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7.17高一数学暑假培训必修四第二章平面向量复习要点(学生版)


高一数学暑假培训必修四第二章
一、平面向量的基本概念与运算

平面向量复习要点

1. 要注意向量不同于数量, 它既有大小, 又有方向, 这两者缺一不可. 由于方向不能比较大小, 因而 “大于” 、 “小于” 对于向量来说是没有意义的. 零 向量是一个特殊的向量,要正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系. 2.在判断两个非零向量是否共线时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与这两个向量的长度无关.在没有指明非零向量的情况下,共 线向量可能有以下几种情况: (1)有一个为零向量; (2)两个都为零向量; (3)同向且模相等; (4)同向且模不等; (5)反向且模相等; (6)反向且模 不等.向量的平行与直线的平行是不同的,直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点;而向量的平行既包含没有交点的情况,又包含两个向量 在同一条直线上的情形. 3.向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则是统一的,两种方法得到的是同一个向量.向量的减法按三角形法则,把减向量与被减向量 的起点重合,其差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点,一定要注意向量的方向. 4.两个向量长度的和(差)不一定等于这两个向量和(差)的长度,因为向量的加(减)实施的对象是向量,而长度是数量,长度的加(减)法是 数量的加(减)法. (1)当两个非零向量 a 与 b 不共线时, a 与 a (或 b )的方向相同,且

? b 的方向不同于 a,b 的方向,且 a ? b ? a ? b
; (3 )当向量

; (2)当向量

a,b 方向相同时, a ? b 的方向

a?b ? a ? b

a,b 方向相反且 a ? b ( b ? a ) 时, a ? b 的方向与 a (b) 的方向相同,且

a ?b ? a ? b (a ?b ? b ? a)



5.对于向量的数乘运算,应侧重于以下几个方面: (1)数与向量的积仍是一个向量,向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定,大小由 (3)实数与向量可以求积,但是不能进行加、减运算,比如 ?

?· a

确定. (2)要特别注意 0 · a

? 0 ,而不是 0 ·a ? 0

? a,? ? a 都无法进行. (4)向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,只 是数乘运算的分配律有两种不同的形式:(? ? ? )a ? ? a ? ? a 和 ? (a ? b) ? ? a ? ? b , 数乘运算的关键是等式两边向量的模相等, 方向相同. (5)
判断两个向量是否平行 (共线) , 实际上就是看能否找出一个实数, 使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量. 一定要切实理解两向量共线的条件, 它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段.

二、基本定理及其坐标表示
1.平面向量基本定理表明,同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合,即选择了两个不共线向量

e1 和 e 2 ,平面内的任何

一 向量

a 都 可以用 向量 e1,e2 表示 为 a ? ?1e1 ? ?2 e2 ,并且 这种表 示是惟 一的,即 若 ?1e1 ? ?2 e2 ? ?1e1 ? ?2 e2 ,则必 有 ?1 ? ?1 ,

?2 ? ?2 .这样,平面向量本定理不仅把几何问题转化为只含有 ?1,?2 的代数运算,而且为利用待定系数法解题,提供了理论基础.
2.在利用平面向量基本定量时,一定要注意不共线这个条件. 3.平面向量坐标表示的理论基础就是平面向量的基本定理.直角坐标系中与 坐标系内的一个向量 ? ,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数

x 、 y 轴方向相同的单位向量是一组正交基底,这时,对于平面直角
都可由

x , y ,使得 ? ? x i ? y j .于是,平面内的任一向量 ?

x,y惟

一确定,而有序数对

( x,y)

正好是向量 ? 的坐标,这样使得平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示.在引入

向量的坐标表示以后,向量的运算完全化为代数运算,从而实现了“形”和“数”的紧密结合.很多几何问题,如共线、共点等较难问题的证明,就都可 以转化为代数运算的论证,同时也为解决一些物理问题提供了一种简便有效的方法. 4 .平面向量的坐标与该向量的始点、终点坐标有关,向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标,如:若平面上有点

A( x1,y1 ),B( x2,y2 )

,则

??? ? AB ? ( x2 ? x1,y2 ? y 1 ) .一定要把向量的坐标与点的坐标区别开来,只有始点在原点时,向量的坐标才与终点的

坐标相等.两个向量相等时坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同,即向量的坐标表示与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关,只 与其相对位置有关。

1

5.要注意区别两向量平行和垂直的坐标表示: (1)若 a 若非零向量 a

? ( x1,y1 ) , b ? ( x2,y2 ) ,则向量 a 与 b 共线的条件为 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 . (2)

? ( x1,y1 ) , b ? ( x2,y2 ) ,则向量 a 与 b 垂直的条件为 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . (3)要注意 a 与 b 共线的条件适合任何向量,而垂

直的条件只是适合两非零向量,另外, (1) (2)两命题都是可逆的.

三、平面向量的数量积
平面向量 a 与 b 的数量积

a · b ? a b cos?

是数量,而不是向量,它的值是两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积,其中 ? 的取值范围是

0 ≤ ? ≤ π .平面向量的数量积与数乘向量、实数与实数的乘积是不同的,在学习平面向量的数量的
积时,要注意以下几点:由 a

? 0 ,且 a · b ? 0 不能推出 b ? 0 ,因为对任何一个与 a 垂直的非零向量 b ,都有 a ·b ? 0 .

·b 由a

· b)c ?b · c 不能推出 a ? c ,例如,当 a ? 0 且 b ? c 时, a ·b ? b · c ,但不能推出 a ? c .平面向量的数量积不满足结合律,即 (a



·a a(b · c) 不一定相等,因为前者表示与 c 。共线的向量,后者表示与 a 共线的向量,而 c 与 a 不一定共线.由 a,b 为非零向量时, a ? a ,
a ·b a b

cos ? ?

·b 及a

? 0 ? a ? b ,可知平面向量的数量积可用来处理有关长度、角度、垂直等等问题.

四、平面向量的应用
1.向量是数学中证明几何命题的有效工具之一,根据平面向量基本定理,任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合,这样在 证明几何命题时,可先把已知和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地,利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度 等问题;利用数量积可解决长度、角度、垂直等问题. 2.平面向量的应用,体现在高考中主要是在几何中的应用,由于平面向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何中的许多性质, 如平移、全等、相似、长度(距离) 、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量的语言和方法来表述和解决几何中的一些问题. 3.用向量的方法解决几何问题时,首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积运算来研究点、线段 等元素之间的关系,最后把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.

基础训练: 1.如图,在正六边形 ABCDEF 中, BA ? CD ? EF ? (

??? ? ??? ? ??? ?

)A. 0

?

B. BE

??? ?

C. AD

????

D. CF

??? ?

2.如图所示,向量 OA ? a A B O A、 c C 则(

?????

?

????? ? OB ? b

????? ? ? ????? ? ????? ? OC ? c ,A、B、C 在一条直线上,且 AC ? 3BC ,

). B、 c ?

?????

??

1 ????? 3 ????? a ? b 2 2

??? ?

? 1 ??? ? 3 ??? a ? b 2 2
??? ? ?

C、 c ? ? a ? 2 b
??? ? ?

D、 c ? a ? 2 b ) .

3.如图所示, D 是 ?ABC 的边 AB 上的中点,记 BC ? a , BA ? c ,则向量 CD ? (

??? ?

2

A

D
B

C

A. ?a ? 1 c
2

?

?

B. ?a ? 1 c
2

?

?

C. a ? 1 c
2

?

?

D. a ? 1 c
2

?

?

M 为 AC 4. 如图:在平行六面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 1 1与B 1D 1 的交点。若 AB ? a , AD ? b , AA 1 ?c
则下列向量中与 BM 相等的向量是(

??? ?

?

????

?

???? ?

???? ?



A. ?

1? 1? ? a? b?c 2 2

B.

1? 1? ? a? b?c 2 2

C. ?

1? 1? ? a? b?c 2 2


D.

1? 1? ? a? b?c 2 2

5.设 D, E, F 分别为 ?ABC 的三边 BC, CA, AB 的中点,则 EB ? FC ? ( A. AD B.

1 AD 2

C.

1 BC 2

D. BC

6. 设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点, O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, 则 OA ? OB ? OC ? OD 等于 ( ) A. OM

??? ? ??? ? ???? ????

???? ?

B. 2OM

???? ?

C. 3OM

???? ?

D. 4OM

???? ?
???? ?

7.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M、N 分别为 CD、BC 的中点,若 AB =λ AM +μ AN ,则λ +μ = ( ) A.

??? ?

????

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5
)

?? ? ?? ? ? ???? ???? 2 ?? 8.如图,在△ ABC 中, AN ? 1 NC , P 是 BN 上的一点,若 AP ? m AB ? AC ,则实数 m 的值为( 9 3

A. 1

B.

1 3

C.

1 9

D. 3

9.已知点 A(1,-2),若向量 AB 与向量 a=(2,3)同向,且| AB |= 13 ,则点 B 的坐标为(

??? ?

??? ?

)

A.(2,3) B.(-2,3) C.(3,1) D.(3,-1) 10.已知△ABC 的顶点分别为 A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC 边上的高为 AD,则点 D 的坐标为(

)

3

9 7 9 7 9 7 , ) B.( ,- ) C.( , ) 5 5 5 5 2 5 ? ? ? ? ? ? 11.已知向量 a ? ? ?1,1? , b ? ?1,2? ,且 2a ? b / /(a ? ?b ) ,则 ? =
A.(-

D.(- .

9 7 ,- ) 2 5

?

?

12.已知向量 OA =(k,12), OB =(4,5), OC =(-k,10)且 A,B,C 三点共线,则 k=________. 13.[2014·广东佛山三模]设 OA =(1,-2), OB =(a,-1), OC =(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点, 若 A、B、C 三点共线,则

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

1 2 + 的最小值是________. a b


14. (2011?重庆)已知向量 =(1,k) , =(2,2) ,且 + 与 共线,那么 ? 的值为( A.1 B.2 C.3 D.4

15.设 a、b 是不共线的两个非零向量,(1)若 OA =2a-b, OB =3a+b, OC =a-3b,求证:A、B、C 三 点共线;(2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值.

??? ?

??? ?

????

16.已知非零向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b ?

? ?

?

?

?

?

? ? ? ? 2 3 ? a ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角为 3



17. 已知向量 a ? ?1, 2? , b ? ?1, ?1? . (1) 若 ? 为向量 2a ? b 与向量 a ? b 的夹角, 求 ? 的值; (2) 若向量 2a ? b 与向量 ka ? b 垂直,求 k 的值.

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

4

18.已知 a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a ? ?1, 2 ? .(1)若 | c |? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标; (2) 若| b |=

?

?

?

?

?

? ? ? ? 5 , 且 a +2 b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? . 2

课后作业: 1. 已知正六边形 ABCDEF , 在下列表达式① BC ? CD ? EC ; ② 2BC ? DC ; ③ FE ? ED ; ④ 2 ED ? FA A B 中,与 AC 等价的有( )A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 C D F E

2. 已知菱形 ABCD 的边长为 2,?BAD ? 120? , 点 E , F 分别在边 BC , DC 上,BE ? ? BC ,DF ? ? DC . 若

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 A EA ? F ? 1 , CE ? CF ? ? ,则 ? ? ? ? ( ) 3 5 1 2 7 (A) (B) (C) (D) 6 2 3 12 ??? ? ??? ? ???? 3.设 O 点在△ABC 内部,且有 OA + OB +2 OC =0,则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为(
A.4 B. 3 C.2 2 D.3

)

4.已知点 P 为 ?ABC 所在平面上的一点,且 AP ? (不含边界) ,则 t 的取值范围是( A. 0 ? t ? )

??? ?

? ???? 1 ??? AB ? t AC ,其中 t 为实数,若点 P 落在 ?ABC 的内部 3

1 4

B. 0 ? t ?

1 3

C. 0 ? t ?

1 2

D. 0 ? t ?

2 3

5.[2014·沈阳调研]如图,空间四边形 OABC 中, OA =a, OB =b, OC =c.点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 的中点,则 MN 等于(

??? ?

??? ?

????

???? ?

)

A.

1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 a- b+ c B.- a+ b+ c C. a+ b- c D. a+ b- c 2 3 2 3 2 2 2 2 3 3 3 2
5

6.[2013·辽宁朝阳一模]在△ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N 为 AM 中点, AN =λ AB +μ AC ,则λ + μ 的值为( ) A.

????

??? ?

????

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.1

7.[2014·衡水模拟]设 a,b 是不共线的两个非零向量,记 OM =ma, ON =nb, OP =α a+β b,其中 m, n,α ,β 均为实数,m≠0,n≠0,若 M、P、N 三点共线,则

???? ?

????

??? ?

?

m n ? ? 8.已知 | a |? 4 , | b |? 2 ,且 a 与 b 夹角为 120? ,求(1). a ? b ;



?

=________. (2). a 与 a ? b 的夹角.

?

? ?

9.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时,(1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?(2) ka ? b 与 a ? 3b 平行?平行 时它们是同向还是反向?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

100.已知 a = ( 3, -1) ,b = ( ,

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 ) ,若存在非零实数 k,t 使得 x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb ,且 x ⊥ y , 2 2

试求:

k ? t2 的最小值. t

6


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