当前位置:首页 >> 数学 >>

14年一模导数


18、 (本小题共 13 分)
2 已知函数 f ? x ? ? ax ? 4ln ? x ? 1? , a ? R .

(1)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的单调区间; (2)已知点 P ?1 , 1? 和函数 f ? x ? 图象上动点 M ? m , f ? m?? ,对任意 m ? ? 2 , e ? 1? , 直线 PM 倾斜角

都是钝角,求 a 的取值范围. 解:⑴ 当 a ? 1 时, f ( x) ? x2 ? 4ln( x ? 1) ,定义域为 (1,? ?) ,

f ?( x) ? 2x ?

4 2x2 ? 2x ? 4 2( x ? 1)( x ? 2) ? ? x ?1 x ?1 x ?1 (1 ,2) x f ?( x) ?
f ( x)

(2 ,? ?)

?

↘ ↗ f ( x ) (2 , ? ? ) 所以当 a ? 1 时, 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 (1 ,2) . ⑵ 因为对任意 m ? [2 ,e ? 1] ,直线 PM 的倾斜角都是钝角, 所以对任意 m ? [2 ,e ? 1] ,直线 PM 的斜率小于 0,
f (m) ? 1 ? 0 , f (m) ? 1 , m ?1 即 f ( x) 在区间 [2 ,c ? 1] 上的最大值小于 1, 4 2(ax2 ? ax ? 2) x ? (1 ,? ?) , . f ?( x) ? 2ax ? ? x ?1 x ?1 令 g ( x) ? ax2 ? ax ? 2 ①当 a ? 0 时, f ( x) ? ?4ln( x ? 1) 在 [2 ,e ? 1] 上单调递减,



? 0 ,显然成立,所以 1 a?0. g ( x ) ②当 a ? 0 时,二次函数 的图象开口向下, g (0) ? ? 2 g (1) ? ? 2 且 , , ?x ?( 1 ,? ? ) g ( x) ? 0 , , 故 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (1,? ?) 上单调递减,

f ( x) ? f ( 2? ) m a x

故 f ( x) 在 [2 ,e ? 1] 上单调递减, f ( x)max ? f (2) ? 4a ? 1,显然成立,所以
a?0.

⑶ 当 a ? 0 时,二次函数 g ? x ? 的图象开口向上, 且 g ? 0 ? ? ?2 , g ?1? ? ?2 .

? ? ? ,当 x ? ?1,x0 ? 时, g ? x ? ? 0 . 所以 ?x0 ? ?1, ? ? ? 时, g ? x ? ? 0 . 当 x ? ? x0 , ? ? ? 内先递减再递增. 所以 f ? x ? 在区间 ?1, e ? 1? 上的最大值只能是 f ? 2 ? 或 f ? e ? 1? . 故 f ? x ? 在区间 ? 2 ,

1

? ? f ? 2 ? ? 1, 所以 ? ? ? f ? e ? 1? ? 1.

? 1 ?4a ? 1, 即? 所以 0 ? a ? . 2 4 a e ? 1 ? 4 ? 1 . ? ? ? ?

综上 a ?

1 . 4

(18) (本小题共 13 分) 已知曲线 f ( x ) ? ax ? e x ( a ? 0) . (Ⅰ)求曲线在点( 0, f (0) )处的切线方程; (Ⅱ)若存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围. 18.解: (Ⅰ)因为 f (0) ? ?1 ,所以切点为(0,-1). f ?( x) ? a ? e x , f ?(0) ? a ? 1 , 所以曲线在点( 0, f (0) )处的切线方程为:y=(a-1)x-1.-------------------4 分 (Ⅱ) (1)当 a>0 时,令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ln a . 因为 f ?( x) ? a ? e x 在 ( ??, ??) 上为减函数, 所以在 ( ??,ln a ) 内 f ?( x) ? 0 ,在 (ln a, ??) 内 f ?( x) ? 0 , 所以在 ( ??,ln a ) 内 f ( x ) 是增函数,在 (ln a, ??) 内 f ( x ) 是减函数, 所以 f ( x) 的最大值为 f (ln a) ? a ln a ? a 因为存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,所以 a ln a ? a ? 0 ,所以 a ? e . (2)当 a ? 0 时, f ?( x) ? a ? e x <0 恒成立,函数 f ( x) 在 R 上单调递减, 而 f ( ) ? 1 ? e a ? 0 ,即存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,所以 a ? 0 . 18. (本小题满分13分) 已知曲线 C : y ? eax . (Ⅰ)若曲线 C 在点 (0,1) 处的切线为 y ? 2 x ? m ,求实数 a 和 m 的值; (Ⅱ)对任意实数 a ,曲线 C 总在直线 l : y ? ax ? b 的上方,求实数 b 的取值范围. 18.解(Ⅰ) y? ? ae ,
ax

1 a

1

-----------------------------------2 分

因为曲线 C 在点(0,1)处的切线为 L: y ? 2x ? m ,

2

所以 1 ? 2 ? 0 ? m 且 y? |x ?0 ? 2 . 解得 m ? 1 , a ? 2 (Ⅱ)法 1:

----------------------------------4 分 -----------------------------------5 分

对于任意实数 a,曲线 C 总在直线的 y ? ax ? b 的上方,等价于 ?x, a ? R ,都有 eax ? ax ? b , 即?x, a ?R, eax ? ax ? b ? 0 恒成立, 令 g ( x) ? e ? ax ? b ,
ax

--------------------------------------6 分 ----------------------------------------7 分

①若 a=0,则 g ( x) ? 1 ? b , 所以实数 b 的取值范围是 b ? 1 ; ②若 a ? 0 , g ?( x) ? a(e ?1) ,
ax

----------------------------------------8 分

由 g '( x) ? 0 得 x ? 0 , g '( x), g ( x) 的情况如下:

----------------------------------------9 分

x
g '( x ) g ( x)

( - ?, 0)
?

0 0 极小值

(0,+?)
+ -----------------------------------------11 分

所以 g ( x) 的最小值为 g (0) ? 1 ? b , 所以实数 b 的取值范围是 b ? 1 ; 综上,实数 b 的取值范围是 b ? 1 . 18. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? x2 ? ax ? ln x(a ? R) . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的单调区间;

-------------------------------------------12 分

--------------------------------------13 分

1] 上是减函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 (0 ,
(Ⅲ)过坐标原点 O 作曲线 y ? f ( x) 的切线,证明:切点的横坐标为1 . 18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? x2 ? ax ? ln x

( x ? 0) ,
……………1 分

1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? f ?( x) ? 2 x ? 1 ? = , x x

3

1 1 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, x?( , ? ?) , f ?( x) ? 0 , 2 2 1 1 f ? x ? 的减区间为 (0, ) ,增区间 ( , ? ?) . 2 2 1 (Ⅱ) f ?( x ) ? 2 x ? a ? x
f ( x) 在区间 (0, 1] 上是减函数, ? f ?( x) ? 0 对任意 x ? (0, 1] 恒成立,
即 2x ? a ?

……………3 分

1 1] 恒成立, ? 0 对任意 x ? (0, x

……………5 分

?a ?

1 1] 恒成立, ? 2 x 对任意 x ? (0, x 1 令 g ( x) ? ? 2 x , x
……………7 分

?a ? g ( x)min ,
1] 单调递减,? g ( x)min ? g (1) ? ?1 . 易知 g ( x) 在 (0,
? a ? ?1 .

……………8 分

f (t )) , f ?( x ) ? 2 x ? a ? (Ⅲ)设切点为 M (t ,
1 t

1 , x

切线的斜率 k ? 2t ? a ? ,又切线过原点 k ?

f ?t ? , t

f ?t ? 1 ? 2t ? a ? ,即:t 2 ? at ? ln t ? 2t 2 ? at ? 1? t 2 ? 1 ? ln t ? 0 , t t
存在性: t ? 1 满足方程 t 2 ? 1 ? ln t ? 0 , 所以, t ? 1 是方程 t 2 ? 1 ? ln t ? 0 的根. 再证唯一性:设 ? ? t ? ? t ? 1 ? ln t , ? ' ? t ? ? 2t ? ? 0 ,
2

……………11 分

1 t

? (t ) 在 (0, ??) 单调递增,且 ? ?1? =0 ,
所以方程 t 2 ? 1 ? ln t ? 0 有唯一解. 综上,切点的横坐标为 1 . ……………13 分

18. (本小题满分 13 分)

4

x ? a, ? ? x ln x, 已知函数 f ( x) ? ? 2 其中 a≥0 . ? ?? x ? 2 x ? 3, x≤a,

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求 a 的取值范围. 18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由题意,得 f ?( x) ? ( x ln x)? ? ln x ? 1 ,其中 x ? 0 , 所以 f ?(1) ? 1 , 又因为 f (1) ? 0 , 所以函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 . (Ⅱ)解:先考察函数 g ( x) ? ? x ? 2 x ? 3 , x ? R 的图象,
2
2 配方得 g ( x) ? ?( x ? 1) ? 2 ,

…………… 2 分

…… 4 分

……………… 5 分

所以函数 g ( x) 在 (??,1) 上单调递增,在 (1, ??) 单调递减,且 g ( x)max ? g (1) ? ?2 .… 6 分 因为对于任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,

1. 所以 a≤

……………… 8 分

以下考察函数 h( x) ? x ln x , x ? (0, ??) 的图象, 则 h?( x) ? ln x ? 1 , 令 h?( x) ? ln x ? 1 ? 0 ,解得 x ?

随着 x 变化时, h( x) 和 h?( x ) 的变化情况如下:

1 . e

……………… 9 分

x
h?( x)

1 (0, ) e

1 e
0

1 ( , ? ?) e

?


?


h( x )
1 e

即 函 数 h( x) 在 (0, ) 上 单 调 递 减 , 在 (

1 , ?? ) 上 单 调 递 增 , 且 e

1 1 h( x ) m i ? . n h( ) ? ? e e
5

……………… 11 分

因为对于任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,
1 所以 a≥ . e

……………… 12 分

因为 ?

1 , ? ?2 (即 h( x)min ? g ( x)max ) e

所以 a 的取值范围为 [ ,1] .

1 e

……………… 13 分

6


相关文章:
14年一模导数
14年一模导数_数学_高中教育_教育专区。18、 (本小题共 13 分) 2 已知函数 f ? x ? ? ax ? 4ln ? x ? 1? , a ? R . (1)当 a ? 1 时,...
2014一模导数部分
2014一模导数部分_数学_高中教育_教育专区。2014最新导数复习 18. (2014海淀理本...ax 下方, 求 a 的取值范围. 19. (西城理本小题满分 14 分)已知椭圆 W ...
14理数一模 导数学生版
14理数一模 导数学生版_数学_高中教育_教育专区。2014 各区一模求导题 15 (2014 年东城一模理科) x ? a, ? ? x ln x, 16 (2014 年西城一模理科)已知函...
2014北京各城区文科一模导数
2014北京各城区文科一模导数_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2014北京各城区文科一模导数_数学_高中教育_教育专区。2014北京各城区文科...
2013年一模导数理
( x) 的单调区间,并求函数在区间[-2,-1] f ( x) 2013 年一模导数理 ...2.(共 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2e? x . 1...
2014导数模拟及高考题带答案全
导数模拟及高考题一.选择题(共 23 小题) 1. (2015?重庆一模) 函数 ( f ...难度较大. 14. (2013?浙江)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(e ...
2014年北京市各区高三一模试题汇编--函数与导数(理科)
2014年北京市各区高三一模试题汇编--函数与导数(理科)_数学_高中教育_教育专区...3 3 14 (2014 年延庆一模理科)对于函数 f ( x) ? e 个是(C) ? ? (...
2013一模导数理
2013 年北京市高三一模理科导数 (朝阳) (18) (本小题满分 13 分) 已知函数...(东城) (18) (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ?...
一模导数
2010 各区一模 导数与函数 3页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心...5.(本小题共 14 分) (崇文) 已知函数 f ( x ) ? x ? 6 ax ? 9 ...
导数15一模
导数15一模_数学_高中教育_教育专区。(丰台)18.(本小题共13分) 已知函数 f ( x) ? x ? e? x ? 1 . (I)求函数 f ( x ) 的极小值; (II)如果...
更多相关标签:
14年普陀数学一模 | 14年静安语文一模 | 14上海各区一模听力 | 导数历年高考题 | 导数是那一年 | 2016郑州市九年级一模 | 2016年金山区语文一模 | 2016年普陀区数学一模 |