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余弦定理教案设计


余弦定理

余 弦 定 理
一、教材分析
本节主要研究 xxxxxx,分两课时,这里是第一课时。它是在学生已经学习了正
弦定理的内容,初步掌握了正弦定理的证明及应用,并明确了用正弦定理可以来解三角形的 基础上进行学习的。通过利用平面几何法、坐标法(两点的距离公式)、向量的模,正

弦定理等方法推导余弦定理,学生会正确理解余弦定理的结构特征和表现形式, 解决“边、角、边”和“边、边、边”问题,初步体会余弦定理解决“边、边、 角”问题,体会方程思想,理解余弦定理是勾股定理的特例, 从多视角思考问题 和发现问题,形成良好的思维品质,激发学生探究数学,应用数学的潜能,培养学 生思维的广阔性。

二、学情分析
本课之前,学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容, 对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余 弦定理,学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识 不强,创造力较弱,看待与分析问题不深入,知识的系统性不完善,使得学生在 余弦定理推导方法的探求上有一定的难度,在发掘出余弦定理的结构特征、表现 形式的数学美时,能够激发学生热爱数学的思想感情;从具体问题中抽象出数学 的本质,应用方程的思想去审视,解决问题是学生学习的一大难点。

本节内容是人教 B 版普通高中课程标准实验教科书必修 5 第一章第一节余弦定理的第一 课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理,是解决有关三角形问题与实际应用 问题(如测量等)的重要定理,它将三角形的边和角有机的结合起来,实现了 "边"和"角"的 互化,从而使"三角"与"几何"有机的结合起来,为求与三角形有关的问题提供了理论依据, 同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。教科书首先通过设问 的方式,指出了"已知三角形的两边和夹角,无法用正弦定理去解三角形",进而通过直角三 角形中的勾股定理引导学生去探究一般三角形中的边角关系,然后通过构造直角三角形去完

余弦定理

成对余弦定理的推证过程,教科书上还进一步的启发学生用向量的方法去证明余弦定理,最 后 通 过 3 个 例 题 巩 固 学 生 对 余 弦 定 理 的 应 用 。

在学习本节课之前,学生已经学习了正弦定理的内容,初步掌握了正弦定理的证明及应 用,并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在此基础上,教师可以创设一个"已知 三角形两边及夹角"来解三角形的实际例子, 学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问 题,从而引发学生的学习兴趣,引出这一节的内容。在对余弦定理教学中时,考虑到它比正 弦定理形式上更加复杂, 教师可以有目的的提供一些供研究的素材, 并作必要的启发和引导, 让学生进行思考,通过类比、联想、质疑、探究等步骤,辅以小组合作学习,建立猜想,获 得命题,再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时,学生可能会遇到证明思 路上的困难,教师可以适当的点拨

三、设计思想
新课程的数学提倡学生动手实践,自主探索,合作交流,深刻地理解基本结 论的本质,体验数学发现和创造的历程,力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进 行思考,作出判断;同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引 导者、合作者转化,从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求 新课程要求,利用师生的互动合作,提高学生的数学思维能力,发展学生的数学 应用意识和创新意识,深刻地体会数学思想方法及数学的应用,激发学生探究数 学、应用数学知识的潜能。

四、教学目标
1.知识与技能目标:掌握余弦定理的两组表示形式及证明余弦定理的向量方 法,深化与细化方程思想,理解余弦定理的本质,并会运用余弦定理解决两类基 本的解三角形问题。 2.过程与方法目标:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握
运用余弦定理,解决两类基本的解三角形问题。

3.情感态度与价值观目标:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能
力;通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系

余弦定理

与辩证统一。

五、教学重点与难点
教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用;教学难点是用向量的数量 积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。 六、教学过程: 教学 环节 合作探究活动 学情分析与设计意 图

知识 回顾

1、一般三角形全等的四种判断方法是什么? 回顾旧知,防止遗 a b c ? ? 2、三角形的正弦定理内容 ,主 sin A sin A sin C 忘 要解决哪几类问题的三角形? 你能判断下列三角形的类型吗? 1、以 3,4,5 为各边长的三角形是_____三角形 学生可能比较茫 然,帮助学生分析 相关内容,从多角 践进行检验。 以 2,3,4 为各边长的三角形是_____三角形 以 4,5,6 为各边长的三角形是_____三角形 边长吗? 引导学生从平面几何、实践作图方面进行估计判断。 你能够有更好的具体的量化方法吗?

创设 引入

2、在△ABC 中 a=8,b=5,∠c=60°,你能求 c 度看待问题,用实

提出 问题

帮助学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法 等方面进行分析讨论,选择简洁的处理工具,引发学 生的积极讨论。

引导学生从相关知 识入手,选择简洁 的工具。

余弦定理

利用向量法推导余弦定理: 如图:设 CB ? a, CA ? b, AB ? C, , 由三角形法则有 c ? a ? b
A

学生对向量知识可 能遗忘, 注意复习;

b
a

c

在利用数量积时,
B角度可能出现错

c ? c?c ? a ?b ? a ?b
合作 探究

2

? ?? ?

C

误,出现不同的表 示形式,让学生从 错误中发现问题, 巩固向量知识,明 确向量工具的作 用。同时,让学生 明确数学中的转化 思想:化未知为已 知。

   ? a ? a ? b ? b ? 2a ? b    ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosc 即:△ABC中 : c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosc
同理,让学生利用相同方法推导,

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2a cos B

余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 归纳 概括
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

知识归纳比较,发 现特征,加强识记

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 观察余弦定理,指明了三边长与其中一角的具体关 系,并发现 a 与 A,b 与 B,C 与 c 之间的对应表述, 同时发现三边长的平方在余弦定理中同时出现 余弦定理的推论: cos A ?
b2 ? c2 ? a2 2bc cosC ? a2 ? b2 ? c2 2ab

使学生明确对应关 系, 树立方程思想, 解决“边、角、边” 问题

结构 分析

知识 联系
cos B ? a2 ? c2 ? b2 2ac

解决“边、边、边” 问题

用准确的量化关系 方法 应用 怎样准确地解答引入中的两个问题? 怎样利用已知条件判断三角形的形状? 去解决问题,用边 长去判断三角形形 状,勾股定理是余

余弦定理

弦定理特例。

应用数学知识求解 问题加强计算器的 知识 应用 例 1 :在△ ABC 中,已知 b = 60cm , c = 34cm , A=41°,求解三角形(角度精确到 1°,边长精确 到 1cm) 例 2:在△ABC 中,已知 a=134.6cm,b=87.8cm,c =161.7cm,解三角形(角度精确到 1′) 运算功能,同时, 巩固好正弦定理, 余弦定理知识,发 现两种知识方法在 解三角形中的综合 应用。 继续深化正弦、余 例 3: 已知△ABC 中 a ? 3, b ? 3, sin A ? 知识 深化 分析:(1)用正弦定理分析引导
2 2 2

6 求 c 边长 弦定理,尤其是余 3 弦定理的方程思想
求解问题优越于余

(2)应用余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 构造 弦定理。并让学生 关于 C 的方程求解。 初步发现“边、边、 (3)比较两种方法的利弊。能用正弦定理解决 角”问题解法,为 的问题均可以用余弦定理解决,更具有优越性。 下节学习辅垫。

余弦定理

1、某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看 见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆 与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离

d1 与第二辆车的距离 d 2 之间关系为(
A: d1 > d 2 练习 检测 C: d1 < d 2 B: d1 = d 2 D:大小不确定

) 用练习去巩固所学 知识,使学生逐步 形成良好的知识结 ) 构,加强数学知识 应用能力的培养。

2、锐角△ABC 中 b=1,c=2,则 a 取值为( A:(1,3) C:( 3 ,2) B:(1, 3 ) D:( 3 , 5 )

3、在△ABC 中若有 a cos A ? b cos B ,你能判断这个 三角形的形状吗?若 a cos B ? b cos A 呢?

课堂 小结

1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题?各有什 通过知识回顾,使 么利与弊? 学生各自体会收 2、从本课中你学到了哪些知识和方法? 获。

板书 设计

1、推导余弦定理及其推论 2、例 3、例 4 3、练习指导 4、小结投影正弦、余弦定理,比较它们理解知识

作业 设计

1、讨论余弦定理的其它解法设计思路。 2、第 11 页 A 组 3、4 题

巩固知识 多角度看待问题

七、教学反思
本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的 联系,又要使学生明确本课学习的重点,将新旧知识逐渐地融为一体,构建比较

余弦定理

完整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导,只有当学 生正确地理解了余弦定理的本质,才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求 在型(模型、类型),质(实质、本质),思(思维、思想方法)上达到教学效 果。本课之前学生已学习过三角函数,平面几何,平面向量、解析几何、正弦定 理等与本课紧密联系的内容,使本课有了较多的处理工具,也使余弦定理的探讨 有了更加简洁的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系,重视数学 思想的教学,加深对数学概念本质的理解,认识数学与实际的联系,学会应用数 学知识和方法解决一些实际问题。学生应用数学的意识不强,创造力不足、看待 问题不深入, 很大原因在于学生的知识系统不够完善。 因此本课运用联系的观点, 从多角度看待问题,在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行 示范引导,将旧知识与新知识进行重组拟合及提高,帮助学生建立自己的良好知 识结构。

点评:
本课是在学生学习了三角函数、平面几何、平面向量、正 弦定理的基础上而设置的教学内容,因此本课的教学有较多的 处理办法。李老师从解三角形的问题出发,提出解题需要,引 发认知冲突,激起学生的求知欲望,调动了学生的学习积极性; 在定理证明的教学中,引导学生从平面几何、三角函数、向量 知识、坐标法等方面进行分析讨论,注意分析思路,揭示蕴含 在证明中的数学思想,最后引导学生用向量知识推导出公式
c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC , 在给出余弦定理的三个等式和三个推论之

后,又对知识进行了归纳比较,发现特征,便于学生识记,同 时也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形,提高了学生的思 维层次。 命题的应用是命题教学的一个重要环节,学习命题的重要目的是

余弦定理

应用命题去解决问题。所以,例题的精选、讲解是至关重要的。设计 中的例 1、例 2 是常规题,让学生应用数学知识求解问题,巩固正弦 定理、余弦定理知识。例 3 是已知两边一对角,求解三角形问题,可 用正弦定理求之,也可用余弦定理求解,通过比较分析,突出了正、 余弦定理的联系, 深化了对两个定理的理解, 培养了解决问题的能力。 但李老师在对例 3 解法的总结时,指出“能用正弦定理解决的问题均 可以用余弦定理解决,更具有优越性。”这结论有点片面。 本课在继承了传统数学教学模式优点,结合新课程的要求进行改 进和发展,以发展学生的数学思维能力为主线,发挥教师的设计者, 组织者作用,在使学生掌握知识的同时,帮助学生摸索自己的学习方 法。


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