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福建省厦门市翔安第一中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题


厦门市翔安第一中学 2015-2016 学年第二学期高一年期中考试卷 数学科
考试时间: 2016 年 4 月 22 日 7:50—9:50 满分 150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。最后要将所有答案填写在答题卷上,否则不给分。 1.已知集合 A ? x x ? Z , B ? x 0 ? x ? 3 ,则 A ? B ? ( A.

?

?

?

?

) D. )

? x 0 ? x ? 3?

B. ?1, 2?

C.

? x 1 ? x ? 2?
D. 120?

?x x ? Z ?

2. 若直线经过 A(1, 0), B 4, 3 两点,则直线 AB 的倾斜角为( A. 30 ? B. 45 ? C. 60 ?

?

?

3. 如图, Rt ?O ' A ' B ' 是 ?OAB 的斜二测直观图,斜边 O ' A ' ? 2 ,则 ?OAB 的面积是( A.


y'

2 2

B. 1

C. 2

D. 2 2
O'

B' A'
第 3题

x'

4.若圆 x ? ? y ? ? ?x ? ? y ? ? 关于直线 ?x ? y ? m ? ? 对称,则实数 m 的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3

)
y

5.如图,函数 y ? x 的图像过矩形 OABC 的顶点 B,且 OA ? 4 . 若在矩形 OABC 内随机地撒 100 粒豆子,落在图中阴影部分 的豆子有 67 粒,则据此可以估算出图中阴影部分的面积约为( A.2.64 B.2.68 C.5.36 D.6.64 )

C

B

y= x

O

A

x

6.如图是某年青年歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为数字 0~9 中的 一个).去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为 a1,a2,则一定有( ) A.a1>a2 B.a1<a2 C.a1=a2 D.a1,a2 的大小与 m 的值有关

7.如右图,在正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,点 P 为线段 AD? 的中点,则异面直线

CP 与 BA? 所成角 ? 的值为(
A. 30
?



B. 45 D. 90
2

?

C. 60

?

?

P

8.已知 BC 是圆 x ? y ? 25 的动弦, 且 |BC|=6 ,则 BC 的中点的轨迹方程是 (
2

) .

A. x ? y ? 1
2 2

B. x ? y ? 9
2 2

C. x ? y ? 16
2 2

D. x ? y ? 4
2 2

9.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为( A. 3? B.

) .

3 ? 3
2 2

C.

2 ? 3

D.

2 3 ? 3
)

10.已知点 M(a,b)在圆 O:x +y =4 外,则直线 ax+by=4 与圆 O 的位置关系是( A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定

1

11.如图,在空间四边形 ABCD 中,点 E,H 分别是边 AB,AD 的中点,F,G 分别是边 BC,CD 上的点,且 CF =
CB CG = 2 ,则( CD 3



A.EF 与 GH 互相平行 B.EF 与 GH 异面 C.EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上,也可能不在直线 AC 上 D.EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上 12.奇函数 f ( x) 、偶函数 g ( x) 的图像分别如图 1、2 所示,方程 f ?g ?x ?? ? 0, g ? f ?x ?? ? 0 ,的实根个数分 别为 a 、 b ,则 a ? b ? ( A.10 B.8 ) C. 7 D.3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分, 把答案填在题中答题卷相应横线上,否则不给分。 13. 两直线 3x+4y-9=0 和 3x+my+1=0 平行, 则它们 之间的距离为___________. 14.一个几何体的三视图如右图所示,其 中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等 的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为 .
正视图

侧视图

15.已知圆 C1: x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 和圆 C2: x2 ? y 2 ? 4x ? 10 y ? 13 ? 0 , 则两圆的公切线有 条. 16.如图是一几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形,E,F 分别为 PA,PD 的中点. 在此几何体中,给出下面四个结论: ①B,E,F,C 四点共面; ②直线 BF 与 AE 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD; . ⑤折线 B→E→F→C 是从 B 点出发,绕过三角形 PAD 面,到达点 C 的 一条最短路径. 其中正确的有 . (请写 出所有符合条件的序号) 三、解答题:本题有 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 .(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ln ?1 ? x ? ? ln ?1 ? x ? . (1)求出函数 f ? x ? 的定义域,并求不等式 f ?x ? ? 0 的解集. (2)判断 f ?x ? 的奇偶性并证明.

俯视图

18.(本小题满分 12 分). 如图, 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2,0) , AB 边
2

所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 T (?1,1) 在 AD 边所在 直线上. (1)求 AD 边所在直线的方程; (2)求矩形 ABCD 外接圆的方程.

19.(本小题满分 12 分) 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2, E、F 、 G 分别是 B1C1 、 AD 1 、 D1 E 的中点. (1)求证: FG ∥平面 AA 1E ; (2)求 AE 与平面 A1 B1C1 D1 所成的角的正切值.
B F A C D

A1 B1 G E C1

D1

20.(本小题满分 12 分) 某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布) 如表: 学历 本科 研究生 35 岁以下 80 35~50 岁 30 20 50 岁以上 20

x

y

(1)用分层抽样的方法在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本, 将该样本看成一 个总体,从中任取 2 人,求至少有 1 人的学历为研究生的概率; (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人,其中 35 岁 以下 48 人,50 岁以上 10 人,再从这 N 个人中随机抽取出 1 人,此人的年龄为 50 岁以 5 上的概率为 ,求 x、y 的值. 39
3

21. (本小题满分 12 分) 如图,棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,B1C⊥A1B. (1)证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (2)设 D 是 A1C1 上的点且 A1B∥平面 B1CD,求

A1D 的值. DC1

22. (本小题满分 14 分)
2 已知圆 M 的方程为 x 2 ? ? y ? 2? ? 1 ,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点 P 在直线 l 上,过 P 点作圆 M 的

切线 PA,PB,切点为 A,B. (1)若 ?APB ? 60? ,试求点 P 的坐标;

(2)若 P 点的坐标为 ?2,1? ,过 P 作直线与圆 M 交于 C,D 两点,当 CD ? 求直线 CD 的方程; (3)经过 A,P,M 三点的圆必过定点,求出所有定点的坐标.

2 时,

4

厦门市翔安第一中学 2015-2016 学年第二学期高一年期中考 数学科参考答案 一、选择题: 1-5 BADCC 6-10 BACBC 11-12 DA 二、填空题: 13. 2 14. 3? 15. 1 16. ①②③ 三、解答题: 17 . (本小题满分 12 分) 解:(1)由 ?

由 f ?x ? ? 0 即 ln?1 ? x ? ? 1n?1 ? x ?

?1 ? x ? 0 解得函数的定义域为 ? ?1,1? ,…………………………… 2 分 ?1 ? x ? 0

?1 ? x ? 1 ? x ? 由 ? 1 ? x ? 0 解得不等式的解集为 ?? 1,0? …………… 6 分 ? 1? x ? 0 ?
(2)判断知 f ? x ? 为奇函数,……7 分 证明:设任意 x ? ? ?1,1? , f ? ?x ? ? ln ?1 ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? ? f ? x ? ,所以函数 f ( x) 为奇函数.……12 分 18.( 本小题满分 12 分) 解: (1)因为AB边所在直线的方程为 ,? k AB ?

1 ……………………1 分 3
………………3 分

? AB ? AD,? k AB ? k AD ? ?1,? k AD ? ?3
又因为点 在直线AD上, ,即

所以AD边所在的直线的方程为

.…………6 分

(2)由

,解得点A的坐标为

,…………………………………8 分

因为矩形ABCD两条对角线的交点为 所以M为矩形ABCD外接圆的圆 心, 又
2



,………………………………………………11 分 ……………………………………12 分

从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 ?x ? 2? ? y 2 ? 8 . 19.(本小题满分 12 分) 证明:(1)? F 、 G 分别是 AD 1 、 D1 E 的中点.

? FG // AE, FG ? 面AA1 E, AE ? 面AA1 E

? FG ∥平面 AA1 E

……………………………………………6 分

5

(2) ? AA 1 ? A 1 B1C1 D1

? A1 E 是 AE 在平面 A1 B1C1 D1 上的投影 ? ?A1 EA 是 AE 与平面 A1 B1C1 D1 所成的角
………………………8 分

? tan?A1 EA ?

AA1 2 2 5 ? ? A1 E 5 5
2 5 . 5
………………………12 分

? AE 与平面 A1 B1C1 D1 所成的角的正切值为
20.(本题满分 12 分)

解:(1)用分层抽样的方法在 35~50 岁中抽取一个容量为 5 的样本, 设抽取学历为本科的人数 m, 30 m ∴ = ,解得 m=3. 50 5 ……2 分

∴抽取了学历为研究生的 2 人,学历为本科的 3 人,分别记作 S1、S2;B1、B2、B3. 记至少有 1 人的学历为研究生为事件 A … ……3 分

从中任取 2 人的所有基本事件有:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2), (S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3).共 10 个 ……5 分

其中至少有 1 人的学历为研究生的基本事件:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3), (S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2).共 7 个 ∴从中任取 2 人,至少有 1 人的教育程度为研究生的概率为 P? A? ? 10 5 (2)依题意得: = ,解得 N=78. N 39 ∴35~50 岁中被抽取的人数为 78-48-10=20. ∴ 48 20 10 = = . 80+x 50 20+y ……12 分 ……6 分 7 .……7 分 10 ……8 分 ……9 分

解得 x=40,y=5.∴x=40,y=5. 21.(本题满分 12 分) (1)证明:因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C⊥BC1. 又 B1C⊥A1B,且 A1B∩BC1=B, 所以 B1C⊥平面 A1BC1.又 B1C? 平面 AB1C, 所以平 面 AB1C⊥平面 A1BC1. (2)解:设 B C1 交 B1C 于点 E,连接 DE,

……6 分

面A1 BC1 ? 面B1CD ? DE, A1 B ? 面B1CD
6

因为 A1B∥平面 B1CD,所以 A1B∥DE. A1D 又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点,即 =1……12 分 DC1

22.(本题满分 14 分) 解:(1)? 点 P 在直线 l 上,可设 P?2m, m? ,又 ?APB ? 60? 由题可知 MP ? 2 AM ,? MP ? 2

? (2m)2+(m﹣2)2=4,
解之得: , .

………………………2 分

故所求点 P 的坐标为 P(0,0)或

…………………4 分

(2)①当斜率不存在时, 直线 CD 的方程为: x ? 2 ,此时直线 CD 与圆 M 相离,不符合。…5 分 ②当斜率存在时,设直线 CD 的方程为:y﹣1=k(x﹣2), 由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为 ,所以 , …………7 分

解得,k=﹣1 或

,故所求直线 CD 的方程为:x+y﹣3=0 或 x+7y﹣9=0.……9 分 ,

(3)设 P(2m,m),MP 的中点

因为 PA 是圆 M 的切线,所以经过 A,P,M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, 故 其方程为: 化简得:x2+y2﹣2y﹣m(2x+y﹣2)=0,此式是关于 m 的恒等式, 故 x +y ﹣2y=0 且(2x+y﹣2)=0,
2 2

……11 分

解得



所以经过 A,P,M 三点的圆必过定点(0,2)或 ?

?4 2? , ? ?5 5?

………………………14 分

7


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