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分类计数原理与分步计数原理 2


§ 10.1分类计数原理与分步计数原理

引例:某火车站,进站台需要上楼 ,该车站有楼梯4座,电梯2座,自动扶 梯1座。一位旅客要进站台,共有多少 种不同的走法?
进站台共有(4)+(2)+(1)=(7) 种不同的走法。

问题一:1、从甲地到乙地,可以乘火车, 也可以乘汽车,一天中,火车有3班,汽车有2 班.那么一天中,乘坐

这些交通工具从甲地到乙 地共有多少种不同的走法?

分析: 因为一天中从甲地到乙地有两类方法: 第一类方法,乘火车,有3种方法 第二类方法,乘汽车,有2种方法 所以,一天中从甲地到乙地共有3+2=5种方法

思考: 用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号,总共能够编出多 少种不同的号码?
因为英文字母共有 26个,阿拉伯数字 0 ~ 9共有 10个, 所以总共可以编出 26 ? 10 ? 36种不同的号码 .

探究 你能说说这个问题的特 征吗?
上述问题中 , 最重要的特征是" 或" 字的出现 : 每个座位 可以用一个英文字母或 一个阿拉伯数字编号 .由于英文 字母、阿拉伯数字各不 相同,因此用英文字母编出的 号 码与用阿拉伯数字编出 的号码也是各不相同的 .

分类计数原理:完成一件事情,有n类办
法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第 二类办法中有m2种不同的方法,……,在 第n类办法中有mn种不同的方法。那么完 成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。 ★分类计数原理也称加法原理
如果计数的对象可以分成若干类,使得每两类没有公共 元素,则分别对每一类里的元素计数,然后把各类的元素数目 相加,便得出所要计数的对象的总数。

例题讲解:
例1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到A、B两所 大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下: A大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢? B大学 数学 会计学 信息技术学 法学

变式:
若还有C大学,其中强项专业为:新闻学、金融 学、人力资源学.那么,这名同学可能的专业选择共 有多少种? A大学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学 C大学 新闻学

生物学
化学 医学

金融学
人力资源学

物理学
工程学

注意:分类加法计数做到不重,不漏!

★使用分类计数原理中的“分类”要注意 : 1.首先要根据问题的特点确定一个

分类的标准,标准必须一致,而且全面 、不重不漏! 2.每一类办法中的任何一种方法 都能将这件事情从头至尾完成。 3.完成这件事的任何一种方法必 属于某一类,并且分别属于不同两 类的两种方法都是不同的方法.

思考、用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯 数字,以A1,A2,· · · ,B1,B2,· · · 的方式给教室 里的座位编号,总共能编出多少个不同的号 码?

字母

数字
1 2 3 4

得到的号码
A1 A2

A3
A4

A

5
6

A5
A6

7
树形图 8

A7
A8

9

A9

我们还可以这样来思考 : 由于前6个英文字母的任意一个 都能与9 个数 字中的任何一个组成一 个号码, 而且它们各不 相同,因此共有6 ? 9 ? 54 个不同的号码 .

探究 你能说说这个问题的特征吗?
上述问题中, 最重要的特征是 " 和" 字的出现 : 每个座位由一个英文字母和一个阿拉伯数 字构成, 每个英文字母与不同的数字组成的 号码是各不相同的.

分步计数原理:做一件事情,完成它需要
分成 n个步骤,做第一步有m1 种不同的方法 ,做第二步有m2种不同的方法,…,做第n 步有mn 种不同的方法。必须经过每一个步骤 ,才能完成这件事,那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。 ★分步计数原理也称乘法原理。
如果计数的对象可以分成若干步骤来完成,并且对于 前面几步的每一种完成方式,下一步有相同数目的做法, 则依次计算第一步的做法数目,第二步的做法数目,…, 最后一步的做法数目,然后把各步的做法数目相乘,便 得出所要计数的对象的总数。

例2、设某班有男生30名,女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不 同的选法? 例3、肥城市的部分电话号码是0538323××××,后面 每个数字来自0~9这10个数,问可以产生多少个不同的 电话号码? 分析:

0538323 分析:

10×10× 10× 10=104 10× 9 × 8 × 7=5040

变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?

例3、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?

N=4+3+2=9
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?

N=4 ×3×2=24

例4

要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,

分别挂在左右两边墙上的指定位置,问共有多
少种不同的挂法?

3× 2

(3)从书架上取2本不同种的书,有多少种不同 的取法?

解:需先分类再分步. 第一类:从一、二层各取一本,有4×3=12种方法; 第二类:从一、三层各取一本, 有4×2=8种方法; 有3×2=6种方法; 第三类:从二、三层各取一本, 根据两个基本原理,不同的取法总数是 N=4×3+4×2+3×2=26

答: 从书架上取2本不同种的书,有26种不同 的取法.

应用:1、如图,由甲地去乙地,要从甲
地先乘火车到丙地,在于次日从丙地乘汽 车到乙地,一天中,火车有3班,汽车有2 班,那么两天中,从甲地到乙地共有多少 种不同的走法? 所有走法:
火车1 汽车1 丙地 汽车2 乙地 甲地 火车2 火车3

分析: 从甲地经丙地去乙地可分为2步, 第一步, 先由甲地去丙地,有3种方法, 第二步, 再由丙地去乙地,有2种方法, 所以,从甲地经 丙地去乙地共有 3 ×2 = 6 种不同的方法

火车1——汽车1; 火车2——汽车1; 火车3——汽车1; 火车1——汽车2; 火车2——汽车2; 火车3——汽车2.

练习:

1、两个袋子里分别装有40个红球,60个白球, 从中任取一个球,有多少种取法?
解:取一个球的方法可以分成两类: 60 一类是从装白球的袋子里取一个白球 有40种取法; 另一类是从装红球的袋子里取一个红球 40 个 个

练习:

1、两个袋子里分别装有40个红球,60个白球, 从中任取一个球,有多少种取法?
解:取一个球的方法可以分成两类: 40 一类是从装白球的袋子里取一个白球 有40种取法; 另一类是从装红球的袋子里取一个红球 有60种取法。 60 个

因此取法种数共有
40+60=100(种)



练习3:
某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法? (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有 多少种不同的选法?

解: (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法, 第一类办法, 从男三好学生中任选一人, 共有m1 = 5 种 不同的方法; 第二类办法, 从女三好学生中任选一人, 共有m2 = 4 种不 同的方法; 所以, 根据加法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种。

练习3:
某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法? (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有 多少种不同的选法?

解: (2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈 会这件事, 需分2步完成, 第一步, 选一名男三好学生,有 m1 = 5 种方法; 第二步, 选一名女三好学生,有 m2 = 4 种方法; 所以, 不同选法种数共有N = 5 × 4 = 20 种。
点评: 解题的关键是从总体上看这件事情是“分类完成 ”,还是“分步完成”,“分类完成”用“加法原理”, “分步完成”用“乘法原理”。

实际问题
从甲地到乙地有3条路,从乙地到丁地有2条路; 从甲地到丙地有3条路,从丙地到丁地有4条路, 问:从甲地到丁地有多少种走法?
解:要完成从甲地到丁地这件事情有 甲地 两种路线可以走,即可以分为两类: 甲地 乙地 丁地 甲地 丙地 丁地 丙地 第一类又可以分为两步,第一步有2种 方法,第二步有3种方法,因此第一类 走法有2 ×3=6(种) 同理第二类走法有4 ×2=8(种) 所以,从甲地到丁地有6+8=14种走法。

乙地 丁地

4. 要从甲、乙、丙3名工人中选出2 名分别上日班和晚班,有多少种不 同的选法? 第一步:选1人上日班; 有3种方法 第二步:选1人上晚班. 有2种方法

N=3×2=6(种)

5.从5人中选4人参加数、理、化学科 竞赛,其中数学2人,理、化各1人, 求共有多少种不同的选法? 物理1人 化学1人 数学2人

5种

4种

3种

N=5×4×3=60(种)

6.三个比赛项目,六人报名参加。
6 1)每人参加一项有多少种不同的方法? 3 ? 729

2)每项1人,且每人至多参加一项,有多 少种不同的方法? 6 ? 5 ? 4 ? 120 3)每项1人,每人参加的项数不限,有多 少种不同的方法? 3

6 ? 216

7.现要安排一份5天值班表,每天有一个人值班。共有5个人,
每个人都可以值多天班或不值班,但相邻两天不能由同一个 人值班,问此值班表由多少种不同的排法? 解:分5步进行: 第一步:先排第一天,可排5人中的任一个,有5种排法; 第二步:再排第二天,此时不能排第一天的人,有4种排法; 第三步:再排第三天,此时不能排第二天的人,有4种排法; 第四步:同前 第五步:同前 由分步计数原理可得不同排法有5×4×4×4×4=1280种

8.3个班分别从5个风景点中选择一处游览,不同选法的种 数是35还是53?

9.乘积(a1+a2+a3 )(b1+b2+b3+b4 )(c1+c2+c3+c4+c5) 展开后共有多少项?

10.如图,该
电路,从A到B 共有多少条 不同的线路 可通电?

A

B

解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。

在解题时有时既要分类又要分步。

结束语

两大原理妙无穷,
茫茫数理此中求; 万万千千说不尽, 运用解题任驰骋。

课堂练习
1、8本不同的书,任选3本分给3个同学,每 人1本,有多少种不同的分法? 2、将4封信投入3个邮筒,有多少种不同的投 法? 3、已知 a ?{3, 4,6}, b ?{1, 2,7,8}, r ?{8,9} 则方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 可表示不同的圆的 个数有多少?

课堂小结
请同学们回答下面的问题 : 1. 本节课学习了那些主要内容?

分类计数原理和分步计数原理。 2. 分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么?不同点什么?

共同点是:它们都是研究完成一件事情, 共有多少种 不同的方法。 不同点是: 它们研究完成一件事情的方式不同, 分类计数原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任 何一个方法都能完成这件事。分步计数原理是“分步 完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每 一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重 点。


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