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山东省济南市历城区2016


山东省济南市历城区 2016-2017 学年高二数学上学期期末考试试题
第Ⅰ卷 一、单项选择题(共 60 分,每题 3 分) 每题都有 ABCD 四个备选答案,只许从中选取一个最佳答案。 1. 在△ABC 中,b = 8,c = 8 3 ,S△ABC = 16 3 ,则∠A 等于( A. 30 ? B. 60? C. 30? 或 150? ). D. ). D. 60? 或 120?

2. 在△A BC 中,若 3 a = 2b sin A,则∠B 为( A.

π 3

B.

π 6

C.

π 5π 或 6 6

π 2π 或 3 3

3.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a3a8 ? 9 ,则 a1a10 ? A. 1 B. 2 C. 4 D. 9

4.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量,产品数 量的分组区间为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。由此得 到频率分布直方图如图 1,则这 20 名工人中一天生产该产品数量在错误!未找到引用源。的人 数是( )

A.11 C.13

B.12 D.14 ). D. 6

? 1 ?? 1 ? 5. 若 a>0,b>0 ,且 a ? b ? 1 ,则 ? 2 ? 1?? 2 ? 1? 的最小值是( ?a ?? b ?

A. 9

B. 8

C. 7

6.一个年级有 12 个班,每个班有 50 名学生,随机编为 1 ~ 50 号,为了解他们在课外的兴 趣爱好。要求每班是 40 号学生留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是( A.分层抽样 B.抽签法 C.随机数表法 D.系统抽样法
1



7.等差数列{an}中,a1 + a4 + a7 = 39,a3 + a6 + a9 = 27,则数列{an}的 9 项和 S9 等于( A. 66 B. 99 C. 144 D. 297

).

8.设 x 2 ? y 2 ? 1 ,则 x ? y 有最小值( ). A.1 B. 2 C. ? 1 D. ?

2
). C. 68 D. 63

9.一个等比数列的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,那么前 3n 项和为( A. 84 B. 75

10. 下列函数中,最小值为 2 是( A. y =

). B. y = lgx +
1 ,1<x<10 lg x

x 5 ? ,x∈R,且 x≠0 5 x
x
-x

C. y = 3 + 3 ,x∈R 11. △ABC 中,若其面积 S = A.

D. y = sin x +
1 2 2 2 (a + b - c ),则∠C =( 4

1 π , 0<x< 2 sin x

). D.

π 2

B.

π 3

C.

π 4

π 6

12.△ABC 中, a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab, cosC ? (



A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

13. 某校男子足球队 16 名队员的年龄如下:17 17 18 18 16 18 17 15 18 18 18 17 18 14 ,这些队员年龄的众数 ( B.18 岁
2

17

16

) D.18.5 岁

A.17 岁 14.函数 f ( x ) ?

C.17.5 岁 )

x (x>0)的最大值为( x ?1 1 2
C.

A.

2 5
2

B.

2 2

D.1

15.在长为 10 cm 的线段 AB 上任取一点 P,并以线段 AP 为边长作正方形,这个正方形的面积介于 25 cm 与 49 cm 之间的概率为 ( A.错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。
2

) B.错误! 未找到引用源。 C.错误! 未找到引用源。 D.

2

第Ⅱ卷 二、填空题(共 24 分,每空 4 分) 16.一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60? 处;行驶 4 h 后, 船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15? 处. 这时船与灯塔的距离为 17. 函数 y ?
1 64 ? x 2

km.

的定义域是

. .

18.已知数列{an},a1 = 2,an+1 = an + 3n + 2,则 an =

19.某中学高中部有三个年级,其中高一年级有学生 400 人,采用分层抽样法抽取一个容量为 45 的 样本, 高二年级抽取 15 人,高三年级抽取 10 人,那么高中部的学生数为________.

20.如果等差数列的前 5 个偶数项的和等于 15,前三项的和等于 -3,则

a1 =

,d =



三、简答题(共 66 分) 21. (本题满分 8 分) 求和:a,2a ,3a ,…,na ,其中 a≠0 且 a≠1.
2 3

n

22.(本题满分 12 分). 在△ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,
2

且 2 cos? A ? B ? ? 1。求:(1)角 C 的度数 ; (2)AB 的长度。 23(本题满分 12 分) 为了了解某中学学生的体能情况,体育组决定抽样三个年级部分学生进行跳绳 测试, 并将所得的数据整理后画出频率分布直方图(如图 5).已知图中从左到右的前三个小组的 频率分 别是 0.1,0.3,0.4,第一小组的频数是 5. (1) 求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数; (2) 在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在第几小组内? (3) 参加这次测试跳绳次数在 100 次以上为优秀, 试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多少? 频率

49.5 74.5 99.5 124.5 149.5 次数

3

24.(本题满分 8 分)已知 a>b>0,求 a 2 ?

16 的最小值. b( a ? b )

25.(本题满分 12 分).设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 = 24 , S11 ? 0 . (Ⅰ) 求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)求数列{ an }的前 n 项和 S n ; 26.(本题满分 14 分)一个口袋内装有大小相同的 6 个小球,其中 2 个红球,记为 A1、A2,4 个黑 球,记为 B1、B2、 B3、B4,从中一次摸出 2 个球. (Ⅰ)写出所有的基本事件; (Ⅱ)求摸出的两个球颜色不同的概率.

答案 1. C 【解析】

1 bc sin A = 16 3 , 2 1 , 2

∴ sin A =

A = 30° ,或 150° .
4

2. D

a 2 sin A = , b 3 sin A 2 sin A ? ∴ , sin B 3
【解析】 ∴ sin B = 3 4 5 D C A
3 π 2π ,∴ B = ,或 . 2 3 3

2 2 ( a ? b) 2 ? a 2 ? b 2 2 2 ? 1 ?? 1 ? 1? a ? b 【解析】 ? 2 ? 1?? 2 ? 1? = +1= +1= +1≥ + 1 = 9.∴ 2 2 2 2 2 a b a b ab ?a ?? b ? ?a?b? ? ? ? 2 ?

当 a = b= 6 7 D B

1 时,原式取最小值 9. 2

【解析】∵ 由题可得 a4 = 13,a6 = 9.

S9 =
8 9 B D

(a1 ? a9 ) ? 9 (a4 ? a6 ) ? 9 = = 99. 2 2

【解析】由题知,Sn,S2n - Sn,S3n - S2n 成等比数列, 公比为

60 ? 48 1 = . 48 4 1 = 3. 4

∴ S3n - S2n=(60 - 48)× ∴ S3n = 3 + 60 = 63. 10 C

【解析】A:y 没有最小值. B:∵ 1<x<10, ∴ 0<lg x<1. ∴ y≥2. lg x=1,即 x =10 时,ymin = 2. 此时不符合 1<x<10.
5

C:∵ 3 >0, ∴ y = 3 +
x

x

1 ≥2. 3x

x = 0 时,ymin = 2.
D:∵ 0<x<

π , 2

∴ sin x>0. ∴ y≥2. 当 sin x = 11 C 【解析】 由题知 ∴ sin C = ∴ C = 12 13 14 15 A B B B

1 π π 时,此时 sin x = 1,x = ,不符合 0<x< . 2 2 sin x

1 1 ab sin C = (a2 + b2 - c2), 2 4

a2 ? b2 ? c2 = cos C, 2ab

π . 4

16 30 2 . 【解析】

AC BC , ? sin 45? sin 30?

1 BC = × 2 ×60 = 30 2 . 2
17. (-8,8). 【解析】∵ 64 - x >0 18
3n 2 ? n . 2
2

∴ x <64,-8<x<8,即(-8,8).

2

【解析】∵ an+1 = an + 3n + 2, ∴ an = a1 + 5 + ··· + 3 (n - 1)+ 2 = a1 + 19.
3n 2 ? n ? 4 ? 4 3n 2 ? n 5 ?( 3 n ?1 ) ?2 3n ? 4 (n - 1)= 2 + (n - 1)= = . 2 2 2 2

3n 2 ? n . 2

【解析】∵ an+1 = an + 3n + 2,
6

∴ an = a1 + 5 + ··· + 3(n - 1)+ 2 = a1 + 20
3n 2 ? n ? 4 ? 4 3n 2 ? n 5 ?( 3 n ?1 ) ?2 3n ? 4 (n - 1)= 2 + (n - 1)= = . 2 2 2 2 a1 = -2,d = 1.

【解析】∵ a2 + a4 + ··· + a10 = 15, ∴ 5a6 = 15, ∴ a6 = 3. ∵ a1 + a2 + a3 = -3, ∴ a2 = -1. ∴ d =

3 ? (?1) = 1. 4

∴ a1 = -2. 21【解】∵ Sn = a + 2a + 3a + … + na ,且 a≠0, ∴ aSn =
2 3

n

a2 + 2a3 + … +(n - 1)an + nan+1.
2 3

∴ Sn - aSn = a + a + a + … + a - na , ∵ a≠0 且 a≠1, ∴ (1 - a)Sn =
a (1 ? a n ) n+1 - na . 1? a

n

n+1

∴ Sn =

a (1 ? a n ) na n ?1 . 1? a (1 ? a ) 2

22,解(1) cos C ? cos ?? ? ? A ? B ?? ? ? cos ? A ? B ? ? ?

1 2

? C=120°

(2)由题设:

?a ? b ? 2 3 ? ? ? ?ab ? 2

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cosC ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120?
? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? ab ? 2 3
2

? ?

2

? 2 ? 10

? AB ? 10
23 由 a>b>0 知,a - b>0,
a2 ?b?a ?b? ∴ b(a - b)≤ ? . ? ? 2 4 ? ?
2

∴ a +

2

16 64 64 2 ≥a + 2 ≥2 a 2 ? 2 = 16. b( a ? b) a a

7

当且仅当 a =

2

64 ,b = a - b, a2
2

即当 a = 2 2 ,b = 2 时,a +

16 取得最小值 16. b( a ? b)

?a1 ? 2d ? 24 ?a1 ? 40 ? 24(Ⅰ)依题意有 ? ,解之得 ? ,∴ an ? 48 ? 8n . 11? 10 11a1 ? d ?0 ?d ? ?8 ? 2 ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, a1 =40, an ? 48 ? 8n , ∴ Sn =

(a1 ? an )n (40 ? 48 ? 8n) n 2 ? = ?4n ? 44n . 2 2

25

8


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