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【人教版】2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《定积分与微积分基本定理》(知识梳理+典例讲解+习题)


2.4 定积分与微积分基本定理 考纲点击 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解 定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 3.会用定积分求曲边梯形的面积.

考点梳理 一、定积分的概念 1.定积分的定义和相关概念: (1)函数 f(x)定义在区间[a,b]上,用分点 a=x0<x1<…< xi-1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等

分成 n 个小区间,其长度 依次为 Δxi=xi+1-xi(i=0,1,2……n-1),记 λ 为这些小区间长 度的最大者,当 λ 趋近于 0 时,所有小区间长度都趋近于 0, 在每个小区间任取一点 ξi 作和式 In=∑ f(ξi)Δxi, λ→0 时, 当 如 =
i 0 n-1

果和式极限存在,则称和式 In 的极限为函数 f(x)在区间[a,b] ?b ? f?x?dx 上的定积分,记作①______,即? =②________. ?
a

(2)在?bf(x)dx 中, 与 b 分别叫做积分下限与积分上限, ? a 区 ?
?a

间③________叫做积分区间,函数④________叫做被积函数, ⑤________叫做积分变量,⑥________叫做被积式.

2.定积分的几何意义: (1)当函数 f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分
?b ? ? ?

a

f?x?dx 的

几何意义是由直线 x=a, x=b(a≠b), y=0 和曲线 y=f(x)所围 成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分).

(2)一般情况下,定积分?bf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、 ? ?
?a

曲线 f(x)以及直线 x=a、 x=b 之间的曲边梯形面积的代数和(图 ②中阴影所示),其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分 值,在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的⑦__________.

3.定积分的基本性质: (1)?bkf(x)dx=⑧____________________________. ? ?
?a

(2)?b[f1(x)± 2(x)]dx=⑨___________________. ? f ?
?a

(3)?bf(x)dx=⑩______________________________. ? ?
?a

二、定积分基本定理 如果 F′(x)=f(x)且 f(x)在[a,b]上可积,那么?bf(x)dx= ? ?
?a

?__________,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿- 莱布尼兹公式. 为了方便,常把 F(b)-F(a)记成?______,即?bf(x)dx=? ? ?
?a

________=F(b)-F(a).

答案: f(x)dx ① ⑥f(x)dx f2(x)dx ⑦相反数
?a ?c

?b ? ? ?a

②lim ∑ Δxif(ξi) ③[a, b] →∞ =
n i 0

n-1

④f(x) ⑤x ⑨ ?b f1(x)dx±?b ? ? ? ?
?a ?a

⑧k ?b f(x)dx(k 为常数) ? ?
?a

⑩?c f(x)dx+?bf(x)dx(其中 a<c<b) ?F(b)-F(a) ? ? ? ? ?

b F(x)|a ?F(x)|b a

考点自测 1.?5(2x-4)dx=( ? ?
?0

) B.4 C.3 D.2

A.5

解析:?5(2x-4)dx=(x2-4x)|5=(52-4×5)-(02-4×0) ? 0 ?
?

0

=5. 答案:A

2.已知自由落体的速度为 v=gt,则落体从 t=0 到 t=t0 所走的路程为( ) 1 2 A.3gt0 B.gt2 0 1 2 1 2 C.2gt0 D.4gt0

1 2 1 2 解析:∫t00gtdt=2gt |t00=2gt0. 答案:C

3π 3.曲线 y=cosx(0≤x≤ )与两坐标轴所围成图形的面积 2 为__________.

解析:

答案:3

4.若?1f(x)dx=1,?2f(x)dx=-1,则?2f(x)dx=__________. ? ? ? ? ? ?
?0 ?0 ?1

解析:∵?2f(x)dx=?1f(x)dx+?2f(x)dx, ? ? ? ? ? ?
?0 ?0 ?1

∴?2f(x)dx=?2f(x)dx-?1f(x)dx ? ? ? ? ? ?
?

1

?

0

?

0

=-1-1=-2. 答案:-2

疑点清源 1.在直角坐标系中,由曲线 f(x),直线 x=a,x=b(a≠b) 和 x 轴围成的曲边梯形的面积的求法分为以下几种情况: (1)y=f(x)(f(x)≥0,x∈[a,b]),x=a,x=b(a<b)和 x 轴 围成的曲边梯形的面积为 S=?bf(x)dx(这时曲线全部在 x 轴上 ? ?
?a

方); (2)如果在[a,b] 上,f(x)≤0,则曲线 y=f(x),x=a,x= b(a<b)和 x 轴围成的曲边梯形的面积为 S= ?b |f(x)|dx=-?b ? ? ? ?
?a ?a

f(x)dx(这时曲线全部在 x 轴下方);

(3)如果在[a,b]上,f(x)有正有负,即曲线在 x 轴上方和下 方都有图象,例如:在(a,c)上位于 x 轴上方,在(c,b)上位于 x 轴下方,则曲线 y=f(x),x=a,x=b(a<b)和 x 轴围成的曲 边梯形的面积为 S=?c f(x)dx+?b|f(x)|dx= ? ? ? ?
?

a

?

c

?c ? ? ?a

f(x)dx-?bf(x)dx. ? ?
?c

2.由曲线 y=f(x),y=g(x)(f(x)>g(x))与直线 x=a,x= b(a<b)围成的图形的面积为 S=?b[f(x)-g(x)]dx. ? ?
?

a

3.利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤 ①根据题意画出图形; ②根据范围,定出积分上、下限; ③确定被积函数; ④写出相应的定积分表达式; ⑤用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分,求出结果.

? 4.?bf(x)dx,b|f(x)|dx, bf(x)dx|三者在几何意义上的不同. ? ? |? ? 当 ? ? ? ?

a

?

a

?

a
?a ?a

? f(x)≥0 即函数 f(x)的图象全部在 x 轴上方时,bf(x)dx=?b|f(x)|dx ? ? ? ?

=|?bf(x)dx|表示界于 x 轴、曲线 y=f(x)以及直线 x=a,x=b ? ?
?

a

之间的曲边形的面积;当 f(x)≤0 即函数的图象全部在 x 轴下 方时,?b|f(x)|dx=|?bf(x)dx|表示界于 x 轴、曲线 y=f(x)以及直 ? ? ? ?
?a ?a

线 x=a,x=b 之间的曲边形的面积,而?bf(x)dx<0,其结果是 ? ?
?a

面积的相反数;

? 当函数 f(x)的图象在 x 轴上方和下方都有时,bf(x)dx 表示 ? ? ?a

界于 x 轴、曲线 y=f(x)以及直线 x=a,x=b 之间各部分面积 的代数和,在 x 轴上方的面积取正值,在 x 轴下方的面积取负 值,?b|f(x)|dx 表示界于 x 轴、曲线 y=|f(x)|以及直线 x=a,x ? ?
?a

=b 之间的曲边形的面积,如图所示.

题型探究 题型一 计算积分 例 1 计算以下定积分:

1 2 3 解析:(1)函数 y=2x -x的一个原函数是 y=3x -lnx,所 ? 2 1 2 3 16 2 14 ? 2 2 ?2 以? (2x - )dx=( x -lnx)? -ln2- = -ln2. 1= ? x 3 3 3 3 ? 1 ?
2 1

1 2 1 ?3 (2) ( x+ ) dx=? (x+x+2)dx ? x ?
?3 ? ? ?2

2

? 1 2 =( x +lnx+2x)? ? 2 ?2 3 9 =ln2+2.
3

9 =( +ln3+6)-(2+ln2+4) 2

1 (3)函数 y=sinx-sin2x 的一个原函数为 y=-cosx+2 cos2x, π 1 所以∫ 0(sinx-sin2x)dx=(-cosx+ cos2x) 3 2 1 1 1 =(-2-4)-(-1+2) 1 =- . 4

点评:利用微积分基本定理求定积分,其关键是求出被积 函数的原函数, 求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互 逆运算,因此应注意掌握一些常见函数的导数.此外,如果被 积函数是绝对值函数或分段函数, 那么可以利用定积分的性质 ?b ?c ?b ? f(x)dx=? f(x)dx+? f(x)dx(a<c<b),根据函数的定义域,将 ? ? ?
?a ?a ?c

积分区间分解为若干部分,代入相应的解析式,分别求出积分 值,相加即可.

变式探究 1

函数 F(x)=?x t(t-4)dt 在[-1,5]上( ? ?
?0

)

A.有最大值 0,无最小值 32 B.有最大值 0,最小值- 3 32 C.有最小值- 3 ,无最大值 D.既无最大值也无最小值

? 13 2 ? ?x ?x 2 解析:F(x)=? t(t-4)dt=? (t -4t)dt=( t -2t )? ? ? 3 ? ? ?
0 0 2

x 0

1 3 = x 3

7 -2x ,函数 F(x)的极值点为 x=0,x=4,F(-1)=- ,F(0) 3 32 25 32 =0, F(4)=- 3 , F(5)=- 3 , F(x)有最大值 0, 故 最小值- 3 . 故选 B. 答案:B

题型二 利用定积分求曲边梯形的面积 1 例 2.求曲线 y= x,x+y=2,y=-3x 围成的平面图形的 面积.

?y= x ? 解析:解方程组? ?x+y=2 ?

?y= x ?x+y=2 ? ? 及? 1 1 及? ?y=-3x ?y=-3x ? ?

得交点(1,1)(3,-1)(0,0).

1 1 ?3 所以 S= [ x-(-3x)]dx+? [(2-x)-(-3)x]dx ? ?
?1 ? ? ?0

1

1 1 ?3 = ( x+3x)dx+? (2-x+3x)dx ? ?
?1 ? ? ?0

1

2 3 1 2? 1 2 1 2? ? =( x + x )? +(2x- x + x )? 3 2 6 ?0 2 6 ?1 ? 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 13 =(3+6)+(2×3-2· +6· )-(2×1-2· +6· )= 6 . 3 3 1 1
1 3

点评:本题如选择积分变量 y,则三个函数为 x=y2,x= 0 ? 2-y,x=-3y,三个上下限的值为-1,0,1.所以 S=? -1-1[(2 ? 0 ? -y)-(-3y)]dy+ ?1[(2-y)-y2]dy= ? -1 (2+2y)dy+ ?1 (2-y- ? ? ? ? ?
?0 ?0

?0 y2)dy=(2y+y2)? ? ? -1

? 1 1 2 1 3? +(2y-2y -3y )? ? 0

=-(-2+1)+(2-

1 1 13 2-3)= 6 .

变式探究 2 求由抛物线 y=x2 与直线 y=x+2 所围成的 平面图形的面积.

?y=x2 ? 解析:解方程组? ?y=x+2 ?

得出交点:坐标为 A(-1,1),

B(2,4),所以所求图形的面积

题型三 定积分在物理学中的应用 例 3.一点在直线上从时刻 t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+ 3(m/s)运动,求: (1)在 t=4s 时的位置; (2)在 t=4s 运动的路程.

解析:(1)在时刻 t=4 时,该点的位移为 ? 13 4 ? 2 4 ?4 2 ? (t -4t+3)dt=( t -2t +3t)? 0= (m). ? ? 3 3 ?
0

4 即在 t=4s 时刻该点距出发点3m.

(2)∵v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3) ∴在区间[0,1]及[3,4]时,v(t)≥0. 在区间[1,3]上,v(t)<0, ∴在 t=4s 时的路程为 s=?1(t2-4t+3)dt+|?3(t2-4t+3)dt|+?4(t2-4t+3)dt=4m. ? ? ? ? ? ?
?0 ?1 ?3

点评:用定积分解决变速运动的位置与路程问题时,将物 理问题转化为数学问题是关键,另外,路程是位移的绝对值之 和,一定要判断在不同区间上位移的符号,否则会出现计算错 误.

变式探究 3 一质点运动时速度与时间的关系为 v(t)=t2 -t+2,质点做直线运动,则此物体在时间[1,2]内的位移为 ( ) 17 14 13 11 A. B. C. D. 6 3 6 6

13 12 17 2 解析:s= (t -t+2)dt=(3t -2t +2t)|1= 6 .
?2 ? ? ?1

2

故选 A. 答案:A

归纳总结 ?方法与技巧 1.求定积分的一些技巧 (1)对被积函数,要先化简,再求定积分. (2)求被积函数是分段函数的定积分,依据定积分的性质, 分段求定积分再求和. (3)对含有绝对值符号的被积函数, 要去掉绝对值符号才能 求定积分.

2.几种典型的曲边梯形面积的计算方法 (1)由三条直线 x=a、x=b(a<b)、x 轴,一条曲线 y= f(x)[f(x)≥0]围成的曲边梯形的面积(如图 1): S=?bf(x)dx. ? ?
?a

图1

(2)由三条直线 x=a、x=b(a<b)、x 轴、一条曲线 y= f(x)[f(x)≤0]围成的曲边梯形的面积(如图 2): S=|?bf(x)dx|=-?bf(x)dx. ? ? ? ?
?a ?a

图2

(3)由两条直线 x=a、x=b(a<b)、两条曲线 y=f(x)、y= g(x)[f(x)≥g(x)]围成的平面图形的面积(如图 3); S=?b[f(x)-g(x)]dx ? ?
?

a

图3

?失误与防范 1.被积函数若含有绝对值号,应去绝对值号,再分段积 分. 2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是 被积变量. 3. 定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限. 4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面 积非负,而定积分的结果可以为负. 5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分,可使面积 的求解变得简捷.

新题速递 1? 1.(2013· 东北一模)若 2x+x?dx=3+ln2(a>1),则 a 的值 ?
?a ? ? ? ? ?

?

1

是(

) A.2
?a ? ? ? ? ?

B.3
?

C.4

D.6

1? 解析: 2x+x?dx=(x2+lnx)|a =a2+lna-1=3+ln2, 1 ?
1

即 a=2. 答案:A

π π 2.(2013· 日照期末)由直线 x=-3,x=3,y=0 与曲线 y =cosx 所围成的封闭图形的面积为( ) 1 A.2 B.1 3 C. D. 3 2

解析:封闭图形的面积为:

答案:D

3.(2013· 广州一模)已知 a=?π( 3cosx-sinx)dx,则二项式 ? ?
? a ?5 2 ?x + ? 展开式中 x? ?
?0

x 的系数为(

)

A.10 B.-10 C.80 D.-80

解析:a=?π( 3cosx-sinx)dx=( 3sinx+cosx)|π=-2. ? 0 ?
? a ?5 2 又?x +x? ? ?
?0

的通项 Tr+1=Cr x2(5-r)(-2x-1)r=2rCr x10-3r,令 5 5

10-3r=1,∴r=3.此时 x 的系数为(-2)3C3=-80. 5 答案:D

4 . (2012· 西 卷 ) 计 算 定 积 分 ?1 - 1(x2 + sinx)dx = 江 ? __________.
?x3 ? 2 2 1 解析:?1-1(x +sinx)dx=? 3 -cosx?|-1= . ? 3 ? ?

2 答案: 3

5.(2013· 上海卷)已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC, ?1 ? 其中 A(0,0)、B?2,5?、C(1,0).函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图象 ? ? 与 x 轴围成的图形的面积为__________.

解析:由题意可得函数 1 ? 0≤x≤ , ?10x, 2 f(x)=? 1 ?-10x+10, 2<x≤1, ? 1 ? 2 ?10x , 0≤x<2, 则 y=xf(x)=? ?-10x2+10x, 1≤x≤1. 2 ?

所以构成图象的面积为定积分值,即

5 答案:4


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