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2011届数学高考复习名师精品教案:第02课时:第一章 集合与简易逻辑-集合的运算


第 02 课时:第一章

集合与简易逻辑—集合的运算

一.课题:集合的运算 二.教学目标:理解交集、并集、全集、补集的概念,掌握集合的运算性质,能 利用数轴或文氏图进行集合的运算,进一步掌握集合问题的常规处理方法. 三.教学重点:交集、并集、补集的求法,集合语言、集合思想的运用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.交集、并集、全集、补集的概念; 2. A ∩ B = A ? A ? B , A ∪ B = A ? A ? B ; 3. CU A ∩ CU B = CU ( A ∪ B) , CU A ∪ CU B = CU ( A ∩ B) . (二)主要方法: 1.求交集、并集、补集,要充分发挥数轴或文氏图的作用; 2.含参数的问题,要有讨论的意识,分类讨论时要防止在空集上出问题; 3.集合的化简是实施运算的前提,等价转化常是顺利解题的关键. (三)例题分析: 例 1 . 设 全 集 U = { x | 0 < x < 10, x ∈ N ?} , 若 A ∩ B = {3} , A ∩ CU B = {1,5, 7} ,

CU A ∩ CU B = {9} ,则 A = {1,3,5, 7} , B = {2,3, 4, 6,8} .
解法要点:利用文氏图. 例 2.已知集合 A = { x | x3 + 3 x 2 + 2 x > 0} , B = { x | x 2 + ax + b ≤ 0} ,若

A ∩ B = { x | 0 < x ≤ 2} , A ∪ B = { x | x > ?2} ,求实数 a 、 b 的值.
解:由 x3 + 3 x 2 + 2 x > 0 得 x( x + 1)( x + 2) > 0 ,∴ ?2 < x < ?1 或 x > 0 , ∴ A = (?2, ?1) ∪ (0, +∞) ,又∵ A ∩ B = { x | 0 < x ≤ 2} ,且 A ∪ B = { x | x > ?2} , ∴ B = [?1, 2] ,∴ ?1 和 2 是方程 x 2 + ax + b = 0 的根,

a = ?1 由韦达定理得: ?1 + 2 = ? a ,∴ . ?1× 2 = b b = ?2 说明:区间的交、并、补问题,要重视数轴的运用.
例 3.已知集合 A = {( x, y ) | x ? 2 y = 0} , B = {( x, y ) |
y ?1 = 0} ,则 A ∩ B = φ ; x?2

{

{

A ∪ B = {( x, y ) | ( x ? 2 y )( y ? 1) = 0} ;(参见《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 6 题). 解法要点:作图. 注意:化简 B = {( x, y ) | y = 1, x ≠ 2} , (2,1) ∈ A . 例 4.(《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 15 题)已知集合 1 5 A = { y | y 2 ? (a 2 + a + 1) y + a(a 2 + 1) > 0} , B = { y | y = x 2 ? x + , 0 ≤ x ≤ 3} , 2 2 若 A ∩ B = φ ,求实数 a 的取值范围. 解答见教师用书第 9 页.

例 5.(《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 16 题)已知集合
A = {( x, y ) | x 2 + mx ? y + 2 = 0, x ∈ R} , B = {( x, y ) | x ? y + 1 = 0, 0 ≤ x ≤ 2} ,

若 A ∩ B ≠ φ ,求实数 m 的取值范围. 分析: 本题的几何背景是: 抛物线 y = x 2 + mx + 2 与线段 y = x + 1(0 ≤ x ≤ 2) 有公共 点,求实数 m 的取值范围. 解法一:由

{

x 2 + mx ? y + 2 = 0 得 x 2 + (m ? 1) x + 1 = 0 x ? y +1 = 0



∵ A ∩ B ≠ φ ,∴方程①在区间 [0, 2] 上至少有一个实数解, 首先,由 ? = (m ? 1)2 ? 4 ≥ 0 ,解得: m ≥ 3 或 m ≤ ?1 . 设方程①的两个根为 x1 、 x2 , (1)当 m ≥ 3 时,由 x1 + x2 = ?(m ? 1) < 0 及 x1 ? x2 = 1 知 x1 、x2 都是负数,不合题意; (2)当 m ≤ ?1 时,由 x1 + x2 = ?(m ? 1) > 0 及 x1 ? x2 = 1 > 0 知 x1 、 x2 是互为倒数的 两个正数, 故 x1 、 x2 必有一个在区间 [0,1] 内,从而知方程①在区间 [0, 2] 上至少有一个实数 解, 综上所述,实数 m 的取值范围为 (?∞, ?1] .

2 解法二:问题等价于方程组 y = x + mx + 2 在 [0, 2] 上有解, y = x +1

{

即 x 2 + (m ? 1) x + 1 = 0 在[0, 2] 上有解, 令 f ( x) = x 2 + (m ? 1) x + 1 ,则由 f (0) = 1 知抛物线 y = f ( x) 过点 (0,1) , ∴抛物线 y = f ( x) 在[0, 2] 上与 x 轴有交点等价于 f (2) = 22 + 2(m ? 1) + 1 ≤ 0 ①

?? = (m ? 1)2 ? 4 ≥ 0 ? 1? m ② 或 ?0 < <2 2 2 ? ? f (2) = 2 + 2(m ? 1) + 1 > 0 3 3 由①得 m ≤ ? ,由②得 ? < m ≤ 1 , 2 2
∴实数 m 的取值范围为 (?∞, ?1] . (四)巩固练习: 1.设全集为 U ,在下列条件中,是 B ? A 的充要条件的有



D



① A ∪ B = A ,② CU A ∩ B = φ ,③ CU A ? CU B ,④ A ∪ CU B = U , ( A) 1 个
( B) 2 个 (C ) 3 个
( D) 4 个

2.集合 A = {( x, y ) | y = a | x |} , B = {( x, y ) | y = x + a} ,若 A ∩ B 为单元素集,实数

a 的取值范围为 [?1,1] .


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