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2015-2016学年高中数学 1.2.1绝对值三角不等式练习 新人教A版选修4-5


1.2 1.2.1

绝对值不等式 绝对值三角不等式

1.理解绝对值的几何意义. 2.能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: (1)|a+b|≤|a|+|b|; (2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|.

1.研究在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式),关键在于去掉绝对 值符号,化成普通的不等式.主要的依据是绝对值的意义. 在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值.

x,x>0, ? ? 即|x|=?0,x=0, ? ?-x,x<0.
思考 1 求下列各数的绝对值: (1)3; (2)-8; (3)0. 答案: (1)3 (2)8 (3)0 2.绝对值三角不等式 定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立. 关于定理 1 的几点说明: 2 2 2 2 2 2 (1)定理 1 的证明:|a+b|≤|a|+|b|?(a+b) ≤(|a|+|b|) ?a +b +2ab≤a +b + 2|a||b|?ab≤|a||b|?ab≤|ab|,由已知知识可知 ab≤|ab|一定成立,因而不等式|a+ b|≤|a|+|b|成立.又由于上面每一步都是恒等变形及 ab=|ab|?ab≥0 可知,当且仅当 ab≥0 时,等号成立. (2)对定理的几何说明, 实际上是利用了绝对值的几何意义, 证明了不等式|a+b|≤|a| +|b|. (3)定理 1 还可以变形为|a-b|≤|a|+|b|,等号成立的充要条件是 ab≤0. (4)由定理 1 还可以得出许多正确的结论,例如:如果 a,b 是实数,那么|a|-|b|≤|a +b|≤|a|+|b|;|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.

1

思考 2 说出下列不等式等号成立的条件: (1)|a|+|b|≥ |a+b|; (2)|a|-|b|≤|a+b|; (3)|a-c| ≤|a-b|+|b-c|. 答案: (1)等号成立的条件是:ab≥0; (2)等号成立的条件是:ab≤0 且 a≥b. (3)等号成立的条件是:(a-b)(b-c)≥0 3.含有绝对值的不等式的证明中,常常利用|a|≥a,|a|≥-a 及绝对值的和的性质. 思考 3 当|a|>a 时,a∈________;当|a|>-a 时,a∈(0,+∞). 答案: (-∞,0)

一 层 练 习 1.若|x-a|<m,|y-a|<n,则下列不等式一定成立的是( A.|x-y|<2m B.|x-y|<2n C.|x-y|<n-m D.|x-y|<n+m 答案: D 2.设 ab>0,下面四个不等式: ①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|; ③|a+b|<|a-b| ;④|a+b|>|a|-|b|. 其中正确的是( ) A.①② B. ①③ C.①④ D.②④ 答案: C 3. 若 a,b∈R,且|a|≤3, |b|≤2, 则|a+b|的最大值是________,最小值是________. 答案: 5 0 4.方程|x|+|logax|=|x+logax|(a>1)的解集是________________. 答案: {x|x≥1} )

二 层 练 习

2

ε ε 5.|x-A|< ,|y-A|< 是|x-y|<ε 的( 2 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 答案: A

)

6.若不等式|x-4|+|x-3|>a 对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(3,4) D.[3,+∞) 答案: A 7. “a<4”是“对任意实数 x,|2x-1|+|2x+3|≥a 成立”的( ) A.必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件 解析:∵|2x-1|+|2x+3|≥|2x-1-(2x+3)|=4, ∴当 a<4 时? |2x -1|+|2x+3|≥a 成立,即充分条件; 当|2x-1|+|2x+3|≥a? a≤4,不能推出 a<4,即必要条件不成立. 答案:B 8.函数 y=|x-3|-|x+1|的最大值是________,最小值是________. 解 析:解法一 ∵||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4, ∴ -4≤|x-3|-|x+1|≤4. ∴ymax=4,ymin=-4. 解法二 把函数看作分段函数 4,x<-1, ? ? y=|x-3|-|x+1|=?2-2x,-1≤x≤3, ? ?-4,x>3. ∴-4≤y≤4,∴ymax=4,ymin=-4. 答案:4 -4

)

9.对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,|x-2y+1|的最大值是________. 解析:|x-2y+1|=|x-1-2(y-2)-2|≤|x-1|+2|y-2|+|-2|≤1+2+2=5. 答案:5 10.(2014 ·江西高考文科)x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则 x+y 的取 值范围为____________. 解析:由|a|+|b|≥|a-b|知,|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,同理|y|+|y-1|≥1, 故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,所以 0≤x≤1 且 0≤y≤1,即 0≤x+y≤2. 答案:[0,2]

3

三 层 练 习

? 1? 11.(201 4·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学 )设函数 f(x)=?x+ ?+|x-a|(a>0),证 ?
a?
明:f(x)≥2. 解析:(1)由 a>0,有 ? 1? ? 1 ? 1 f(x)=?x+ ?+|x-a|≥?x+ -(x-a)?= +a≥2 .

?

a?

?

a

? a

所以 f(x)≥2. 12.设 a,b∈R 且|a+b+1|≤1,|a+2b+4|≤4, 求|a|+|b|的最大值 . 解析:|a+b|=|(a+b+1)-1|≤|a+b+1|+ |-1|≤1+1=2 |a - b| = |3(a + b + 1) - 2(a + 2b + 4) +5|≤3|a + b + 1| + 2|a + 2b + 4| +5≤3×1+ 2×4+5=16. ①当 ab≥0 时,|a|+|b|=|a+b|≤2; ②当 ab<0 时,则 a(-b)>0, |a|+|b|=|a|+|-b|=|a+(-b)|≤16. 总之,恒有|a|+|b|≤16. 而 a=8,b=-8 时, 满足|a+b+1|=1,|a+2b+4|=4, 且|a|+|b|=16. 因此|a|+|b|的最大值为 16. 1 1 5 13.已知实数 x,y 满足:|x+y|< ,|2x-y|< ,求证:|y|< . 3 6 18 1 证明:∵3|y|=|3y|=|2(x+y)+(y-2x)|≤2|x+y|+|2x-y|,由题意设|x+y|< , 3 1 |2x-y|< , 6 1 1 5 ∴3|y|<2× + = . 3 6 6 5 ∴|y|< . 18 14.设 A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系 xOy 上的两点,现定义点 A 到点 B 的一 种折线距离为ρ (A,B)=|x2-x1|+|y2-y1|,对于平面 xOy 上给定的不同的两点 A(x1,y1), B(x2,y2),若点 C(x,y)是平面 xOy 上的点, 试证明:ρ (A,C)+ρ (C,B)≥ρ (A,B). 证明:由绝对值不等式知, ρ (A, C)+ρ (C, B)=|x-x1|+|x2-x|+|y-y1|+|y2-y|≥|(x-x1)+(x2-x)|+|(y -y1)+(y2-y)|=|x2-x1|+|y2-y1|=ρ (A,B). 当且仅当(x-x1)·(x2-x)≥0 且(y-y1)·(y2-y)≥0 时等号成立.

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1.在掌握本节知识过程中,要充分认识和理解绝对值的意义和性质:
?a,a≥0, ? 设 a∈R,则|a|=? ? ?-a,a<0.

|a|≥0,-|a|≤a≤|a|,|a| =a . 2.绝对值不等式的性质定理的推广: |a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|; |a1+a2+?+ an|≤|a1|+|a2|+?+|an|; ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|. 3.在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时,一定要注意等号成立的条件: |a+b|=|a|+|b|(ab≥0); |a-b|=|a|+|b|(ab≤0); ||a|-|b||=|a+b|(ab≤0); ||a|-|b||=|a-b|(ab≥0).

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