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2016版 高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,文科) 高考大题纵横练(一)


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高考大题纵横练(一)

1.已知函数 f(x)=2sin xcos x+2 3cos2x- 3,x∈R. (1)求函数 y=f(-3x)+1 的最小正周期和单调递减区间; A π (2)已知△ABC 中的三个内角 A,B,C

所对的边分别为 a,b,c,若锐角 A 满足 f( - )= 3, 2 6 13 3 且 a=7,sin B+sin C= ,求△ABC 的面积. 14

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2.某车间将 10 名技术工人平均分为甲、乙两个小组加工某种零件.已知甲组每位技术工人 加工的零件合格的分别为 4 个、5 个、7 个、9 个、10 个,乙组每位技术工人加工的零件合格 的分别为 5 个、6 个、7 个、8 个、9 个. (1)分别求出甲、乙两组技术工人加工的合格零件的平均数及方差,并由此比较这两组技术工 人加工这种零件的技术水平; (2)假设质检部门从甲、乙两组技术工人中分别随机抽取 1 名,对他们加工的零件进行检测, 若抽到的两人加工的合格零件之和超过 12 个,则认为该车间加工的零件质量合格,求该车间 加工的零件质量合格的概率.

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3.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AB⊥AC,AC= AA1,E,F 分别是棱 BC,CC1 的中点. (1)证明:AB⊥平面 AA1C1C; (2)若线段 AC 上的点 D 满足平面 DEF∥平面 ABC1,试确定点 D 的位 置,并说明理由; (3)证明:EF⊥A1C.

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an?an+1? 4.已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且 Sn= (n∈N*). 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 2Sn ,Tn=b1+b2+…+bn,求 Tn. ?-2?n?n+1?

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x2 y2 5.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线 C:x2=4 3y 的焦点重合,F1,F2 分别 a b 1 是椭圆的左、右焦点,且离心率 e= ,过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点. 2 (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)若OM· ON=-2,求直线 l 的方程; |AB|2 (3)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,MN∥AB,求证: 为定值. |MN|

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6.已知函数 f(x)=xln x. (1)求函数 f(x)的极值点; (2)设函数 g(x)=f(x)-a(x-1),其中 a∈R,求函数 g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中 e 为自 然对数的底数).

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答案精析 高考大题纵横练(一)
1.解 (1)∵f(x)=2sin xcos x+ 3(2cos2x-1) π =sin 2x+ 3cos 2x=2sin(2x+ ), 3 π ∴y=f(-3x)+1=2sin(-6x+ )+1 3 π =-2sin(6x- )+1, 3 2π π ∴y=f(-3x)+1 的最小正周期为 T= = , 6 3 π π π 由 2kπ- ≤6x- ≤2kπ+ 2 3 2 1 π 1 5π 得: kπ- ≤x≤ kπ+ ,k∈Z, 3 36 3 36 1 π 1 5π ∴y=f(-3x)+1 的单调递减区间是[ kπ- , kπ+ ],k∈Z. 3 36 3 36 A π (2)∵f( - )= 3. 2 6 π π ∴2sin(A- + )= 3, 3 3 ∴sin A= 3 . 2

π π ∵0<A< ,∴A= . 2 3 b+c 由正弦定理得:sin B+sin C= sin A, a 即 13 3 b+c 3 = × ,∴b+c=13, 14 7 2

由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A 得: a2=(b+c)2-2bc-2bccos A, 即 49=169-3bc,∴bc=40, 1 1 3 ∴S△ABC= bcsin A= ×40× =10 3. 2 2 2 1 2.解 (1)根据题意, x 甲= (4+5+7+9+10)=7, 5 1 x 乙= (5+6+7+8+9)=7, 5

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1 26 2 2 2 2 2 s2 =5.2, 甲= [(4-7) +(5-7) +(7-7) +(9-7) +(10-7) ]= 5 5 1 2 2 2 2 2 s2 乙= [(5-7) +(6-7) +(7-7) +(8-7) +(9-7) ]=2. 5
2 ∵ x 甲= x 乙,s2 甲>s乙,

∴两组技术工人加工这种零件的总体水平相当,甲组技术工人加工这种零件的技术水平差异 比乙组技术工人的大. (2)记该车间加工的零件质量合格为事件 A,则从甲、乙两组技术工人分别随机抽取 1 名,他 们加工的合格零件个数的基本事件为(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,5),(5,6),(5,7),(5,8), (5,9),(7,5),(7,6),(7,7),(7,8),(7,9),(9,5),(9,6),(9,7),(9,8),(9,9),(10,5),(10,6),(10,7), (10,8),(10,9),共 25 种, 事件 A 包含的基本事件为(4,9),(5,8),(5,9),(7,6),(7,7),(7,8),(7,9),(9,5),(9,6),(9,7), (9,8),(9,9),(10,5),(10,6),(10,7),(10,8),(10,9),共 17 种, 17 ∴P(A)= , 25 17 ∴该车间加工的零件质量合格的概率为 . 25 3.(1)证明 ∵A1A⊥底面 ABC, ∴A1A⊥AB, 又∵AB⊥AC,A1A∩AC=A, ∴AB⊥平面 AA1C1C. (2)解 如图,∵平面 DEF∥平面 ABC1, 平面 ABC∩平面 DEF=DE, 平面 ABC∩平面 ABC1=AB,∴AB∥DE, ∵在△ABC 中 E 是 BC 的中点, ∴D 是线段 AC 的中点. (3)证明 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A=AC, ∴侧面 A1ACC1 是菱形,∴A1C⊥AC1, 由(1)可得 AB⊥A1C, ∵AB∩AC1=A,∴A1C⊥平面 ABC1, ∴A1C⊥BC1. 又∵E,F 分别为棱 BC,CC1 的中点,

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∴EF∥BC1, ∴EF⊥A1C. an?an+1? 4.解 (1)∵Sn= ,n∈N*, 2 a1?a1+1? 当 n=1 时,S1= ,∴a1=1. 2
2 ? ?2Sn=an+an, 当 n≥2 时,由? 2 ?2Sn-1=an-1+an-1, ? 2 得 2an=2(Sn-Sn-1)=a2 n-an-1+an-an-1,

∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0, ∵an+an-1>0, ∴an-an-1=1(n≥2), ∴数列{an}是等差数列, ∴an=n. n?n+1? (2)由(1)知 Sn= , 2 2Sn n ∴bn= = , n ?-2? ?n+1? ?-2?n n-1 1 2 n ∴Tn= + , 2+…+ n-1+ -2 ?-2? ?-2? ?-2?n n-1 2 n -2Tn=1+ +…+ - + - , -2 ?-2?n 2 ?-2?n 1 两式相减, 1 1 1 n 得-3Tn=1+ + +…+ - - -2 ?-2?2 ?-2?n 1 ?-2?n 1 1- ?-2?n n 2 1 n = - = [1- ]- , 1 ?-2?n 3 ?-2?n ?-2?n 1-?- ? 2 2 2+3n 1 n ∴Tn=- + (- ) . 9 9 2 5.(1)解 由题意知,椭圆的一个顶点为(0, 3), c 1 即 b= 3,e= = ,∴a=2, a 2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 4 3 (2)解 由题意可知,直线 l 与椭圆必相交. ①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.
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②当斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠0),且 M(x1,y1),N(x2,y2). x y ? ? 4 + 3 =1, 由? ? ?y=k?x-1? 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 4k2-12 8k2 x1+x2= , 2,x1x2= 3+4k 3+4k2 → → OM· ON=x1x2+y1y2 =x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1] = = 4k2-12 2 4k2-12 8k2 +1) 2 +k ( 2- 3+4k 3+4k 3+4k2 -5k2-12 =-2, 3+4k2
2 2

解得 k=± 2, 故直线 l 的方程为 y= 2(x-1)或 y=- 2(x-1), 即 2x-y- 2=0 或 2x+y- 2=0. (3)证明 设 M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),由(2)可得 |MN|= 1+k2|x1-x2| = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] = 4k2-12 8k2 2 ?1+k2?[? ?] 2? -4? 3+4k 3+4k2

12?k2+1? = , 3+4k2 x y ? ? 4 + 3 =1, 12 由? 消去 y 并整理得 x2= , 3+4k2 ? ?y=kx |AB|= 1+k2|x3-x4|=4 3?1+k2? , 3+4k2
2 2

48?1+k2? 3+4k2 |AB|2 ∴ = =4,为定值. |MN| 12?k2+1? 2 3+4k 1 6.解 (1)f′(x)=ln x+1,x>0,由 f′(x)=0 得 x= , e

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1 1 所以 f(x)在区间(0, )上单调递减,在区间( ,+∞)上单调递增. e e 1 所以,x= 是函数 f(x)的极小值点,极大值点不存在. e (2)g(x)=xln x-a(x-1), 则 g′(x)=ln x+1-a, 由 g′(x)=0,得 x=ea 1,


所以,在区间(0,ea 1)上,g(x)为递减函数,


在区间(ea 1,+∞)上,g(x)为递增函数.


当 ea 1≤1,即 a≤1 时,在区间[1,e]上,


g(x)为递增函数,所以 g(x)的最小值为 g(1)=0. 当 1<ea 1<e,即 1<a<2 时,g(x)的最小值为 g(ea 1)=a-ea 1.
- - -

当 ea 1≥e,即 a≥2 时,在区间[1,e]上,


g(x)为递减函数,所以 g(x)的最小值为 g(e)=a+e-ae. 综上,当 a≤1 时,g(x)的最小值为 0; 当 1<a<2 时,g(x)的最小值为 a-ea 1;


当 a≥2 时,g(x)的最小值为 a+e-ae.

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