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3.1.2两条直线平行与垂直的判定


《普通高中课程标准实验教科书· 数学(A版)》必修2第三章

【创设情境】
问题 1:刻画直线倾斜程度的有哪些? 问题 2:什么叫倾斜角?它的范围是什么? 问题 3:什么叫斜率?如何计算?

练习1:判断正误: ①直线的倾斜角为α,则直线的斜率为 tan ? ②因为平行于y轴的直线的斜率不存在,所以平 行于y轴的直线的倾斜角不

存在 ③两直线的斜率相等,则它们的倾斜角相等; ④每条直线都有倾斜角。 ⑤每条直线都有斜率。

【探究新知】
1、两条直线平行的判定: 探究 1: 对于两条不重合的直线 l1 与 l2 , 其斜率分别为 k1 与 k2 ,
y

若 l1 // l2 ,则 k1 与 k2 满足什么关系?反之成立吗?
2

探究 2: ll1 // l2 , k1 = k2 吗?反之,l , 则?, ?// l2 吗? 若1 则 ? l 解析:若l //若 k1 = k2 则 l1
1 2 1 2

归纳:两条不重合的直线 l1 与 l2 ,其斜率分别为 k1 与 k2 ,
? ?// l1 1 l2 ? 2k1 ? k2

? tan ?1 ? tan ?2

o

x

? k1 ? k2
反之,若k1 ? k2 , 则l1 // l2

【探究新知】
1、两条直线平行的判定: 探究 2: l1 // l2 , k1 = k2 吗?反之, k1 = k2 , l1 // l2 吗? 若 则 若 则 归纳:两条不重合的直线 l1 与 l2 ,其斜率分别为 k1 与 k2 ,

解析:l1与l2有可能重合, 且斜率有可能不存在
l1 // l2 ? k1 ? k2

若l1 // l2,则?1 ? ?2 , 但k1 ,k2不一定存在
反之,若k1 ? k2 , 则l1与l2可能重合

【探究新知】
1、两条直线平行的判定: 归纳:两条不重合的直线 l1 与 l2 ,其斜率分别为 k1 与 k2 ,

l1 // l2 ? k1 ? k2
练习2:下列说法中正确的有( A ) ①若两条直线斜率相等,则两直线平行.

②若l1∥l2,则k1=k2.
③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的 斜率存在,则两直线相交. ④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【探究新知】
2、两条直线垂直的判定: 思考 1:(1)若 l1 ? l2 且 l1 的倾斜角为 30 , l2 的倾斜角为 120 , 则 k1 与 k2 有何关系? (2) l1 ? l2 且 l1 的倾斜角为 60 ,l2 的倾斜角为 150 , 若 则 k1 与 k2 有何关系?
y 思考 2:对于两条不重合的直线 l1 与 l2 ,其斜率分别为 k1 与 k2 , 提示:可能用到公式:

?

?

?

?

1 tan(90 ? ? ) ? ? 当 l1 ? l2 时,则 k1 与 k2 有何关系? tan ?
0

O

x

易知:l1 ? l2时,k1 ? k2 ? ?1

【探究新知】
2、两条直线垂直的判定: 思考 2:对于两条不重合的直线 l1 与 l2 ,其斜率分别为 k1 与 k2 , 当 l1 ? l2 时,则 k1 与 k2 有何关系?
几何画板演示

解析:设l1与l2的倾斜角分别为?1与? 2 ??1 , ? 2 ? 90o ? , 则

?2 ? ?1 ? 90

o

y

1 o ? tan ? 2 ? tan ??1 ? 90 ? ? ? tan ?1

l2
?1
O

l1
?2
x

? k1 ? k2 ? ?1

【探究新知】
思考 3: 对于两条不重合的直线 l1 与 l2 , 其斜率分别为 k1 与 k2 , 1 2 1 2 当 k1 k2 ? ?1 时,则 l1 与 l2 的位置关系如何? 垂直 1 2 1 2 思考 4:若 l1 ? l2 ,则 k1 k2 ? ?1 吗?为什么? 1 2 1 2
解析:(1)当l1与l2斜率都存在时,则 k1 l ? k 归纳:如果两条直线都有斜率,则 l1 ?·2= -1 k1 k2 ? ?1 2 1 2 1 2 (2)一条直线斜率不存在,另一条直线的斜率为零.
y
l2
?1

y

l1
?2

l2

l1

O

x

O

x

当 k1 k2 ? ?1 时,则 l1 与 l2 的位置关系如何?

【探究新知】

思考 4:若 l1 ? l2 ,则 k1 k2 ? ?1 吗?为什么? 2、两条直线垂直的判定 归纳:如果两条直线都有斜率,则 l1 ? l2 ? k1 k2 ? ?1
练习3:下列命题 ①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行; ②如果两直线平行,则它们的斜率相等; ③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直; ④如果两直线垂直,则它们斜率之积为-1. 其中正确的为( B )

A.①②③④

B.①③

C.②④ D.以上全错

归纳:
1. 代数方法判定两直线平行或垂直的结论:
若直线l1、l2 存在斜率k1, k2,则
(1) l1 // l2 k1=k2( l1、l2 不重合) l1// l2或 若l1、l2可能重合,则k1=k2 l1与l2重合

(2)l1⊥l2

k1·2=-1 k

2. 利用斜率研究直线位置关系必须讨论是 否存在.

【典例剖析】
例 1、判断直线 AB 与直线 PQ 的位置关系: (1)A(2,3)、B(-4,0)、 P(-3,2)、Q(-1,3); (2)A(-6,0)、B(3,6)、 P(0,3)、 Q(6,-6); (3)A(2,3)、B(-4,0)、 P(-2,1)、Q(0,2); (4)A(-2,0)、B(-2,3)、 P(0,3)、 Q(3,3)。

解:(1)

y

直线BA的斜率kBA

3?0 ? 2 ? (?4)

1 ? 2
P

Q A

直线PQ的斜率kPQ

1 2 ?1 ? ? ?1 ? (?3) 2
B

? kBA ? kPQ ?直线BA // PQ.
(2)k AB 2 ? , 3

O

x

k PQ

3 ?? . 2

? k AB kPQ

2 ? 3? ? ? ? ? ? ? ?1, 3 ? 2?

?直线AB ? PQ.

【典例剖析】
例 2、已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(-7,0)、 B(2,-3)、C(5,6)、D(-4,9), (1)试判断直线 AC 与直线 BD 的位置关系。 (2)试判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明。

解:

(1) k AC

1 ? , k BD ? ?2, 2

? k AC ? kBD ? ?1,
? AC ? BD

【典例剖析】
例 2、已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(-7,0)、 B(2,-3)、C(5,6)、D(-4,9), (1)试判断直线 AC 与直线 BD 的位置关系。 (2)试判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明。 1 1 解: (2)k AB ? ? , kBC ? 3, kCD ? ? , kDA ? 3, 3 3 ? k AB ? kCD , kBC ? kDA , ? AB // CD, BC // DA

?四边形ABCD是平行四边形.

? k AB ? kBC ? ?1, ?平行四边形ABCD是矩形.
由(1)知: AC ? BD ?四边形ABCD是正方形.

【典例剖析】
例 3、已知四边形 ABCD 的顶点为 A(m,n)、 B(6,1)、C(3,3)、D(2,5), 求 m、n 的值,使四边形 ABCD 为直角梯形。

变式1:若A、B、C、D为直角梯形的四个顶点, 求m、n的值;

变式2:若A、B、C、D为平行四边形的四个顶点,
求m、n的值。

【知识归纳】
知识:1、两条不重合的直线 l1 与 l2 ,其斜率分别为 k1 与 k2 ,

l1 // l2 ? k1 ? k2
2、如果两条直线都有斜率,则 l1 ? l2 ? k1 k2 ? ?1 方法:代数方法研究几何问题。 思想:数形结合、分类讨论的思想。

【学以致用】
教材P.89 练习第1、2题

【作业布置】

1、教材89页第6、7、8题。
2、思考题:魔术师的地毯


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