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2015届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考数学(文)试题


长郡中学 2015 届高三上学期第四次月考数学(文)试题
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.全集 U={1,2,314,5,6) ,M={2,3,4) ,N={4,5},则 ? (M

/>N ) 等于

A.{1,3,5} B.{1,5} C.{l,6} D.{2,4,6} 2.“x<0”是“1n(x+1)<0, ,的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下图所示的算法流程图中,若输出的 T= 720,则正整数 a 的值为

A.5 B.6 C.7 D.8 4.一个空间几何体的三视图如图所示,其侧视图是等边三角形,则该几何体的体积等于

A. 3

B.2 3

C.3 3

D.6 3
2 2 2

5.在区间[一 ? , ? ]内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函数 f ( x) ? 4 x ? 4ax ? b ? ? 2 有 零点的概率为 A.

? 4

B.1 一

? 4

C.

? 2

D.l-

? 2

6.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? =1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 a 2 b2 x2 y 2 ? ?1 B. 5 20
D.

x2 y 2 ? ?1 A. 20 5
C.

x2 y 2 ? ?1 80 20

x2 y 2 ? ?1 20 80

7.设 f ( x) ? 1g (10x ? 1) ? ax 是偶函数, g ( x) ? A.1 B.一 1

4x ? b 是奇函数,那么 a 十 6 的值为 2
C.一

1 2

D.

1 2

8.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志 为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人”,根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似 病例数据,一定符合该标志的是 A.甲地:总体均值为 3,中位数为 4 B.乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 C.丙地:中位数为 2,众数为 3 D.丁地:总体均值为 2,总体方差为 3 9.如图,在 Rt△ABC 中,∠ C= 90° ,AC=4,BC=2,D、E 分别是 BC、AB 的中点,P 是△ABC(包括边界)内任一 点,则 AD.EP 的取值范围是 A.[-7,7] C.[-9,9] B.[-8,8] D.[-10,J.O]

? 2 x3 1 ? x ? 1 , x ? ( 2 ,1], ? ? ) 10 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? 函 数 g ( x) ? a s i n ( x ? 6 ?? 1 x ? 1 , x ? ?0, 1 ? . ? ? 6 ? 2? ? ? 3

2 a?

2a( ? , 0若 ) 存在

x1 , x2 ?[0,1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是
A. ? , ? 2 3

?1 4? ? ?

B. (0, ]

1 2

C. ? , ? 3 3

?2 4? ? ?

D. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11.已知直线 l 的参数方程: ?

?x ? t ? (t 为参数)和圆 C 的极坐标方程: ? ? 2 2 sin(? ? ) , 4 ? y ? 1 ? 2t

则直线 l 和圆 C 的位置关系为

12.在复平面内,复数 z1,z2 对应的点分别是(11,-7) , (1,-2) ,且 为虚数单位) ,则 z+y 的值为 13 .如图,函数 F ( x) ? f ( x) ? .

z1 ? x ? yi (其中 x, y ? R, i z2

1 2 x 的图象在点 P ( 5, F( 5 ) )处的切线方程是 y=ax 十 8,若 5
.

f (5) ? f '(5) ? ? 5,则实数 a=

14.若向量 a=(x 一 1,2) ,b=(4,y)相互垂直,则 9x+3y 的最小值为 15.如图,直线与抛物线 y2 =2px(p>0)交于 A、B 两点,且 OA⊥ OB,OD⊥ AB 于 D,若点 D 的 坐标为(2,1) ,则 p 的值等于 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知某单位有 50 名职工,从中按系统抽样 抽取 10 .... 名职工. (1)若第 5 组抽出的号码为 22,写出所有被抽出职 工的号码; (2)分别统计这 10 名职工的体重(单位:公斤) ,获 得体重数据的茎叶图如图所示,现从这 10 名 职工中随机抽取两名体重超过平均体重的职工,求体重为 76 公斤的 职工被抽取到的概率. 17. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边之长依次为 a,b,c,且 cos A= (1)求 cos 2C 和角 B 的值; (2)若 a-c= 2 ? 1 ,求△ ABC 的面积.

2 5 , 5(a2 ? b2 ? c2 ) ? 3 10ab 5

18. (本小题满分 12 分) 如图所示,已知圆 O 的直径 AB 长度为 4,点 D 为线段 AB 上一点,且 AD=

1 DB,点 C 为圆 O 3

上一点,且 BC= 3 AC.点 P 在圆 O 所在平面上 的正投影为点 D,PD=B D. (1)求证:CD⊥ 平面 PAB; (2)求 PD 与平面 PBC 所成的角的正弦值.

19. (本小题满分 13 分) 已知无穷数列{an}中,a1、a2、…am 构成首项为 2,公差为-2 的等差数列,am+1、am+2、…a2m 构 成首项为

1 1 ,公比为 的等比数列,其中 m≥3,m∈ N*. 2 2

(1)当 1≤n≤2rn,m∈ N*时求数列{an}的通项公式; (2)若对任意的 m∈ N*,都有 an+2m=an 成立, ① 当 a27 ?

1 时,求 m 的值; 64

② 记数列{an}的前 n 项和为 Sn 判断是否存在 m,使得 S4m+3≥2 成立?若存在,求出 m 的值;若 不存在,请说明理由,

20. (本小题满分 13 分) 如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 经过 a 2 b2
1 直线 l 的方 2

点 P (1, ) ,离心率 e=

3 2

程为 x=4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA, PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3 问:是否存在常数 ? ,使得 k1+k2= ? k3 若存在,求 ? 的值;若不存在,说明理由. 21. (本小题满分 13 分)

设函数 f ( x) ?

ex 2 ? k ( ? 1nx)(k 为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数) . 2 x x

(1)当 k≤0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 在(0,2)内存在两个极值点,求 k 的取值范围。


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