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第一课不等式的综合应用


二轮复习之一不等式的综合应用
不等式的常考题型:
一、含参数不等式的解法 例 1:解关于 x 的不等式:已知关于 x 的不等式 (kx ? k 2 ? 4)( x ? 4) ? 0 ,其中 k ? R . (1) (2) 当 k 变化时,试求不等式的解集 A ; 对于不等式的解集 A ,若满足 A Z ? B (其中 Z 为整数集). 试探究集合 B 能否为有



练习 2:若对任意 x ? [?1,1] ,不等式 (a ? 2) x ? a 2 ? 4a ? 4 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ____________

限集?若能, 求出使得集合 B 中元素个数最少的 k 的所有取值, 并用列举法表示集合 B ; 若不能, 请说明理由.

解题思路:首选: 次选: 三、不等式有解(无解)问题 例题 1:当 x ? [?2,?1] 时,不等式 x ?

m ? 2 ? 0 有解,则 m 的取值范围是 x



练习:当 x ? [?2,?1] 时,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 有解,则 m 的取值范围是
2



.

ax ? 1。 练习:解关于 x 的不等式: x ?1

例题 2:当 x ? [?2,2] 时,不等式 x ? 2mx ? 1 ? 0 有解,则 m 的取值范围是
2



解题思路:首选: 次选: 四、超越不等式的解法 二、不等式恒成立问题 例题 1:若函数 f(x) = 例题:若不等式 loga x ? sin 2x(a ? 0且a ? 1) ,对于任意 x ? (0,

?
4

] 都成立,则实数 a 的取值范

2x ?2ax?a ?1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为_______.

2



, 2) 时,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是 例题 2:当 x ? (1
2



练习:不等式 2x ? x 2 ? kx ? k 的解集不为空集,则 k 的取值范围是___________

, 2) 时,不等式 x ? 练习 1:当 x ? (1

m ? 2 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是 x



解题思路:

例题 3:若 x ? 1 ? x ? a ? 2 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为



五、基本不等式的应用 例题:某商场的某种商品的年进货量为 1 万件,分若干次进货,每次进货的量相同,且需 运费 100 元,运来的货物除出售外,还需租仓库存放,一年的租金按一次进货时的一半来计算, 每件 2 元,为使一年的运费和租金最省,每次进货量应为多少?

8.已知关于 x 的不等式 | x ? 2 | ?3 ? x ? m 的解集为非空集合,则 m 的取值范围是_____

时 ,不等式 sin 9.当 0 ? x ? 1

?x
2

? kx 成立,则实数 k 的取值范围是_______________.

10.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润 y(单 位:10 万元)与营运年数 x 的函数关系为 y ? ?( x ? 6) 2 ? 11 ( x ? N ? ), 则每辆客车营运多少年, 其运营的年平均利润最大 A.3 B.4 练习:某农场要挖一个面积为 432m 的矩形鱼池,周围两侧分别留出宽分别为 3m,4m 的堤堰, 要想使占地总面积最小,此时鱼池的长等于 、宽等于 .
2

( C .5
2

) D .6

11.对于满足 m ? 2 的所有实数 m,求使不等式 x ? mx ? 1 ? 2 x ? m 成立的 x 的取值范围。

巩固练习:
2 1.. 若 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 {x | ?1 ? x ? 2} , 则 不 等 式

2a ? b ? c ? b | x | 的解集 x





1 . x 2 ? 15 ? (1)设集合 A ? ? x f ? x ? ? ? , B ? x x 2 ? 6 x ? p ? 0 ,若 A B ? ? ,求实数 p 的取 4? ?

12.已知函数 f ? x ? ? 2 x ?

?

?

值范围; (2)若 2t f ? 2t ? ? mf ?t ? ? 0 对于 t ??1, 2? 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2 当实数 a 为何值时,不等式 (a ? 3a ? 2) x ? (a ? 1) x ? 2 ? 0 的解是一切实数?
2 2

3.若不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为________
2

4.若关于不等式|x+log3x|<|x|+|log3x|的解集为________________ 5.若不等式 2 2 xy ? a( x 2 ? y 2 ) 对于一切 x, y ? R 恒成立,则实数 a 的最小值为
?
2 6. a 为已知实数,它使得仅有一个实数 x 满足不等式 x ? 2ax ? 3a ? 2 ,则实数 a ?

. .

7.三个同学对问题“关于 x 的不等式 x +25+| x -5 x |≥ ax 在[1,12]上恒成立,求实数 a 的取 值范围”提出各自的解题思路. 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” . 乙说: “把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值” . 丙说: “把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图像” . 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即 a 的取值范围是

2

3

2


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