai 与 aj-ai 两数中至少有一个是该数列中 的一项:现给出以下四个命题: ①数列 0,1,3 具有性质 P; ②数列 0,2,4,6 具有性质 P; ③若数列 A 具有性质 P,则 a1=0; ④若数列 a1,a2,a3(0≤a1<a2<a3)具有性质 P,则 a1+a3=2a2. 其中真命题有( A.4 个
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) B.3 个

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C.2 个 [答案] [解析] B

D.1 个

数列 0,1,3 中 a3-a2=2,a3+a2=4 都不是该数列中的一项,即其不

具有性质 P,得命题①不正确;数列 0,2,4,6 经验证满足条件,即其具有性质 P, 得命题②正确;若数列 A 具有性质 P,因 n≥3,故其最大项 an>0,则有 an+an= 2an>an 不是数列中的项,故 an-an=0 必为数列中的一项,即 a1=0,得命题③正 确;若数列 a1,a2,a3(0≤a1<a2<a3)具有性质 P,则 a1=0,0<a2<a3,a2+a3>a3 不是 数列中的项,必有 a3-a2=a2,即 a3=2a2,因 a1=0,故 a1+a3=2a2,得命题④ 正确,综上可得真命题共有 3 个,故应选 B. 7.(2011· 杭州二检)已知{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其 中 a1=2,b1=1,a2=b2,2a4=b3,且存在常数 α、β,使得 an=logαbn+β 对每一个 正整数 n 都成立,则 αβ=________. [答案] [解析] 4 ?2+d=q ?q=2 设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则? ,解得? 2 ?2?2+3d?=q ?d=0

?q=4 (舍去)或? ,所以 an=2n,bn=4n-1.若 an=logαbn+β 对每一个正整数 n 都成 d=2 ? 立,则满足 2n=logα4n-1+β,即 2n=(n-1)logα4+β,因此只有当 α=2,β=2 时 上式恒成立,所以 αβ=4. 8.(2011· 天津市二十区县联考)已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,向量 a=(an S5 -1,-2),b=(4,Sn)满足 a⊥b,则S =________.
3

[答案] [解析]

31 7 ∵a=(an-1,-2),b=(4,Sn)满足 a⊥b,

∴a· b=0, ∴4an-4-2Sn=0,即 Sn=2an-2, ∴Sn-1=2an-1-2(n≥2). an 两式相减得 an=2an-1,∴a =2.
n-1

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2014 届高三数学复习精练试题选

由 Sn=2an-2(n∈N*),得 a1=2. ∴{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,∴an=2n. 2?1-25? S5 1-2 31 ∴S =2?1-23?= 7 . 3 1-2 9.(2011· 苏州检测)正整数按下列方法分组:{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9}, {10,11,12,13,14,15,16},…,记第 n 组中各数之和为 An;由自然数的立方构成下 列数组:{03,13},{13,23},{23,33},{33,43},…,记第 n 组中后一个数与前一个数 的差为 Bn,则 An+Bn=________. [答案] [解析] 2n3 由题意知,前 n 组共有 1+3+5+…+(2n-1)=n2 个数,所以第 n

-1 组的最后一个数为(n-1)2,第 n 组的第一个数为(n-1)2+1,第 n 组共有 2n -1 个数,所以根据等差数列的前 n 项和公式可得 [?n-1?2+1]+[?n-1?2+2n-1] An= (2n-1)=[(n-1)2+n](2n-1), Bn=n3-(n 而 2 -1)3, 所以 An+Bn=2n3. 1? ? 10.已知点?1,3?是函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)的图象上一点,等比数列{an} ? ? 的前 n 项和为 f(n)-c,数列{bn}(bn>0)的首项为 c,且前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-1 = Sn+ Sn-1(n≥2). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
? 1 ? ? ? 1000 (2)若数列?b b ?前 n 项和为 Tn,问使 Tn>2009的最小正整数 n 是多少? n n+1? ? ? ?

[解析] 1 =3.

1? ? (1)∵点?1,3?是函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)的图象上一点,∴f(1)=a ? ?

已知等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)-c,则当 n≥2 时,an=[f(n)-c]-[f(n- 2 1)-c]=an(1-a-1)=-3n.
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2014 届高三数学复习精练试题选

1 ∵{an}是等比数列,∴{an}的公比 q=3. 2 1 ∴a2=-9=a1q=[f(1)-c]× , 3 2 解得 c=1,a1=-3. 2 故 an=-3n(n≥1). 由题设知{bn}(bn>0)的首项 b1=c=1, 其前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-1= Sn+ Sn-1(n≥2), 由 Sn-Sn-1= Sn+ Sn-1? Sn- Sn-1=1,且 S1= b1=1. ∴{ Sn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 即 Sn=n?Sn=n2. ∵bn=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2), 又 b1=1=2× 1-1, 故数列{bn}的通项公式为:bn=2n-1(n≥1). (2)∵bn=2n-1(n≥1), 1 ? 1 1? 1 ∴b b =2?2n-1-2n+1?. ? ? n n+1
n 1 ∴Tn= ? b b k=1 k k+1

1 ?? 1??1 1? ?1 1? ? 1 =2??1-3?+?3-5?+…+?2n-1-2n+1?? ? ? ? ?? ? ?? n =2n+1. 1000 n 1000 1000 1 要 Tn>2009? >2009? n> 9 =1119, 2n+1 故满足条件的最小正整数 n 是 112. 1 an 11. (2011· 焦作模拟)已知函数 f(x)=ax 的图象过点(1, ), 2 且点(n-1, 2)(n∈N n


)在函数 f(x)=ax 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式;
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2014 届高三数学复习精练试题选

1 (2)令 bn=an+1-2an,若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:Sn<5. [解析] 1 (1)∵函数 f(x)=ax 的图象过点(1,2),

1 1 ∴a=2,f(x)=(2)x. an an 1 n2 x 又点(n-1,n2)(n∈N+)在函数 f(x)=a 的图象上,从而n2=2n-1,即 an=2n-1. ?n+1?2 n2 2n+1 (2)由 bn= 2n -2n= 2n 得, 2n+1 3 5 Sn=2+22+…+ 2n , 2n-1 2n+1 1 3 5 则2Sn=22+23+…+ 2n + 2n+1 , 1 3 1 1 1 2n+1 两式相减得:2Sn=2+2(22+23+…+2n)- 2n+1 , 2n+5 ∴Sn=5- 2n ,∴Sn<5.

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