沈阳二中 2015—2016 学年度上学期期中考试 高三（16 届）数学（理科）试题
命题人：高三数学组 审校人：高三数学组
说明：1.测试时间：120 分钟 总分：150 分. 2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.
第Ⅰ卷（60 分）
一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每题只有一个正确答案，将正确答 案的序号涂在答题卡上.） 1.数列 2,5,11,20, x ,47,?中, x 的值等于( A.28 B.32 C.33 ) D.27
2.已知集合 A ? ??1,1? ， B ? ?x | ax ? 2 ? 0? ，若 B ? A ,则实数 a 的所有可能取值的集合为 （ A. ）
??2?
B.
?2?
B. y =
C.
??2, 2?
）
D.
??2,0, 2?
3. 下列函数中，最小值为 4 的是（ A. y ? x ? 4 x C. y = e x + 4ex
2( x 2 + 3) x2 + 2
4 ?0 ? x ? ? ? sin x
) C． a ? b ? c D． b ? c ? a
D. y = sin x +
4．设 a ? 30.5 ， b ? log 3 2 ， c ? cos 2 ，则( A． c ? b ? a B． c ? a ? b
5. 下列叙述中，正确的个数是（
）
①命题 p ：“ ?x ? R，x2 ? 2 ≥ 0 ”的否定形式为 ?p ：“ ?x ? R，x2 ? 2 ? 0 ”；
??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ②O 是△ABC 所在平面上一点，若 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ，则 O 是△ABC 的垂心；
2 2 ③“M＞N”是“ ( )M ? ( ) N ”的充分不必要条件； 3 3
④命题“若 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ，则 x ? 4 ”的逆否命题为“若 x ? 4 ，则 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ”． A.1 B.2 C.3 D.4 6.四面体 SABC 的各棱长都相等，如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点，那么异面直线 EF 与 SA 所 成的角等于( ) A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
7. 已知
是等差数列
的前 项和，若 a7 ? 9a3 ，则
S9 ? ( S5
)
-1-
A．
B．
C． )
D．
8. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( A. 4 C. B.
20 3
26 3
D. 8
（第 8 题图）
??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ??? ? ???? 9.如图，平面内有三个向量 OA , OB , OC ，其中 OA 与 OB 的夹角为 120? ，OA 与 OC 的夹角
??? ? ??? ? 3 ???? ???? ??? ? ??? ? 为 30? ，且 | OA |? 2 , | OB |? , | OC |? 2 3 ，若 OC ? ?OA ? ?OB (? , ? ? R) ，则( 2 8 3 A. ? ? 4 , ? ? 2 B. ? ? , ? ? 3 2 4 3 4 C. ? ? 2 , ? ? D. ? ? , ? ? 3 2 3
（第 9 题图）
)
10.定义在 R 上的奇函数 f ( x) ，当 x ? 0 时， f ( x) ? ?
? log 1 ( x ? 1), x ? ? 0, 2 ? ? 3
? ?1 ? x ? 4 , x ? ? 2, ?? ?
) D． 1 ? 3
?a
，则关于 x 的函
数 F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为(
a A． 3 ? 1
B． 1 ? 3
a
C． 3
?a
?1
11．如图，正五边形 ABCDE 的边长为 2，甲同学在 ?ABC 中用余弦定理解得
A B E
AC ? 8 ? 8cos108? ，乙同学在 Rt ?ACH 中解得 AC ?
可得 cos 72 的值所在区间为( A.
?
1 ，据此 cos 72?
) C.
C
H
D
? 0.1,0.2?
2x
B.
? 0.2,0.3?
? 0.3,0.4?
D.
?0.4,0.5 ?
（第 11 题图）
12．已知 f ( x) ? e , g ( x ) ? ln x ? 的最小值为（ A. 1 ? ）
1 (0, ?? ) ，使得 f (a) ? g (b) ，则 b ? a ，对 ?a ? R, ?b ? 2
1 ln 2 2
C.
1 ln 2 2
B. 1 ?
e?
1 2
D.
e2 1 ? 2 4
-2-
第Ⅱ卷（90 分）
二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．由直线 x ? 0 ， x ?
2? ， y ? 0 与曲线 y ? 2sin x 所围成的图形的面积等于 3
．
.
?x ? 2 y ? 4 ? 0 x? y?3 ? x?2 14．已知变量 x, y 满足 ? ,则 的取值范围是 x?2 ? x? y?2?0 ?
15．如图，在棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧棱 A 1 A和B 1 B 上各有
B1
C1
Q
A1
M 是棱 CA 上的动点， 一个动点 P, Q ，且满足 A 1 P ? BQ ，
则
B C M
（第 15 题图）
VM ? ABQP VABC ? A1B1C1 ? VM ? ABQP
P A
的最大值是
．
16． 设首项不为零的等差数列 {an } 前 n 项之和是 Sn ， 若不等式 an 2 ? 正整数 n 恒成立，则实数 ? 的最大值为 .
Sn 2 ? ? a12 对任意 {an } 和 2 n
三、解答题： （本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） ( x ? R )．
17． （本小题满分 10 分）已知函数 （I）求函数 （II） 的单调递增区间； 内角 的对边长分别为 ，若
且
试求 B 和 C.
18. （本小题满分 12 分）设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ，且 2an ? Sn ? 2n ? 1 (n ? N ) .
?
（Ⅰ）求证：数列 ?an ? 2? 是等比数列； （Ⅱ）求数列 ?n ? an ? 的前 n 项和 Tn .
-3-
C
B
19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P－ABCD 中， 底面 ABCD 为平行四边形，E 为侧棱 PA 的中点． （Ⅰ）求证：PC//平面 BDE； （Ⅱ）若 PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面 BDE⊥平面 PAB．
D E P （第 19 题图）
A
20． （本小题满分 12 分）“水资源与永恒发展”是 2015 年联合国世界水资源日主题．近年来， 某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约 4 万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用 4 年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面 积(单位：平方米)成正比，比例系数约为 0.2. 为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和 自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年 向自来水厂缴纳的水费 ．． C( 单位：万元 ) 与安装的这种净水设备的占地面积 x( 单位：平方米 ) 之间的函数关系是
C ( x) =
k (x≥0，k 为常数)．记 y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共 ． 50 x + 250
将 消耗的水费之和． ． (Ⅰ) 试解释 C (0) 的实际意义，请建立 y 关于 x 的函数关系式并化简； (Ⅱ) 当 x 为多少平方米时，y 取得最小值？最小值是多少万元？
1 3 1 2 ax ? bx ? cx(a, b, c ? R, a ? 0) 的图象在点 3 2 1 ? x, f ( x) ? 处的切线的斜率为 k ( x) ，且函数 g ( x) ? k ( x) ? 2 x 为偶函数.若函数 k ( x) 满足下列 1 2 1 条件：① k (?1) ? 0 ；②对一切实数 x ，不等式 k ( x) ? x ? 恒成立. 2 2 （Ⅰ）求函数 k ( x) 的表达式； 1 1 1 2n ? ??? ? （Ⅱ）求证： (n ? N? ) . k (1) k (2) k ( n) n ? 2
21． （本小题满分 12 分）设函数 f ( x) ?
22． （本题满分12分）已知函数 f ( x) ? ln(2ax ? 1) ?
x3 ? x 2 ? 2ax(a ? R) ． 3
（Ⅰ）若 x ? 2 为 f ( x ) 的极值点，求实数 a 的值； （Ⅱ）若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数，求实数 a 的取值范围； （Ⅲ）当 a ? ?
3 1 1? x? b 时，方程 f (1 ? x) ? ? ? 有实根，求实数 b 的最大值. 2 3 x
-4-
沈阳二中 2015—2016 学年度上学期期中考试 高三（16 届）数学（理科）试题 参考答案及评分标准
1-5：BDCAC 13.3
6-10：CABCB
11-12：CA 15.
14. ? , ? ?4 2?
?5 5?
1 2
16.
1 5
?2 分
17．解： （Ⅰ）∵
∴故函数
的递增区间为
(
Z) ??????4 分
（Ⅱ）
，∴
．
∵
，∴
，∴
，即
． ???6 分
由正弦定理得：
，∴
，
∵
，∴
或
．???8 分
当
时，
；当
时，
． （舍）所以
,
. ????10 分
18.解： （Ⅰ）因为 2an ? Sn ? 2n ?1 ，所以有 2an?1 ? Sn?1 ? 2n ? 3 成立. 两式相减得： 2an?1 ? 2an ? an?1 ? 2 . ????1 分 ????3 分
所以 an?1 ? 2an ? 2 (n ? N? ) ，即 an?1 ? 2 ? 2(an ? 2) .
所以数列 ?an ? 2? 是以 a1 ? 2 ? 5 为首项，公比为 2 的等比数列. ?????4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得： an ? 2 ? 5 ? 2n?1 ，即 an ? 5 ? 2n?1 ? 2 (n ? N ) . 则 nan ? 5n ? 2n?1 ? 2n (n ? N ) . ?????7 分
n ?1 设数列 5n ? 2 的前 n 项和为 P n,
?
?
?
?
-5-
0 1 2 n ?2 则P ? 5? n ? 2n?1 ， n ? 5 ?1? 2 ? 5 ? 2 ? 2 ? 5 ? 3? 2 ? ... ? 5 ? (n ? 1) ? 2 1 2 3 n?1 所以 2P ? 5n ? 2n ， n ? 5 ?1? 2 ? 5 ? 2 ? 2 ? 5 ? 3 ? 2 ? ... ? 5(n ?1) ? 2 1 2 n?1 所以 ?P ) ? 5n ? 2n ， n ? 5(1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2
? n 即P n ? (5n ? 5) ? 2 ? 5 (n ? N ) . ?????11 分
n 所以数列 ?n ? an ? 的前 n 项和 Tn = (5n ? 5) ? 2 ? 5 ? 2 ?
n(n ? 1) ， 2
整理得， Tn ? (5n ? 5) ? 2n ? n2 ? n ? 5 (n ? N? ) .?????12 分
19．证明： （1）连结 AC，交 BD 于 O，连结 OE． 因为 ABCD 是平行四边形，所以 OA＝OC．?????????????????2 分 因为 E 为侧棱 PA 的中点，所以 OE∥PC．??????????????????4 分 因为 PC/ ?平面 BDE，OE?平面 BDE，所以 PC //平面 BDE．???????????6 分 （2）因为 E 为 PA 中点，PD＝AD，所以 PA⊥DE．??????????????8 分 因为 PC⊥PA，OE∥PC，所以 PA⊥OE． 因为 OE?平面 BDE，DE?平面 BDE，OE∩DE＝E， 所以 PA⊥平面 BDE．????????????10 分 因为 PA?平面 PAB，所以平面 BDE⊥平面 PAB．?????12 分 D E P 20. (Ⅰ) C (0) 表示不安装设备时每年缴纳的水费为 4 万元 ????2 分 A C O B
? C (0) =
k = 4 ，? k ? 1000 ；????3 分 250 1000 80 y ? 0.2 x ? ? 4 ? 0.2 x ? （x≥0）﹒????5 分 50 x ? 250 x?5 80 ? 1 ? 2 16 ? 1 ? 7 ????8 分 (Ⅱ) y ? 0.2( x ? 5) ? x?5 80 ? 4 时，即 x ? 15 时有最小值，最小值为 ymin = 7 ????11 分 当 0.2( x ? 5) ? x?5
? 当 x 为 15 平方米时，y 取得最小值 7 万元 ????12 分
21.（Ⅰ）解：由已知得： k ( x) ? f ?( x) ? ax ? bx ? c . ????1 分
2
2 由 g ( x) ? ax ? bx ? c ?
1 1 x 为偶函数，有 b ? . ????2 分 2 2
-6-
又 k (?1) ? 0 ，所以 a ? b ? c ? 0 ，即 a ? c ? 因为 k ( x) ?
1 . ????3 分 2
1 2 1 x ? 对一切实数 x 恒成立，即对一切实数 x ，不等式 2 2
1 1 1 1 (a ? ) x 2 ? x ? c ? ? 0 恒成立. 当 a ? 时，不符合题意. ????4 分 2 2 2 2
1 ? a ? ? 0, ? 1 ? 2 当 a ? 时， ? 2 ?? ? 1 ? 4( a ? 1 )(c ? 1 ) ? 0. ? ? 4 2 2
所以 k ( x) ?
a?c ?
1 1 ，得 a ? c ? . 2 4
1 2 1 1 x ? x? . 4 2 4
?????6 分
（Ⅱ）证明： k (n) ?
n 2 ? 2n ? 1 (n ? 1) 2 1 4 ? ? ，所以 . 4 4 k (n) (n ? 1) 2
因为
1 1 1 1 ? ? ? ,????10 分 2 (n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
所以 4 ?
?1 1 1 ? 1 1 ? 4n ?1 1 1 1 ? ? ? ? ? 4? ? ? ? ??? ? ?11 分 ?? 2? 2 2 n ? 1 n ? 2 ? 2n ? 4 ?2 3 3 4 ? n ? 1? ? ?2 3 ? ?
所以
1 1 1 2n ? ??? ? 成立????12 分 k (1) k (2) k ( n) n ? 2
22. 解： （Ⅰ） f '( x) ?
x? 2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2) ? 2a ? ? ．??1 分 2 ? x ? 2 x ? 2a ? 2ax ? 1 2ax ? 1
因为 x ? 2 为 f ( x ) 的极值点，所以 f '(2) ? 0 ． 即
2a ? 2a ? 0 ，解得 a ? 0 ．??2 分 4a ? 1
又当 a ? 0 时， f '( x) ? x( x ? 2) ，从而 x ? 2 为 f ( x ) 的极值点成立．????3 分 （Ⅱ）因为 f ( x ) 在区间 ?3, ?? ? 上为增函数， 所以 f '( x) ?
2 2 x? ?2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ? ?
2ax ? 1
? 0 在区间 ?3, ?? ? 上恒成立．???4 分
①当 a ? 0 时， f '( x) ? x( x ? 2) ? 0 在 ?3, ?? ? 上恒成立，所以 f ( x ) 在 ?3, ?? ? 上为增函数， 故 a ? 0 符合题意．????????????????5 分 ②当 a ? 0 时， 由函数 f ( x ) 的定义域可知， 必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立， 故只能 a ? 0 ， 所以 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ? 0 在 ?3, ?? ? 上恒成立． ??????6 分
-7-
令 g ( x) ? 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ，其对称轴为 x ? 1 ? 因为 a ? 0 所以 1 ?
1 ， 4a
1 ? 1 ，从而 g ( x) ? 0 在 ?3, ?? ? 上恒成立，只要 g (3) ? 0 即可， 4a
因为 g (3) ? ?4a2 ? 6a ? 1 ? 0 ， 解得
3 ? 13 3 ? 13 ．????????????7 分 ?a? 4 4 3 ? 13 ． 4
? 3 ? 13 ? ? ．?????????8 分 4 ? ?
因为 a ? 0 ，所以 0 ? a ?
综上所述， a 的取值范围为 ? 0,
（Ⅲ）若 a ? ?
3 1 ?1 ? x ? ? b 可化为 ln x ? (1 ? x)2 ? (1 ? x) ? b ． 时，方程 f (1 ? x) ? 2 x 3 x
问题转化为 b ? x ln x ? x(1 ? x)2 ? x(1 ? x) ? x ln x ? x2 ? x3 在 ? 0, ??? 上有解， 即求函数 g ( x) ? x ln x ? x2 ? x3 的值域．??????????9 分 因为 g ( x) ? x(ln x ? x ? x2 ) ，令 h( x) ? ln x ? x ? x2 ， 则 h '( x) ?
1 (2 x ? 1)(1 ? x) ?1? 2x ? ，??????????10 分 x x
所以当 0 ? x ? 1 时 h '( x) ? 0 ，从而 h( x) 在 ? 0,1? 上为增函数， 当 x ? 1 时 h '( x) ? 0 ，从而 h( x) 在 ?1, ?? ? 上为减函数，?????11 分 因此 h( x) ? h(1) ? 0 ．而 x ? 0 ，故 b ? x ? h( x) ? 0 ， 因此当 x ? 1 时， b 取得最大值 0．?????????????12 分
-8-