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高中数学必修1 第1章 1.3.1 第一课时 知能优化训练


高中数学必修 1 第 1 章 1.3.1 第一课时知能优化训练

1.对于正弦函数 y=sinx 的图象,下列说法错误的是( ) A.向左、右无限延展 B.与 y=-sinx 的图象形状相同,只是位置不同 C.与 x 轴有无数个交点 D.关于 y 轴对称 解析:选 D.y=sinx 是奇函数,图象关于原点对称. 2.用“五点法”作 y=2sin2x 的图象时,

首先描出的五个点的横坐标是( ) π 3 π π 3 A.0, ,π, π,2π B.0, , , π,π 2 2 4 2 4 π π π 2 C.0,π,2π,3π,4π D.0, , , , π 6 3 2 3 π 3π π π 3π 解析:选 B.令 2x=0, ,π, ,2π 得 x=0, , , ,π. 2 2 4 2 4 3.下列命题中正确的个数为( ) π ①y=sinx 的递增区间为[2kπ,2kπ+ ](k∈Z) 2 ②y=sinx 在第一象限是增函数 π π ③y=sinx 在[- , ]上是增函数 2 2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 解析:选 A.由 y=sinx 的单调性知①②错,③正确. 4.函数 y=sin2x-6sinx+10 的最大值是________,最小值是________. 解析:令 sinx=t,t∈[-1,1],则 t2-6t+10=(t-3)2+1,∴最大值为 17,最小值为 5. 答案:17 5 一、选择题 1.函数 y=sin|x|的图象是(

)

? ?sinx,?x≥0? 解析:选 B.y=sin|x|=? ,作出 y=sin|x|的简图知选 B. ?-sinx,?x<0? ? π 2.设函数 f(x)=|sin(x+ )|(x∈R),则 f(x)( ) 3 2π 7π A.在区间[ , ]上是增函数 3 6 π B.在区间[-π,- ]上是减函数 2 π π C.在区间[ , ]上是增函数 3 4 π 5π D.在区间[ , ]上是减函数 3 6 π π π π 解析:选 A.f(x)的增区间为 kπ≤x+ ≤kπ+ (k∈Z),即 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 3 2 3 6

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2π 7π 2π 7π 当 k=1,则为 ≤x ≤ ,故在其子区间[ , ]上为增函数. 3 6 3 6 3.(2010 年高考江西卷)函数 y=sin2x+sinx-1 的值域为( ) 5 A.[-1,1] B.[- ,-1] 4 5 5 C.[- ,1] D.[-1, ] 4 4 解析:选 C.令 sinx=t,t∈[-1,1], 1 5 ∴y=t2+t-1=(t+ )2- , 2 4 5 ∵t∈[-1,1],∴y∈[- ,1]. 4 4.(2011 年济宁高一检测)已知 a∈R,函数 f(x)=sinx-|a|(x∈R)为奇函数,则 a 等于( ) A.0 B.1 C.-1 D.± 1 解析:选 A.定义域为 R.∴f(-x)=sin(-x)-|a|=-f(x)=-sinx+|a|.∴|a|=0,∴a=0. 1 5.(2011 年汕头模拟)函数 y=sinx 的定义域为[a,b],值域为[-1, ],则 b-a 的最大值和最小值之和 2 为( ) 4π A. B.2π 3 3π C.4π D. 2 4π 2π 4π 2π 解析:选 B.画出图象可知,b-a 的最大值为 ,最小值为 ,∴最大值和最小值的和为 + =2π 3 3 3 3 6.下列函数中,奇函数的个数是( ) ①y=x2sinx;②y=sinx,x∈[0,2π];③y=sinx,x∈[-π,π];④y=xcosx. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 C.①∵x∈R 定义域关于原点对称,且 f(-x)=(-x)2· sin(-x)=-x2· sin x=-f(x),是奇函数.② ∵x∈[0,2π]定义域不关于原点对称,∴它是非奇非偶函数.③∵x∈[-π,π],∴定义域关于原点对称,且 f(- x)=sin(-x)=-sinx=-f(x), 是奇函数. ④∵x∈R 关于原点对称且 f(-x)=(-x)· cos(-x)=-x· cosx=-f(x), 是奇函数.综上应选 C. 二、填空题 1 7.(2011 年聊城高一检测)方程 sinx= x2 有________个正实根. 100 1 解析:由图象看出在 y 轴右侧两个函数 y=sinx,y= x2 有 3 个交点. 100 1 故方程 sinx= x2 有 3 个正实根. 100

答案:3 1 8.函数 y=( )sinx 的单调递增区间为________. 2 解析:设 u=sinx,由复合函数的单调性知求原函数的单调递增区间即求 u=sinx 的单调递减区间,结合 π 3π u=sinx 的图象知:2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 2 2 π 3π 答案:[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z) 2 2

9.(2011 年烟台模拟)函数 f(x)=sinx+2|sinx|(x∈[0,2π])的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,则

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k 的范围是________.
?3sinx,x∈[0,π] ? 解析:f(x)=sinx+2|sinx|=? 分别画出 f(x)及 y=k 的图象(图略),由图象可知 1<k<3. ? ?-sinx,x∈[π,2π] 答案:(1,3) 三、解答题 10.对于函数 y=|sinx|和 y=sin|x|. (1)分别作出它们的图象; (2)分别求出其定义域、值域,单调递增区间,并判断其奇偶性、周期性. 解:(1)y=|sinx|的图象如图①所示.

y=sin|x|图象如图②所示.

π (2)y=|sinx|,定义域:R;值域:[0,1];单调递增区间:[kπ,kπ+ ](k∈Z),偶函数,周期为 π. 2 3 π π y=sin|x|,定义域:R;值域:[-1,1];单调递增区间:[2kπ- π,2kπ- ](k 为非正整数),[0, ],[2kπ 2 2 2 3π 5π + ,2kπ+ ](k 为非负整数);偶函数;非周期函数. 2 2 3 1 11.若函数 y=a-bsinx 的最大值为 ,最小值为- ,试求函数 y=-4asinbx 的最值及周期. 2 2 解:设 t=sinx∈[-1,1], 3 1 a+b= ? 2 ?a=2 ①当 b>0 时,a-b≤a-bt≤a+b.∴ ,∴? .∴所求函数为 y=-2sinx. 1 ? ?b=1 a-b=- 2

? ? ?

?a-b=2 ②当 b<0 时,同理可得? 1 ?a+b=-2

3

1 ? ?a=2 ,∴? .∴所求函数为 y=-2sin(-x)=2sinx. ? ?b=-1

∴综合①②得,所求函数为 y=± 2sinx,其最小值为-2,最大值为 2,周期为 2π. π 12.已知函数 f(x)= 2asin(x- )+a+b. 4 (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调递减区间; (2)当 a<0 时,f(x)在[0,π]上的值域为[2,3],求 a,b 的值. π 解:(1)当 a=1 时,f(x)= 2sin(x- )+1+b. 4 π 3π ∵y=sinx 的单调递减区间为[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z), 2 2 π π 3π 3π 7π ∴当 2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ ,即 2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z)时,f(x)是减函数,所以 f(x)的单调递减区 2 4 2 4 4 3π 7π 间是[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z). 4 4 π π π 3π 2 π (2)f(x)= 2asin(x- )+a+b,∵x∈[0,π],∴- ≤x- ≤ ,∴- ≤sin(x- )≤1. 4 4 4 4 2 4

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π 又∵a<0,∴ 2a≤ 2asin(x- )≤-a.∴ 2a+a+b≤f(x)≤b. 4 ∵f(x)的值域是[2,3],∴ 2a+a+b=2 且 b=3,解得 a=1- 2,b=3.


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