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2.2平面向量的线性运算(2课时)


第一课时 2.2. 1 向量的加(减)法运算及其几何意义 教学要求:掌握向量的加法与减法的意义与几何运算,会运用三角形法则、平行四边形法则进 行向量的加(减)法运算 教学重点:运用三角形法则、平行四边形法则运算 教学难点:向量加法、减法的几何意义 教学过程: 一、温故知新: 1.相等向量和平行向量? 2.思考:力是向量,如何求 a 、 b 这两个力的合力呢?用什么方法?
A O D

B

C

二、新知构建: 1.向量的加(减)法运算: ① 向量的加(减)法:求两向量和(差)的运算叫向量的加(减)法运算

??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ② 三角形法则:向量 AB 与 BC 相加时, AB 的终点 B 作为 BC 的起点, ???? 这时起点 A 到终点 C 的向量 AC 就是这两个向量的和向量,即 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? AB ? BC ? AC . 这种求向量和的方法叫三角形法则. ( AB ? AC ? CB ) (注意:两个向量要“首尾”相接,从第一个起点指向最后一个终点)
练习 P84:1 a+b A a C b B

③平行四边形法则:由同一点 A 为起点的两个已知向量 a, b 为邻边作平行四边形 ABCD,则以 A 为起点的向量 AC 就是向量 a, b 的和. 这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则, 如右图: P81 例题 1 练习 P84:2

? ?

? ?

④讨论:三角形法则、平行四边形法则是否对所有向量 a, b 求和都适用? (注意:平行四边形法则对于两个向量共线时不适用,但此时三角形法则适用 )

? ?

? ? ⑤定义相反向量:与向量 a 的长度相等、方向相反的向量叫做向量 a 的相反向量, ? 记作: ? a 规定零向量的相反向量仍是零向量. ? ? ? ? 注:向量 a ? b 可以看成是 a ? (?b ) , 归纳向量减法的三角形法则: “共起点,连终点,指向被减向量” P86 例 3 P87 练习 1,2

2.探究与拓展: ① 向量加法的运算律

? ? ? ? ? ? ? ? ②讨论: a ? b 与 a ? b 、 a ? b 与 a ? b 有何关系.
③ P86 例 4.

三、总结与巩固: 向量加法的平行四边形法则和三角形法则 向量减法的三角形法则,减法是加法的逆运算 向量加法的运算律 向量和(差)的模的性质 作业:91 页第 2 ,4,8 题. 板书设计 教学反思

第二课时 2.2. 3 向量数乘运算及其几何意义 教学要求:理解向量的数乘运算及其几何意义,会进行向量的数乘运算. 教学重点:向量的数乘运算 教学难点:向量的数乘运算的几何意义 教学过程: 一、复习准备: A ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b a ? b a ? b a ? b 1. 与 、 与 有何关系?什么时候等号成立?
O

D

2.如图: O 是正方形 ABCD 的中心,求下列各式的值 ??? ? ① AB + BC ② AB - AC B C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3. a 为非零向量,试求 ? a ? a ? a ? a 和 a ? a ? a ? a ? a 的值. 二、讲授新课: 1. 教学向量的数乘运算: ? ? ① 向量的数乘:求实数 ? 与向量 a 的乘积的运算叫向量的数乘,记作: ? a ? ? ? 规定:(Ⅰ) ? a 仍然是个向量 (Ⅱ)、 ? a ? ? a ? ? ? ? (Ⅲ) 当 ? ? 0 时向量 ? a 的方向与 a 的方向相同, 当 ? ? 0 时, 向量 ? a 与 a 的方向相反, ? ? 当 ? ? 0 时, ? a ? 0 ? ? ? ? ? ② 练习: a 为单位向量,试求 3(a ) 、 2a 、 6a 、 2(3(a)) 的值: ? ? ③ 讨论验证下列等式: ? 、 ? 为实数, a 、 b 为向量. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑴ ? ( ? a ) ? (?? )a ⑵ (? ? ? )a ? ? a ? ? a ⑶ ? (a ? b) ? ? a ? ?b (数乘运算满足交换律、结合律、分配律) 2、教学例题: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① 例 5:计算:⑴ (?3) ? 4a ⑵ 3( a ? b )? 2 a (? b ) ? a ⑶ (2a ? 3b ? c) ? 2(3a ? 2b ? c) (去括号,实数与实数运算后再与向量运算) ? ? ? ? ? ? ② 定理:向量 a 与 b 共线( b ? 0 ) ,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 ? a ? b . ③ 出示例题 6: (分析:三点可分共线与不共线两种情形,可以通过判断以这三点为端点的向 量是否共线来判断点是否共线) D C ④ 定义线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. ? ? ⑤ 出示例题 7. (先找出与 a 、 b 向量共线的向量,再利用定理) O ⑥ 练习:如图,试用向量方法证明:对角线互相平分的四 边形是平行四边形 ? ? ? ? ? ? 3.小结:向量的数乘运算;两向量 a(a ? 0) 与 b 共线满足 ? a ? b A B 三、巩固练习 1. 计算: (1) 2(2a ? b ? c) ? 6(3a ? b ? c) (2) (a ? b) ? 2(a ? b) ? a 4? 3 ? 2 3 ? ? ? 2. 已知向量,求作向量 c ,使 a ? b ? c ? 0 ,表示的有向线段能构成三角形吗?

?

3? ?

?

2? ?

1 ? ?

? ?

2?

? ??? ? 1 ??? 2 ??? ? ???? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 4.在三角形 ABC 中, AE ? AB , EF ∥ BC 交 AC 于 F 点,试用 AB 、 AC 表示 BF . 5
3.求证:M 是线段 AB 的中点,对于任意一点 O,都有 om ? (OA ? OB) 5.作业:课本第 91 页第 9、10 、11 题.

??? ?


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