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高中数学 §3.4基本不等式第2课时教案 新人教A版必修5


高中数学 §3.4 基本不等式第 2 课时教案 新人教 A 版必修 5
备课人 课题 §3.4 基本不等式 ab ? 授课时间

课标要求

a?b (第 2 课时) 2 a?b 进一步掌握基本不等式 ab ? 2
会应用此不等式求某些函数的最值; 能够解决一些简单的实 知识目标 际问题 通过两个例题的研究, 进一步掌握基本不等式 ab ?

教 学 目 标

技能目标 情感态度价值观

a?b 2

引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养 实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

重点 难点

a?b 的应用 2 a?b 利用基本不等式 ab ? 求最大值、最小值 2
基本不等式 ab ? 问题与情境及教师活动 学生活动

1.课题导入
1.重要不等式: 如 教 学 过 程 及 方 法 果
2

a, b ? R, 那么a ? b ? 2ab(当且仅当a ? b时取" ?"号)
2

2 . 基 本 不 等 式 : 如 果

a,b

是 正 数 , 那 么

a?b ? ab (当且仅当a ? b时取" ?"号). 2 a?b ?? 我们称 为a, b 的算术平均数,称 ab为a, b 的几何 2
平均数?

a 2 ? b 2 ? 2ab和

a?b 2

? ab 成立的条件是不同的: 前者只要

求 a,b 都是实数,而后者要求 a,b 都是正数。

2.讲授新课
例 1(1)用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园,问这个矩 形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最短的篱笆是多少? (2)段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这 个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?
2

1
1

河北武中·宏达教育集团教师课时教案 问题与情境及教师活动 解: (1)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m,则 xy=100,篱笆的长 为 2 ( x+y ) m 。 由

学生活动

2( x ? y) ? 40 。等号当且仅当 x=y 时成立,此时 x=y=10.
因此,这个矩形的长、宽都为 10m 时,所用的篱笆最短,最短的篱 笆是 40m. (2)解法一:设矩形菜园的宽为 x m,则长为(36-2x)m,其中 0<x<

x? y ? xy , 可 得 2

x ? y ? 2 100 ,

1 ,其面积 2 1 1 2 x ? 36 ? 2 x 2 362 ·2x(36-2x)≤ ( ) ? 2 8 2 2

S=x(36-2x)=

教 学 过 程 及 方 法

当且仅当 2x=36-2x,即 x=9 时菜园面积最大,即菜园长 9m,宽 2 为 9 m 时菜园面积最大为 81 m 解法二:设矩形菜园的长为 x m.,宽为 y m ,则 2(x+y)=36, x+y=18, 矩形菜园的面积为 xy m 2 。由

xy ?

x ? y 18 ? ? 9 ,可得 2 2

xy ? 81

当且仅当 x=y,即 x=y=9 时,等号成立。 因此,这个矩形的长、宽都为 9m 时,菜园的面积最大,最大面积是 81m 2 归纳:1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若 a,b ∈R ,且 a+b=M,M 为定值,则 ab≤ 立. 2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若 a,b∈R , 且 ab=P,P 为定值,则 a+b≥2 P ,等号当且仅当 a=b 时成立. 3 例 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m ,深为 2 2 3m,如果池底每 1m 的造价为 150 元,池壁每 1m 的造价为 120 元,问怎 样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系 式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理。 解: 设水池底面一边的长度为 xm, 水池的总造价为 l 元, 根据题意, 得
+ +

M2 ,等号当且仅当 a=b 时成 4

l ? 240000 ? 720 ( x ?

1600 ) x

2 河北武中·宏达教育集团教师课时教案
2

问题与情境及教师活动

学生活动

? 240000 ? 720 ? 2 x ?

1600 x ? 240000 ? 720 ? 2 ? 40 ? 297600

当x ?

1600 ,即x ? 40时, l有最小值2976000 . x

教 学 过 程 及 方 法

因此,当水池的底面是边长为 40m 的正方形时,水池的总造价最低,最 低总造价是 297600 元 归纳:用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的 变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最 小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案.

3.随堂练习
1.已知 x≠0,当 x 取什么值时,x + 2.课本第 113 页的练习 1、2、3、4
2

81 的值最小?最小值是多少? x2

4.课时小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解 决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值,是值得重视 的一种方法,但在具体求解时,应注意考查下列三个条件: (1)函数的解析式中,各项均为正数; (2)函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值; (3)函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值 即用均值不 等式求某些函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等。
王新敞
奎屯 新疆

教 学 小 结 课 后 反 思 3

3


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