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曲线和方程典型例题


典型例题一 例 1 如果命题“坐标满足方程 f ?x,y ? ? 0 的点都在曲线 C 上”不正确,那么以下正确的命题是 (A)曲线 C 上的点的坐标都满足方程 f ?x,y ? ? 0 . (B)坐标满足方程 f ?x,y ? ? 0 的点有些在 C 上,有些不在 C 上. (C)坐标满足方程 f ?x,y ? ? 0 的点都不在曲线 C 上. (D)一定有不在曲线 C 上的点

,其坐标满足方程 f ?x,y ? ? 0 . 分析:原命题是错误的,即坐标满足方程 f ?x,y ? ? 0 的点不一定都在曲线 C 上,易知答案为 D. 典型例题二 例 2 说明过点 P(5 , ? 1) 且平行于 x 轴的直线 l 和方程 y ? 1 所代表的曲线之间的关系. 分析: “曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件,二者缺一不 可.其中“曲线上的点的坐标都是方程 f ( x , y) ? 0 的解” ,即纯粹性; “以方程的解为坐标的点都是 曲线上的点” ,即完备性.这是我们判断方程是不是指定曲线的方程,曲线是不是所给方程的曲线的 准则. 解:如下图所示,过点 P 且平行于 x 轴的直线 l 的方程为 y ? ?1 ,因而 在直线 l 上的点的坐标都满足 y ? 1 ,所以直线 l 上的点都在方程 y ? 1 表示 的曲线上.但是以 y ? 1 这个方程的解为坐标的点不会都在直线 l 上,因此方 程 y ? 1 不是直线 l 的方程,直线 l 只是方程 y ? 1 所表示曲线的一部分. 说明:本题中曲线上的每一点都满足方程,即满足纯粹性,但以方程的解为坐标的点不都在曲 线上,即不满足完备性. 典型例题三 例 3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程 y ? x 所表示的直线之间的关系. 分析:该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析. 解:方程 y ? x 所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等.但是“到坐标轴距离相等 的点的轨迹”上的点不都满足方程 y ? x ,例如点 (?3 , 3) 到两坐标轴的距离均为 3,但它不满足方 程 y ? x .因此不能说方程 y ? x 就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程,到坐标轴距离相等的 点的轨迹也不能说是方程 y ? x 所表示的轨迹. 说明:本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上” ,即满足完备性,而“轨迹上的点的坐标不都 满足方程” ,即不满足纯粹性.只有两者全符合,方程才能叫曲线的方程,曲线才能叫方程的曲线. 典型例题四 例 4 曲线 x ? ( y ? 1) ? 4 与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个不同的交点,求 k 的取值范围.有一个交
2 2

点呢?无交点呢? 分析:直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点,就是由直线与曲线的方程组成的方程组分 1 / 12

别有两个解、一个解和无解,也就是由两个方程整理出的关于 x 的一元二次方程的判别式 ? 分别满 足 ? ? 0、? ? 0、? ? 0. 解:由 ?

? y ? k ( x ? 2) ? 4,
2 2 ? x ? ( y ? 1) ? 4.

得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2k (3 ? 2k ) x ? (3 ? 2k )2 ? 4 ? 0 ∴ ? ? 4k 2 (3 ? 2k )2 ? 4(1 ? k 2 )[(3 ? 2k )2 ? 4]

? ?4(4k 2 ?12k ? 5)
? ?4(2k ? 1)(2k ? 5)
∴当 ? ? 0 即 (2k ? 1)(2k ? 5) ? 0 ,即

1 5 ? k ? 时,直线与曲线有两个不同的交点. 2 2 1 5 或 k ? 时,直线与曲线有一个交点. 2 2 1 5 或 k ? 时,直线与曲线没有公共点. 2 2

当 ? ? 0 即 (2k ? 1)(2k ? 5) ? 0 ,即 k ? 当 ? ? 0 即 (2k ? 1)(2k ? 5) ? 0 ,即 k ?

说明:在判断直线与曲线的交点个数时,由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两 方程联立所整理出的关于 x (或 y )的一元方程解的个数相同,所以如果上述一元方程是二次的,便 可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数,但如果是两个二次曲线相遇,两曲线的方程组成的方 程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同,所以遇到此类问题时,不要盲 目套用上例方法,一定要做到具体问题具体分析. 典型例题五 例 5 若曲线 y ? a x 与 y ? x ? a(a ? 0) 有两个公共点,求实数 a 的取值范围. 分析:将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解” ,从而研究一元二次方程的解的 个数问题.若将两条曲线的大致形状现出来,也许可能得到一些启发. 解法一:由 ?

?y ? a x ?y ? x ? a

得: y ? a y ? a

∵ y ? 0 ,∴ y 2 ? a 2 ( y ? a) 2 , 即 (a ?1) y ? 2a y ? a ? 0 .
2 2 3 4

要使上述方程有两个相异的非负实根.

? ?? ? 4a 6 ? 4a 4 (a 2 ? 1) ? 0 ? ? 2a 3 ?0 则有: ? 2 a ? 1 ? ? a4 ?0 ? 2 ? a ?1
又∵ a ? 0 2 / 12

∴解之得: a ? 1 . ∴所求实数 a 的范围是 (1 , ? ?) . 解法二: y ? a x 的曲线是关于 y 轴对称且顶点在原点的折线,而 y ? x ? a 表示斜率为 1 且过点 (0 , a) 的直线,由下图可知,当 a ? 1 时,折线的右支与直线 不相交.所以两曲线只有一个交点,当 a ? 1 时,直线与折线的两支都相交,所以 两条直线有两个相异的交点. 说明:这类题较好的解法是解法二,即利用数形结合的方法来探求.若题设条件中“ a ? 0 ”改 为 a ? R 呢,请自己探求. 典型例题六 例 6 已知 ?AOB ,其中 A(6 , 0) , O(0 , 0) , B(0 , 3) ,则角 AOB 平分线的方 程是 y ? x (如下图),对吗? 分析:本题主要考查曲线方程概念掌握和理解的程度,关键是理解三角形内 角平分线是一条线段. 解:不对,因为 ?AOB 内角平分线是一条线段 OC ,而方程 y ? x 的图形是一条直线.如点

P(8 , 8) 坐标适合方程 y ? x ,但点 P 不在 ?AOB 内角 AOB 的平分线上.
综合上述内角 AOB 平分线为: y ? x(0 ? x ? 2) . 说明:判断曲线的方程或方程的曲线,要紧扣定义,两个条件缺一不可,关键是要搞清楚曲线 的范围. 典型例题七 例 7 判断方程 y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 所表示的曲线. 分析:根据方程的表面形式,很难判断方程的曲线的形状,因此必需先 将方程进行等价变形. 解:由原方程 y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 可得:

?? x ? 1 ( x ? 1), y ? ? x ?1 ,即 y ? ? ? x ? 1 ( x ? 1),
∴方程 y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 的曲线是两条射线,如图所示: 说明:判断方程表示的曲线,在化简变形方程时要注意等价变形.如方程 x ?1 ?

y ? 2 等价于

( x ?1)2 ? y ? 2 且 x ? 1 ,即 y ? ( x ?1) 2 ? 2( x ? 1) ,原方程的曲线是抛物线一部分.
典型例题八 例 8 如图所示,已知 A 、 B 是两个定点,且 AB ? 2 ,动点 M 到定点 A 的距 离是 4,线段 MB 的垂直平分线 l 交线段 MA 于点 P ,求动点 P 的轨迹方程. 分析:本题首先要建立适当直角坐标系,动点 P 满足的条件(等量关系)题 3 / 12

设 中 没 有 明 显 给 出 , 要 从 题 意 中 分 析 找 出 等 量 关 系 . 连 结 PB , 则 PM ? PB , 由 此

PA ? PB ? PA ? PM ? AM ? 4 ,即动点 P 到两定点 A , B 距离之和为常数.
解:过 A , B 两点的直线为 x 轴, A , B 两点的中点 O 为坐标原点,建立直角坐标系 ∵ AB ? 2 ,∴ A , B 两点坐标分别为 (?1 , 0) , (1 , 0) . 连结 PB .∵ l 垂直平分线段 BM , ∴ PM ? PB ,

PA ? PB ? PA ? PM ? AM ? 4 .
设点 P( x , y) ,由两点距离公式得

( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ,
化简方程,移项两边平方得(移项)

2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ? x .
两边再平方移项得:

x2 y2 ? ? 1 ,即为所求点 P 轨迹方程. 4 3
说明:通过分析题意利用几何图形的有关性质,找出 P 点与两定点 A , B 距离之和为常数 4 , 是解本题的关键.方程化简过程也是很重要的,且化简过程也保证了等价性. 典型例题九 例 9 过 P?2, 4? 点作两条互相垂直的直线 l1 ,l 2 ,若 l1 交 l1 轴于 A ,l 2 交 y 轴于 B ,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程. 解:连接 PM ,设 M ?x,y ? ,则 A?2 x, 0? , B?0, 2 y? . ∵ ∴ y P

l1 ? l2
?PAB 为直角三角形.

B

由直角三角形性质知

M

PM ?


1 AB 2
1 ? 4x2 ? 4 y2 2

O 图2

A

x

?x ? 2? ? ? y ? 4?
2

2

化简得 M 的轨迹方程为

x ? 2y ?5 ? 0
说明:本题也可以用勾股定理求解,还可以用斜率关系求解,因此本题可有三种解法.用斜率 求解的过程要麻烦一些. 典型例题十 4 / 12

2 例 10 求与两定点 A 、 B 满足 PA ? PB ? k ( k 是常数)的动点 P 的轨迹

2

2

方程. 分析:按求曲线方程的方法步骤求解. 解法一: 如图甲, 取两定点 A 和 B 的连线为 x 轴, 过 AB 的中点且与 AB 垂 直的直线为 y 轴建立坐标系.
2 2 设 A(?a , 0) , B(a , 0) , P( x , y) , 则 : PA ? ( x ? a ) ? y , 2

PB ? ( x ? a) 2 ? y 2 .
2 2 据题意, PA ? PB ? k ,有 ( x ? a)2 ? y 2 ? ( x ? a)2 ? y 2 ? k 2 得 4ax ? k . 2 2

2

?

? ?

?

由于 k 是常数,且 a ? 0 ,所以 x ? 的直线.

k2 为动点的轨迹方程,即动点 P 的轨迹是一条平行于 y 轴 4a

解法二:如图乙,取 A 与 B 两点连线为 x 轴,过 A 点且与 AB 垂直的直线为 y 轴建立坐标系.
2 2 2 2 设 A(0 , 0) ,B(a , 0) ,P( x , y) , 则: PA ? x ? y , PB ? ( x ? a ) ? y . 2 据题意, PA ? PB ? k ,有 x 2 ? y 2 ? ( x ? a) 2 ? y 2 ? k 2 , 2 2 2 2

?

? ?

?

得x? 直线.

a2 ? k 2 a2 ? k 2 ,即动点 P 的轨迹方程为 x ? ,它是平行于 y 轴的一条 2a 2a

解法三:如图丙建立坐标系,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x , y) ,则

PA ? ( x ? x1 ) 2 ? ( y ? y1 ) 2 , PB ? ( x ? x2 ) 2 ? ( y ? y2 ) 2 .
2 据题意, PA ? PB ? k ,有 2 2

2

2

?(x ? x )
1

2

? ( y ? y1 )2 ? ( x ? x2 )2 ? ( y ? y2 )2 ? k 2 ,
2 2 2 2

? ?

?

整理后得到点 P 的轨迹方程为:

2( x2 ? x1 ) x ? 2( y2 ? y1 ) y ? x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? k 2 ? 0 ,它是一条直线.
说明:由上面介绍的三种解法,可以看到对于同一条直线,在不同的坐标系中,方程不同,适 当建立坐标系如解法一、解法二,得到的方程形式简单、特性明显,一看便知是直线.而解法三得 到的方程烦琐、冗长,若以此为基础研究其他问题,会引起不必要的麻烦.因此,在求曲线方程时, 根据具体情况适当选取坐标系十分重要.另外,也要注意到本题所求的是轨迹的方程,在作解答表 述时应强调曲线的方程,而不是曲线. 典型例题十一 例 11 两直线分别绕着定点 A 和 B ( AB ? 2a )在平面内转动, 且转动时保持相互垂直, 求两直线的 5 / 12

交点 P 的轨迹方程. 分析:建立适当的直角坐标系,利用直角三角形的性质,列出动点所满足的等式. 解:取直线 AB 为 x 轴,取线段 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系,则:

A(?a , 0) , B(a , 0) , P 属于集合 C ? P PA ? PB ? AB

?

2

2

2

?.

设 P( x , y) ,则 ( x ? a) 2 ? y 2 ? ( x ? a) 2 ? y 2 ? (2a) 2 ,化简得 x 2 ? y 2 ? a 2 . 这就是两直线的交点 P 的轨迹方程. 说明:本题易出现如下解答错误: 取直线 AB 为 x 轴,取线段 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系,则:

A(?a , 0) , B(a , 0) ,交点 P 属于集合 C ? ? P PA ? PB ?? ? P kPA ? kPB ? ?1 ?.
设 P( x , y) ,则 k PA ? 故

y y ( x ? ?a) , k PB ? ( x ? a) , x?a x?a

y y ? ? ?1 ,即 x 2 ? y 2 ? a 2 ( x ? ? a ). x?a x?a

要知道, 当 PA ? x 轴且另一直线与 x 轴重合时, 仍有两直线互相垂直, 此时两直线交点为 A . 同 样 PB ? x 轴重合时,且另一直线与 x 轴仍有两直线互相垂直,此时两直线交点为 B .因而,

A(?a , 0) 与 B(a , 0) 应为所求方程的解.
纠正的方法是:当 PA 或 PB 的斜率不存在时,即 x ? ? a 时, A(?a , 0) 和 B(a , 0) 也在曲线上, 故所求的点 P 的轨迹方程是 x 2 ? y 2 ? a 2 . 求出曲线上的点所适合的方程后,只是形式上的曲线方程,还必须对以方程的解为坐标的点作 考察,既要剔除不适合的部分,也不要遗漏满足条件的部分. 典型例题十二 例 12 如图,Rt ?ABC 的两条直角边长分别为 a 和 b (a ? b) , A 与 B 两点分 别在 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴上滑动,求直角顶点 C 的轨迹方程. 分析: 由已知 ?ACB 是直角,A 和 B 两点在坐标轴上滑动时,?AOB 也 是直角, 由平面几何知识,A 、C 、B 、O 四点共圆, 则有 ?ABC ? ?AOC , 这就是点 C 满足的几何条件.由此列出顶点 C 的坐标适合的方程. 解:设点 C 的坐标为 ( x , y ) ,连结 CO ,由 ?ACB ? ?AOB ? 90? ,所以 A 、 O 、 B 、 C 四 点共圆. 从而 ?AOC ? ?ABC .由 tan ?ABC ?

b y y b b , tan ?AOC ? ,有 ? ,即 y ? x . a x x a a

注意到方程表示的是过原点、斜率为

b 的一条直线,而题目中的 A 与 B 均在两坐标轴的正半轴 a

上滑动, 由于 a 、b 为常数, 故 C 点的轨迹不会是一条直线, 而是直线的一部分. 我们可考察 A 与 B 两点在坐标轴上的极端位置,确定 C 点坐标的范围. 6 / 12

如下图,当点 A 与原点重合时,

S ?ABC ?

1 1 2 ab AB ? x ? a ? b 2 ? x ,所以 x ? . 2 2 2 a ? b2

如下图,当点 B 与原点重合时, C 点的横坐标 x ? BD 由 射 影 定 理 , BC ? BD ? AB , 即 a2 ? x ? a2 ? b2 , 有
2

x?

a2 a 2 ? b2

.由已知 a ? b ,所以

ab a 2 ? b2

?

a2 a 2 ? b2



故 C 点的轨迹方程为: y ?

b ab a2 x( ) . ?x? a a 2 ? b2 a 2 ? b2

说明:求出曲线上的点所适合的方程后,只是形式上的曲线方程,还 必须对以方程的解为坐标的点作考察,剔除不适合的部分. 典型例题十三 例 13 过点 P(3 , 2) 作两条互相垂直的直线 l1 、 l 2 ,若 l1 交 x 轴于 A , l 2 交 y 轴于 B , M 在线 段 AB 上,且 AM : BM ? 1: 3 ,求 M 点的轨迹方程. 分析:如图,设 M ( x , y ) ,题中几何条件是 l1 ? l2 ,在解析几何中要表示垂直关系的代数关系 式就是斜率乘积为-1,所以要求 M 的轨迹方程即 x 、 y 之间的关系,首先要把 l1 、 l 2 的斜率用 x 、

y 表示出来,而表示斜率的关键是用 x 、 y 表示 A 、 B 两点的坐标,由题可知 M 是 A 、 B 的定比
分点,由定比分点坐标公式便可找出 A 、 B 、 M 坐标之间的关系,进而表示出 A 、 B 两点的坐标, 并求出 M 点的轨迹方程. 解:设 M ( x , y ) , A(a , 0) , B(0 , b) ∵ M 在线段 AB 上,且 AM : BM ? 1: 3 . ∴ M 分 AB 所成的比是

1 , 3

a ? ?x ? 1 1? ? 4 ? 3 ? ? ?a ? x 由? 3 , 1 ,得 ? b ? ? 3 ?b ? 4 y ?y ? 1 ? 1? ? 3 ?
∴ A( x , 0) 、 B(0 , 4 y) 又∵ P(3 , 2) ,∴ l1 的斜率 k1 ?

4 3

4y ? 2 2 , l 2 的斜率 k 2 ? . 4 ?3 3? x 3
7 / 12

∵ l1 ? l2 ,∴

2 4y ? 2 ? ? ?1 . 4 ? 3 3? x 3

化简得: 4 x ? 8 y ? 13 ? 0 . 说明: 本题的上述解题过程并不严密, 因为 k1 需在 x ?

9 9 时才能成立, 而当 x ? 时,A(3 , 0) , 4 4

9 1 9 1 l1 的方程为 x ? 3 .所以 l 2 的方程是 y ? 2 .故 B(0 , 2) ,可求得 M ( , ) ,而 ( , ) 也满足方程 4 2 4 2

4 x ? 8 y ? 13 ? 0 .故所求轨迹的方程是 4 x ? 8 y ? 13 ? 0 .这类题在解答时应注意考虑完备性和纯
粹性. 典型例题十四 例 14 如图,已知两点 P(?2 , 2) , Q(0 , 2) 以及一直线 l:y ? x ,设长为 2 的线段 AB 在直线 l 上 移动.求直线 PA 和 QB 的交点 M 的轨迹方程. 分析 1:设 M ( x , y ) ,题中的几何条件是 AB ?

2 ,所以只需用

( x , y) 表示出 A 、 B 两点的坐标,便可求出曲线的方程,而要表示 A 点
坐标可先找出 A 、 M 两点坐标的关系,显然 P 、 A 、 M 三点共线.这 样便可找出 A 、 M 坐标之间的关系,进而表示出 A 的坐标,同理便可表 示出 B 的坐标,问题便可以迎刃而解. 解法一:设 M ( x , y ) 、 A(a , a) 、 B(b , b) (b ? a ) . 由 P 、 A 、 M 三点共线可得: 相等得到) ∴a ?

a?2 y?2 ? (利用 PA 与 MP 斜率 a?2 x?2

2x ? 2 y . x? y?4
b?2 y?2 ? . b x

由 Q 、 B 、 M 三点共线可得 ∴b ?

2x . x? y?2

又由 AB ?

2 得 2(a ? b)2 ? 2 .
2x 2x ? 2 y ? ?1. x? y?2 x? y?4
2 2

∴ b ? a ? 1 ,∴

化简和所求轨迹方程为: x ? y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 . 分析 2:此题也可以先用 P 、 A 、 M 三点共线表示出 A 点坐标,再根据 AB ? 坐标,然后利用 Q 、 B 、 M 三点共线也可求得轨迹方程. 8 / 12

2 表示出 B 点

解法二:设 M ( x , y ) , A(a , a) 由 AB ?

2 且 B 在直线 y ? x 上且 B 在 A 的上方可得: B(a ? 1 , a ? 1)
2x ? 2 y , x? y?4

由解法一知 a ?

∴ B(

3x ? y ? 4 3x ? y ? 4 , ) x? y?4 x? y?4

又由 Q 、 B 、 M 三点共线可得:

3x ? y ? 4 ?2 y?2 x? y?4 ? . 3x ? y ? 4 x x? y?4
化简得所求轨迹方程为: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 . 解法三:由于 AB ?

2 且 AB 在直线 y ? x 上

所以可设 A(a , a) , B(a ? 1 , a ? 1) . 则直线 AP 的方程为: (a ? 2)( y ? 2) ? (a ? 2)(x ? 2) 直线 BQ 的方程为: (a ? 1)( y ? 2) ? (a ? 1) x

2 ? x ? a ? ?1 ? ? a ( a ? 0) 由上述两式解得 ? ? y ? a ? 2 ?1 ? a ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? a 2 ? 2 ? 4 ? ? a ∴? ?( y ? 1) 2 ? a 2 ? 4 ? 4 ? a2 ?
∴ ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ?8 , 即 x ? y ? 2x ? 2 y ? 8 ? 0 .
2 2

而当 a ? 0 时,直线 AP 与 BQ 平行,没有交点. ∴所求轨迹方程为 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 .
2 2

说明:本题的前两种方法属于直接法,相对较繁,而后一种方法,事实上它涉及到参数的思想 ( a 为参数),利用交点求轨迹方程.一般先把交点表示为关于参数的坐标,然后消去参数,这也反 映出运动的观点. 1.下列各组方程中,表示相同曲线的一对方程是 A. y ?

x, x ? y2

B。 y ? x ,

x ?1 y

C. x ? y , x ? y ? 0
2 2

D。 y ? lg x , y ? 2 lg x
2

9 / 12

?x ? y ? 1 ? 0 ? 2.如果实数 x, y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 那么 2 x ? y 的最大值为( ) ?x ? y ? 1 ? 0 ?
A.2 B.1 C.

?2

D. ? 3 )

3.点(3,1)和点( ? 4,6 )在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是( A. a ? ?7 或 a ? 24 B. ? 7 ? a ? 24 C. a ? ?7 或 a ? 24 D.

a?7

4 . ?ABC 中 , A(5,2), B(1,1), C (1,

22 ) ,以三角形内部及其边界为可行域,若使目标函数 5

z ? ax ? y(a ? 0) 取最大值的最优解有无穷多个,则 a 的值为( )
A.

1 4

B.

3 5

C。4

D.

5 3
) D. y 2 ? 4x ? 16

5.曲线 y 2 ? 4 x 关于直线 x ? 2 对称的曲线方程是( A. y 2 ? 8 ? 4 x B. y 2 ? 4 x ? 8 C. y 2 ? 16 ? 4x

6.设 f ( x, y) ? 1 是平面直角坐标系中一个面积有限的图形 M 的边界方程,则 f (2 x,2 y) ? 1 围成的 图形面积是 M 面积的( A. ) C.1 倍 D.4 倍 )

1 倍 4

B.

1 倍 2

7.已知坐标满足方程 F ( x, y) ? 0 的点都在曲线 C 上,那么( A.曲线 C 上的点的坐标都适合方程 F ( x, y) ? 0 B.坐标不适合方程 F ( x, y) ? 0 的点都不在曲线 C 上 C.不在曲线 C 上的点的坐标必不适合方程 F ( x, y) ? 0

D.不在曲线 C 上的点的坐标有些适合方程 F ( x, y) ? 0 ,有些不适合方程 F ( x, y) ? 0 8.已知曲线 C 的方程是 x ? y ? 2mx ? 2my ? 0(m ? 0) ,下列各点不在曲线 C 的点是( ) A. (0,0) B. (0,2m) C. (0,?2m) D. (2m,0) )

2 2 9.在平面直角坐标系中,方程 x ? 4 ? y ? 4 ? 0 表示的图形是(

A.2 条直线

B.4 条直线

C.2 个点

D.4 个点

10.下列方程的曲线关于直线 y ? x 对称的是 A. x ? x ? y ? 1
2 2

B. x y ? xy ? 1
2 2

C. x ? y ? 1

D. x ? y ? 1
2 2

11.直线 y ? x ?

3 1 2 被曲线 y ? x 所截得的线段的中点到原点的距离是( 2 2



A.

29 2

B.

29 4

C. 29

D.29

10 / 12

?y ? 0 y ?1 ? 12.实数 x 、 y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ,则 ? ? 的取值范围是( x ? 1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A. ?? 1, ? 3



? ?

1? ?

B. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 3?

C. ? ?

? 1 ? ,?? ? ? 2 ?

D. ? ?

? 1 ? ,1? ? 2 ?

13.已知集合 A ? ( x, y) x ? y ? 1 ?, B ? ( x, y) ( y ? x)( y ? x) ? 0 的面积为

?

?

?, M

? A ? B ,则 M

2 14.直线 y ? x ? k 与曲线 x ? 1 ? y 恰有一个公共点,则 k 的取值范围是

15.已知 lg( x ? 2) , lg 2 y , lg16x 成等差数列,则点 P( x, y) 的轨迹方程为 16 .已知动点 M 到定点 A(9,0) 的距离是 M 到定点 B(1,0) 的距离的 3 倍,则 M 的轨迹方程 _______________ 三、解答题:本大题共 2 小题,共 20 分。解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。解答过 程写在答题卡的相应位置。 17.(本小题满分 10 分)点 M (a, b) 处于由 x ? 0, y ? 0, x ? y ? 2 三个不等式所确定的平面区域内, 求点 N (a ? b, a ? b) 所在的平面区域的面积。

18.(本小题满分 10 分)如果直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 相交于 M,N 两点,且 点 M,N 关于直线 x ? y ? 0 对称。 (10 分)

?kx ? y ? 1 ? 0 ? (1)画出不等式组 ?kx ? m y ? 0 所表示的平面区域。 ?y ? 0 ?
(2)求 x ? 2 y

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答案 选择题 CBBBC ACBDB AD 填空题 13。1 15. 解答题 17.设点 N ( x, y ) 14。 k ? ? 2 或 ? 1 ? k ? 1

y 2 ? 4x( x ? 2) ( x ? 2)

16。 x 2 ? y 2 ? 9

x? y ? ?a ? 0 ?x ? y ? 0 a? ? ?x ? a ? b ? ? ? 2 则? ,故 ? 又? ?b ? 0 ,? ? x ? y ? 0 ?y ? a ? b ?a ? b ? 2 ?x ? 2 ?b ? x ? y ? ? ? 2 ?
画出可行域,易求得其面积为 4 18. (1)? 圆周上两点 M,N 关于直线 x ? y ? 0 对称,

k m ? 直线 x ? y ? 0 过圆心 ( ? ,? ) ,且直线 MN 斜率为 1, 2 2

?x ? y ? 1 ? m ? k ?k ? 1 ? ?? ? (? ) ? 0 故? 2 ,? ? 故可行域为 ? x ? y ? 0 所表示区域。图略 2 ?m ? ?1 ?y ? 0 ? ?k ? 1 ?
(2) ( x ? 2 y ) min ? ?

3 2

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