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高中数学 数列求和(无答案) 新人教A版必修5高一


数列求和
1. 已知数列 { a n } 和 { b n } 满足 a1 ? 2, a n ? 1 ? a n ( a n ? 1 ? 1) , b n ? a n ? 1 , n ? N ? . (1)求数列 { b n } 的通项公式; (2)设 c n ? b 2 n ?1b 2 n ?1 ,求使得 ? c i ?
i ?1 n

m 10

对一切 n ? N ? 都成立的最小正整数 m ;

(3)设数列 { b n } 的前 n 和为 S n , T n ? S 2 n ? S n ,试比较 T n ? 1 与 T n 的大小.

2. 函数 f (x) 对任意 x ? R 都有 f ( x ) ? f (1 ? x ) ? (1)求 f ( ) 的值.
2 1

1 2



2
1 n


) ? f (


2 n



{an}
n ?1 n







an

=

f (0 ) + f (

) ? ?? ? f (

) ? f (1) ,数列 ? a n ? 是等差数列

吗?请给予证明; (3)令 b n ?
4 4an ? 1 , T n ? b1 ? b 2 ? b 3 ? ? ? ? b n , S n ? 32 ?
2 2 2 2

16 n

.

试比较 T n 与 S n 的大小.

3 3 3 3. 已知数列 ? a n ? 满足对任意的 n ? N ,都有 a n ? 0 ,且 a13 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? S n2 .

*

(1)求 a 1 , a 2 的值; (2)求数列 ? a n ? 的通项公式 a n ; (3)设数列 ?
? 1 ? 1 ? 的前 n 项和为 S n ,不等式 S n ? lo g a ? 1 ? a ? 对任意的正整数 n 恒 3 ?

? anan?2

成立,求实数 a 的取值范围.
用心 爱心 专心 1

* 4.设 S n 为数列 ? a n ? 的前 n 项和,对任意的 n ? N ,都有 S n ? ? m ? 1 ? ? m a n ( m 为常数,

且 m ? 0) . (1)求证:数列 ? a n ? 是等比数列; ( 2 ) 设 数 列 ? a n ? 的 公 比 q ? f ? m ? , 数 列 ?b n ? 满 足 b1 ? 2 a 1, b n ? f ? b n ? 1?
n ? N ) ,求数列 ? b n ? 的通项公式;
*

(n ? 2 ,

5.已知{an}是递增的等差数列,满足 a2·a4=3,a1+a5=4. (1) 求数列{an}的通项公式和前 n 项和公式; (2) 设数列{bn}对 n∈N*均有 项 公式.
b1 3 ? b2 3
2

?? ?

bn 3
n

? a n ? 1 成立, 求数列{bn}的通

6.已知数列 ?a ? 满足: a
n

1

? 2 , a n ?1 ? 2 ?

1 an

, n ? 1, 2 , 3, 4 , ?



(1)求证:数列 ?
n

?

? ? ? an ? 1 ? 1

为等差数列;

(2)求数列 ?a ? 的通项公式; (3)令 T
n

?

?

n

a i ?1 ai

,证明: T

n

? n?

3 4



i ?1

用心

爱心 专心

2

7.已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 通项 a n 满足 (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)当 q ? (
1 b1 ? 1 b
2

Sn an ? 1

?

q

q ?1

q ( q 是常数, ? 0 且 q ? 1 ) 。

1 4

时,证明 S n ?

1 3

; , 若

Ⅲ )
?? 1 bn

设 函 数
? m 3
*

f ( x ) ? lo g q x , b n ? f ( a1 ) ? f ( a 2 ) ? ? ? f ( a n )
*

( m ? N ) 对 n ? N 都成立,求正整数 m 的值。 ...

8 已知数列 { a n } 、 { b n } 满足 a 1 ? 1 , a 2 ? 3 , (1)求数列 { b n } 的通项公式; (2)求数列 ? a n ? 的通项公式;

b n ?1 bn

? 2 ( n ? N ) , b n ? a n ?1 ? a n 。
*

* (3)数列 { c n } 满足 c n ? log 2 ( a n ? 1) ( n ? N ) ,求 S n ?

1 c1 c 3

?

1 c3c5

?? ?

1 c 2 n ?1 c 2 n ?1



用心

爱心 专心

3

1 已 知 等 差 数 列 { a n } 的 各 项 均 为 正 数 , a1 ? 3, 前 n 项 和 为 S n ,{b n } 是 等 比 数 列 ,
b1 ? 1, 且 b 2 S 2 ? 6 4, b3 S 3 ? 9 6 0 .

(1)求数列 { a n }与 { b n } 的通项公式; (2)求证:
1 S1 ? 1 S2 ?? ? 1 Sn ? 3 4 对 一 切 n ? N 都成立.
*

2.已知数列 { a n } 、 { b n } 中,对任何正整数 n 都有:
a1b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b3 ? ? ? a n ?1b n ?1 ? a n b n ? ( n ? 1) ? 2 ? 1 .
n

(1)若数列 { b n } 是首项为 1 和公比为 2 的等比数列,求数列 { a n } 的通项公式; (2)若数列 { a n } 是等差数列,数列 { b n } 是否是等比数列?若是,请求出通项公式,若不 是,请说明理由;

用心

爱心 专心

4

3. 已知数列 ?a n ? 是首项 a1 ? 1 的等差数列,其前n项和为 S n ,数列 { b n } 是首项 b1 ? 2 的 等比数列,且 b 2 S 2 ? 1 6 , b1 b 3 ? b 4 . (1) 求 a n 和 b n ; (2) 令 c1 ? 1 , c 2 k ? a 2 k ? 1 , c 2 k ? 1 ? a 2 k ? kb k ( k ? 1, 2 , 3 ,? ? ? ) ,求数列 ? c n ? 的前 2 n ? 1 项 和 T 2 n ?1 .

4. 已知正项等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 1 2 ,且 2 a1 , a 2 , a 3 ? 1 成等比数列. (Ⅰ)求 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)记 b n ?
an 3
n

的前 n 项和为 T n ,求 T n .

5. 已知等差数列 { a n } 的首项 a 1 ? 1 ,公差 d ? 0 .且 a 2 , a 5 , a14 分别是等比数列 { b n } 的
b 2 , b3 , b 4 .

(Ⅰ)求数列 { a n } 与 { b n } 的通项公式; (Ⅱ) 设数列 { c n } 对任意自然数 n 均有: 1 ?
b1 c c2 b2 ?? ? cn bn

求 ? a n ? 1 成立. c1 ? c 2 ? c 3 ? ? ? c 2010

的值。

用心

爱心 专心

5

6.设函数

f (x) ?

x a ( x ? 2)
*

,方程 x

? f (x)

有唯一解,其中实数 a 为常数,

f ( x1 ) ?

2 2013



f ( x n ) ? x n ?1 ( n ? N )

(Ⅰ)求

f (x)

的表达式;

(Ⅱ)求 x 2 0 1 1 的值;

7.已知等差数列 ?a n ? 和正项等比数列 ?b n ? , a 1 ? b1 ? 1 , a 3 ? a 7 ? 10 , b 3 = a 4 (1)求数列 ?a n ? 、 ?b n ? 的通项公式 (2)若 c n ? a n ? b n ,求数列 ?c n ? 的前 n 项和 T n .

用心

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6

8、数列{ b n }的首项 b 1 =1,前 n 项和为 S n ,点( n , S n ) (4, 10)都在二次函数 、
y ? ax
2

? bx 的图象上, 数列 { a n } 满足

bn an

? 2 .
n

(Ⅰ)求证: 数列{ b n }是等差数列,并求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)令 cn=( 1 ? 并证明你的结论.
1 n ?1



1 an

, Rn =

1 c1

+

1 c2

+

1 c3

?? ?

1 cn

.试比较 R n 与

5n 2n ? 1

的大小,

2 9.已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ( a ? 0 ) 的导函数 f ? ( x ) ? ? 4 x ? 2 2 ,数列 { a n } 的前 n 项和

为 S n ,点 Pn ( n , S n ) ( n ? N )均在函数 y ? f ( x ) 的图象上.
*

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式 a n 及前 n 项和 S n ; (Ⅱ)存在 k ? N ,使得
*

S1 1

?

S2 2

?? ?

Sn n

? k 对任意 n ? N 恒成立,求出 k 的最小值;
*

用心

爱心 专心

7


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