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2.4.2 抛物线的几何性质22


高中数学 选修1-1

一、温故知新

抛物线的标准方程
(1)开口向右 y2 = 2px (2)开口向左 2 y =-2px ( p >0 ) ( p >0 ) (3)开口向上 x2 = 2py (4)开口向下 x2 =-2py ( p >0 ) ( p >0 )

二、探索新知

如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质?

1.


范围

y

由抛物线y2 =2px(p>0)

2 px ? y ? 0 p?0
2

o

F(

p ,0) 2

x

x?0 ?

所以抛物线的范围为 x ? 0

2.

对称性
关于x轴

y

? ( x, y)

对称

( x, ? y )
2

若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px,o F ( p ,0) 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.

x

3.

顶点

y

定义:抛物线与它 的轴的交点叫做抛物线

的顶点.

? y2 = 2px

o

F(

(p>0)中,

p ,0) 2

x

令y=0,则x=0.
即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点(0,0).

4.

离心率

y
P(x,y)

抛物线上的点与焦点的 距离和它到准线的距离之比, 叫做抛物线的离心率.

o

p F ( ,0) 2

x

由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0) 的离心率为e=1.

5.

通径

过焦点而垂直于对称轴的 弦AB,称为抛物线的通径. |AB|=2p 利用抛物线的顶点、 通径的两个端点可较准 确画出反映抛物线基本 特征的草图.

y
A O B

y2=2px
? p ? ? , p? ?2 ?

2p F
?p ? ? ,? p ? ?2 ?

x

2p越大,抛物线张口越大.

6.

焦半径

连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做 抛物线的焦半径. y
焦半径公式:
P

|PF|=x0+p/2
O F

x

抛物线的基本元素 y2=2px
y

基本点:顶点,焦点 基本线:准线,对称轴
x

基本量:P(决定 抛物线开口大小)

方程

y2 = 2px (p>0) y

y2 = -2px

x2 = 2py

x2 =-2py (p>0) y
x l O F




l O F x

(p>0) y l
F O x

(p>0) y
F O

l
x

范围
对称性 顶点 焦半径

x≥0 y∈R
关于x轴对称

x≤0 y∈R
关于x轴对称

x∈R y≥0
关于y轴对称

x∈R y≤0
关于y轴对称

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? y0 2

(0,0)
p ? y0 2
p ? ( y1 ? y2 )

焦点弦 长

p ? x1 ? x2

p ? ( x1 ? x2 )

p ? y1 ? y2

归纳:
(1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它 也可以无限延伸,但没有渐近线; (2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条 准线; (4)抛物线的离心率e是确定的为1;

(5)抛物线的通径为2p,2p越大,抛物线的 张口越大.

三、典例精析 例1 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原 ?2 2),求它的标准方程. 点,并且经过点M(2,

解:

因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原 点,并且经过点M(2,?2 2),

所以设方程为:

y ? 2 px ( p ? 0)
2
2

又因为点M在抛物线上: 所以: (?2

2) ? 2 p ? 2 ? p ? 2
2

因此所求抛物线标准方程为: y

? 4x

探照灯、汽车前灯的反光曲面,手电筒的反光镜 面、太阳灶的镜面都是抛物镜面.

抛物镜面:抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面. 灯泡放在抛物线的焦点位置上,通过镜面反射就变 成了平行光束,这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理.

平行光线射到抛物镜面上,经镜面反射后,反射 光线都经过抛物线的焦点,这就是太阳灶能把光能转 化为热能的理论依据.

例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源 位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60cm,灯深 40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置.y A (40,30) 解: 在探照灯的轴截面 所在平面内建立直 ? 角坐标系,使反射镜 x O 的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径. B 设抛物线的标准方程为:y2=2px 由条件可得A (40,30), 代入方程得: 45 2 解之: p= 4 30 =2p· 40 45 45 2 故所求抛物线的标准方程为: y = 2 x, 焦点为( 8 ,0)

思考题
例3 图中是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离

水面2米,水面宽4米. 水下降1米后,水面宽多少? 若在水面上有一宽为 2米,高 为1.6米的船只,能否安全通过拱桥? A(2,-2) x2=-2y
y=-3代入得 x ?
y o 2 x A

6
l

?水面宽2 6米.
B(1,y) y=-0.5 B到水面的距离为1.5米

B

2 4

不能安全通过.

四、课堂练习
(1)已知点A(-2,3)与抛物线

y ? 2 px( p ? 0)
2

的焦点的距离是5,则P =



(2)抛物线 y 2 ? 4 x 的弦AB垂直x轴,若|AB|= 则焦点到AB的距离为 .

4 , 3

2 y ? 4x 交于A,B两 (3)已知直线x-y=2与抛物线

点,那么线段AB的中点坐标是



4.求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点在直线x-2y-4=0上. (2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长 为 15. 5.点A的坐标为(3,1),若P是抛物线 y ? 4 x上的 一动点,F是抛物线的焦点,则|PA|+|PF|的最小值为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2 6.已知Q(4,0),P为抛物线 y ? x ? 1 上任一点, 则|PQ|的最小值为( ) 3 10 19 A. B. C. D. 3 2 2 2
2

五、归纳总结
1.范围: 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可 以无限延伸,但没有渐近线; 2.对称性: 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.顶点:抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; 4.离心率:抛物线的离心率是确定的,等于1; 5.通径: 抛物线的通径为2p,2p越大,抛物线的张 口越大. 6.光学性质: 从焦点出发的光线,通过抛物线反射就 变成了平行光束.


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