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2016届高三数学考前指导(数学附加篇)


数学之战

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2016 届数学考前指导 “考前最后一眼”【附加篇】
一、矩阵

?cos θ -sin θ? 1.旋转矩阵:? ; ?(逆时针转) ?sin θ cos θ? 2.切变变换:
(1)点的终坐标不变,横坐标变成原

来的 k 倍,故矩阵 ? (2)点的横坐标不变,纵坐标变成原来的 k 倍,故矩阵? 3. 二阶矩阵与二阶矩阵的乘法

?k 0 ? ? 表示 x 轴方向上的切变变换 ?0 1?

?1 0?表示 y 轴方向上的切变变换 ? ?0 k ?

?a11 ? ?a21

a12 ? ?b11 ?? a22 ? ?b21

b12 ? ?a11b11 +a12b21 a11b12 +a12b22 ? ??? ? b22 ? ? a21b11 +a22b21 a21b12 +a22b22 ?
-b ? ad ? bc ? ?. a ? ? ad ? bc ?
?1 ?1

1. 逆矩阵:

? d ? ad ? bc (1)基本公式 A?1 ? ? ? -c ? ad ? bc ?

(2) 若二阶矩阵 A、 B 存在逆矩阵, 则 AB 也存在逆矩阵, 其中 ? AB ? = B?1 A?1 ,? BA? = A?1B?1 . 5. (1)对于给定矩阵 M,如果存在一个非零向量 a 和实数 λ,使得 Ma=λa,则称 λ 是矩 阵 M 的特征值,a 是矩阵 M 的属于特征值 λ 的特征向量. (2) M n ? ? M n ? m?1 ? n? 2 ? ? m M n?1 ? n M n? 2 ? m? n?1 ? n? n? 2 二、参数方法及极坐标

?

? ?

?

? ? 2 ? x2 ? y2 ? x ? ? cos ? ? 1.互化公式: ? ;? ;极坐标 A ? ? ,? ? y ? y ? ? sin ? ? tan ? ? ( x ? 0) x ?
2. 直线的极坐标方程: ①过极点且与极轴成 ? 角: ? ? ? ; ②平行于极轴,和极轴的距离为 a : ? sin ? ? a ; ③垂直于极轴,和极轴的距离为 a : ? cos ? ? a ; 3. 圆的极坐标方程: ①圆心在极点,半径为 r : ? ? r ; ②圆心 ( r , 0) ,半径为 r : ? ? 2r cos ? ; ③圆心 (r ,

? ) ,半径为 r : ? ? 2r sin ?
2

4.常见曲线的参数方程:

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(1)过点 M ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线的参数方程为 ? (2)圆心在 O1 (a, b) ,半径为 r 的圆的参数方程为 (3)椭圆

? x ? x0 ? t cos ? ( t 为参数). ? y ? y0 ? t sin ?

? x ? a ? r cos? (? 为参数) . ? ? y ? b ? r sin ?

? x ? a cos ? x2 y 2 ? ? 1 的参数方程是 ( ? 为参数). ? a 2 b2 y ? b sin ? ?

三、不等式选讲 1.柯西不等式向量形式:|α||β|≥|α· β|(等号成立条件为:两个向量共线时) (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(等号成立条件为:ad=bc) 2. 设 a1 , a2 ,..., an 为正数,则有 等号成立) 四、空间向量 1.角 角 直线倾斜角 异面直线所成的角 cos ? ? cos ? e1 , e2 ? 。 范围

a1 ? a2 ? ... ? an n ? a1 ? a2 ? ... ? an (当且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 时 n

?0,? ?
?? ?? ?

? 0,90

o

? ?

? ? | n?a | 直线与平面所成的角 sin ? ? | cos ? | ? ? ? | n |?| a | ?? ?? ? 二面角 cos ? ? cos ? n1 , n2 ? (先求绝对值,再判定正负)
向量的夹角 2.点到平面的距离 d ?| PA | ? sin ? ?| PA | ? | cos ? PA, n ?|

? ? ?0,90 ? ?

?0, ? ? ?0, ? ?

??? ?

??? ?

??? ? ?

3.直线上一动点、棱(线段)上一动点的区别 五、排列组合、二项式定理 1、计数原理:分类相加(每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,一次的 且每次得出的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事) ,分步相乘(一步得出的 结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了, 才能完成这件事,各步是关联的) ,有序排列,无序组合.
m 2、排列数公式: An =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=
m 3、组合数公式: C nm ? An ?

n! ( n ? m )!

(m≤n,m、n∈N*),

m!

n! n ? (n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) = m!( n ? m )! (m≤n), m ? (m ? 1) ? (m ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ?1
n ?m m m m?1 k k ?1 ; Cn ; kCn ? nCn ?1 ? Cn ? Cn ?1 (用时要推导)

4、组合数的性质: Cn ? Cn
m

5、主要计数方法: ①优先法:特殊元素优先或特殊位置优先。.②相邻元素捆绑法 ③不相邻元素插空法 ④先选后排,先分再排(注意等分分组问题)⑤部分元素顺序一定时,排列时应将顺序除去,

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0 n 1 n ?1 k n ?k k n n 6、二项式定理: (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b (n ? N? ) 称为
k k n ?k k 二项式定理,其中 Cn 叫做二项式系数, Tk ?1 ? Cn a b (其中 0 ? k ? n,k ? N,n ? N? )

称为二项展开式的通项公式. 7、二项式系数的性质:
k n?k 性质 1.与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即 Cn . ? Cn

性质 2.当 n 为偶数时,展开式的项数为奇数,此时,中间一项的二项式系数最大;当 n 为奇数时,展开式的项数为偶数,此时,中间两项的二项式系数相等且最大. 0 1 2 2 k k n n 性质 3.由 (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? Cn x ,
0 1 k n 令 x ? 1 ,得 Cn ? Cn ? ?? Cn ? ?? Cn ? 2n ,二项式系数的和为 2 .
n

n ?1 n ?1 时,二项式系数 C r 时,C r n 的值逐渐增大,当 r ? n 的值逐渐减小,且 2 2 n n 在中间取得最大值. 当 n 为偶数时, 中间一项 (第 +1 项) 的二项式系数 C n2 取得最大值. 当 2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n 为奇数时,中间两项(第 和 +1 项)的二项式系数 Cn 2 ? Cn 2 相等并同时取 2 2
8.当 r ? 最大值. 9、杨辉三角:下面的数表称为杨辉三角

1 2 n ?2 n ?1 其中第 n 行是 1, Cn , Cn ,?, Cn , Cn ,1 .

六、概率分布及期望 1.离散型随机变量概率分布列的性质: (1) pi ? 0 (2) p1 ? p2 ? ? ? pn ? 1 ,i ? 1 , 2, ?,n ; (2) E ? X ? ?

? X p 、V ? x ? ? E ? x ? ? E ? x ?
2 2

n

i ?1

i

i

2.独立充分试验与二项分布 (1)独立重复试验:在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验. (2)二项分布:一般地,在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X ,在每次试验 中事件 A 发生的概率为 p ,那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为
k k P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k , k ? 0,1, 2,?, n .此 时称随机变 量 X 服从二项 分布,记 作

X ? B(n, p) ,并称 p 为成功概率. (3)二项分布的均值和方差:若 X ? B(n, p) ,则 EX ? np , DX ? np(1 ? p) .
七、数学归纳法 1.验证初始步要注意不一定从 n ? 1 开始 2.假设 n ? k 后面一定要注上 k 的取值范围 3.证明 n ? k ? 1 时一定要用上 n ? k 时的结论,最后一定要有综上所述.

特别提醒:要注意附加 4 选 2 的答题过程要
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