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第19讲 双曲线的标准方程(艺考生专用)


梅花香自苦寒来

宝剑锋从磨砺出

★谨以此案赠送给有梦想的学子

第十九讲
◆知识精要
1.椭圆的定义

双曲线的标准方程

y
·P ·

F1

0

·

F2

x

如图,平面上有两个定点 F1 , F2 ,动点 P 到两个定点的距离差的绝对值是 一个定值(设为 2 a ),即 || PF1 | ? | PF2 ||? 2a ,当 2a ?| F1F2 | 时,动点 P 的轨迹就 是如图所示的双曲线.这里两个定点叫做双曲线的焦点,线段 | F1F2 | 的长叫做双 曲线的焦距,并令 | F1F2 |? 2c . 说明:①在双曲线的定义中,要求 || PF1 | ? | PF2 ||? 2a ?| F1F2 | ,这时动点 P 的 轨迹才是双曲线; ②如果动点 P 到两个定点的距离差的绝对值 || PF1 | ? | PF2 ||? 2a ?| F1F2 | 时,想一想,动点 P 的轨迹又表示什么曲线呢?

③如果动点 P 到两个定点的距离差的绝对值 || PF1 | ? | PF2 ||? 2a ?| F1F2 | 时,想一想,动点 P 的轨迹又表示什么曲线呢?

2.双曲线的标准方程 我们来推导双曲线的标准方程,需要先建系,建立如图所示的坐标系,并 设点 P 的坐标为 ( x, y) ,设 | F1F2 |? 2c ,则点 F1 , F2 的坐标分别为 F1 (?c,0) ,

F2 (c,0) ,根据 || PF1 | ? | PF2 ||? 2a 建立方程式.(提示:令 a 2 ? b2 ? c 2 )
y
·P ·

F1

0

·

F2

x
1

坚 持 吧 , 因 为 美 好 的 生 活 将 要 实 现 了 !

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说明:①如图,我们建系时是把两个焦点放在了 x 轴上,那么我们得到的方程是 焦点在 x 轴上的方程,设想一下,有没有焦点在 y 轴上的双曲线方程 呢?肯定有,只要我们在建系时把焦点放在 y 轴上就行了,此时得到的 方程便是焦点在 y 轴上的双曲线方程了. ②焦点在 x 轴上的双曲线方程:

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ; a 2 b2

y2 x2 焦点在 y 轴上的双曲线方程: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ; a b x2 y2 y2 x2 说明:我们把形如 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) (或 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) )叫做 a b a b
双曲线的标准方程,我们发现,判断焦点在哪个轴上,就看哪个变量前面 符号是正号,焦点在变量前面符号是正号的变量所对应的轴上,并且焦点 在哪个变量对应的轴上,则那个变量下方的分母就是 a 2 . 3.认识双曲线

y
· ·1 ·A · ·· F1 1 0 A2 F2 · B2

⑴如图,点 A1 , A2 在双曲线的图象上,

B P

我们把 | A1 A2 | 叫做双曲线的实轴,

x

看见 B1 , B2 没有, 它们并不在双曲线 的图象上,自然不是双曲线的顶点, 所以我们 B1 , B2 叫做双曲线的虚顶

点, 自然把 | B1B2 | 叫做双曲线的虚轴, 把 | F1F2 | 叫做双曲线的焦距.其中 A1 ,A2 叫做双曲线的实顶点, B1 , B2 叫做双曲线的虚顶点, F1 , F2 叫做双曲线的焦点. ⑵你能求出顶点 A1 , A2 , B1 , B2 , F1 , F2 坐标吗?再求出实轴长,虚轴长,焦距.

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2

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⑶想一想,双曲线上哪一个点到焦点 F2 的距离最近,最近距离是多少?存在到 焦点 F2 的距离最远的点吗?如果存在,则最远距离是多少?

考考你: ⑴判断下列双曲线的焦点在哪个轴上,并求出 a 值.

x2 y2 ① ? ? 1; 6 4

y2 x2 ② ? ? 1; 2 5

x2 ③y ? ? 1; 5
2

x2 y2 ④ ? ? 1. 12 8

⑵求出下列双曲线中顶点的坐标和焦点的坐标,并求出实轴长和虚轴长 ① x2 ?

y2 ? 1; 5



y2 x2 ? ? 1. 6 4

⑶(2011·安徽)双曲线 2x 2 ? y 2 ? 8 的实轴长是( A.2 B.2 2 C.4

) D.4 2

⑷已知双曲线两个焦点分别为 F1 ? ?5,0? ,F2 ? 5,0? , 双曲线上一点 P 到 F1 ,F2 距 离差的绝对值等于 6 ,求双曲线的标准方程.

⑸ 动点 P 到点 M(1,0)及点 N(3,0)的距离之差为 2,则点 P 的轨迹是(

)

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A.双曲线 C.两条射线

B.双曲线的一支 D.一条射线

x2 y2 ⑹ 以椭圆 3 + 4 =1 的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的 方程是( ) x2 B.y - 3 =1
2

x2 2 A. 3 -y =1

x2 y2 C. 3 - 4 =1

y2 x2 D. 3 - 4 =1

⑺已知双曲线的焦点分别为(0,-2)、(0,2),且经过点 P(-3,2),则双曲线的 标准方程是________.

⑻求满足下列条件的双曲线的标准方程. 9 ①已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线过点(3,-4 2)和(4,5). x2 y2 ②与双曲线16- 4 =1 有公共焦点,且过点(3 2,2).

⑼① 若方程

x2 y2 + =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是( 10-k 5-k

)

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A.(5,10) C.(10,+∞)

B.(-∞,5) D.(-∞,5)∪(10,+∞) )

② 在方程 mx2 ? my2 ? n 中,若 mn ? 0 ,则方程表示的曲线是( A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

4.我们要对双曲线进一步认识,你准备好了吗?

y

M

⑴我们发现三角形 ?PF1F2 中有两个顶 点是焦点, 所以这个三角形叫做双曲

· ·1 ·A · ·· F1 1 0 A2 F2 · B2
N

B P

x

线的焦点三角形.有关焦点三角形涉 及的问题,也是高考考查的重要知 识,我们要用心学习噢!

① ?PF1F2 的面面积: S ?PF1F2 ?

b2 tan

?
2

②判断角 ?F1PF2 的大小:双曲线中,P 点向实轴的两个端点逼近时,角 ?F1 PF2 趋近 1800, 当 P 在双曲线上向无限远处移动时, 角 ?F1 PF2 变小, 所以 ?F1 PF2 的范围是 (0,1800 ) .

⑵你发现没有,有一条弦 MN 正好通过焦点 F2 , 且垂直于 x 轴,要记住,这条弦可不是一条普通 的焦点弦,我们把它叫做“通径” ,你有办法求 出通径的两个端点 M , N 的坐标吗?你能求通 径的长吗?

y

M

· ·1 · ·0 · · F1A1 A2 F2 · B2
N

B P

x

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( N (c,?

b2 b2 2b 2 ) ) 、 M (c, ) 、 | MN |? a a a

记住一个小知识:在双曲线所有的焦点弦中,通径是最短的. 说明:你发现没有,双曲线中通径长和通径坐标和椭圆都是一样的.

⑶你看到没有, PF1 和 PF2 可不是焦点弦,因为它和双曲线只有一个交点,这两 条线段叫做双曲线的“焦半径” ,焦半径很重要,在高考中总是被重点考查. 双曲线有两个分支, P 点在不同的分支上,其焦半径公式也不一样,设点 P 的 坐标为 ( x, y) , 当 P 点在双曲线右支上时,| PF |? ex ? a , 其中 | PF1 |? ex ? a ,

| PF2 |? ex ? a ;而当 P 点在双曲线左支上时, | PF |? ?(ex ? a) ,因 F1 , F2 是
左右焦点,所以简记为“左加右减” ,这和平移公式口诀一样,其中 e ? 双曲线的离心率, x 是点 P 的横坐标. 说明:如果焦点在 y 轴上,将 x 换成 P 的纵坐标,即 | PF |? ey ? a . 补充说明:双曲线的焦半径公式与椭圆的焦半径公式非常相似,区别就是“ a ”和 “ ex ”的位置不同,椭圆的焦半径公式是 | PF |? a ? ex ,那么怎样记住 这两个焦半径公式呢?这里提供联想记忆法, 记住记不住, 就看你的 了.(略)

c 是 a

⑷看见双曲线内两侧各有一条垂直于 x 轴 的直线没有,它叫做椭圆的“准线” , 左侧的叫做“左准线” ,右侧的叫做 “右准线” ,其对应直线方程是 x ? ?

y

M

a . c

2

· 1· ·A · ·· F1 1 0 A2 F2 · B2
N

B P

x

⑸看右图,双曲线中过原点有两条直线,这 两条直线叫做双曲线的渐近线,渐近线非

y
b · · ·0 · α· F2 F1 ·

x
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常重要,其直线方程的求法有两种方法. ①公式法求渐近线方程: 如图, 长方形的对角线所在的直线方程就是渐近线方程,易求渐近线方程 为y??

b x. a

②技巧性求渐近线方程法: 将双曲线“=”左端的“1”改成“0” , “=”右端是一个平方差公式,因式分解后得 到两个因式,则每一个因式“=0” ,得到的这两个方程即是所求的渐近线方程.

x2 y2 如求 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程. a b 2 x y2 解:令 2 ? 2 ? 0 ,则 a b x y x y ( ? )( ? ) ? 0 a b a b x y x y ? ? ?0, ? ?0 a b a b
那么这两个方程就是所求的渐近线方程. 4.认识一下双曲线的离心率 e .

c c 叫做双曲线的离心率,用字母 e 表示,则 e ? . 因 a a c 为 c 2 ? a 2 ? b2 ,所以 c ? a ,所以 e ? ? (1,?? ) . 现在我们研究一下 e 的大 a b c2 a 2 ? b2 b2 k ? 小与双曲线的开口大小的关系. e 2 ? 2 ? ,因为 表示 ? 1 ? a a a2 a2 b 双曲线的渐近线的斜率, k ? 越大,渐近线越陡,双曲线的开口度越大,而 a b 此时 e 越大;当 k ? 越小,渐近线越缓,双曲线的开口越小,而此时 e 越小. a
定义:我们把比值

显摆一下,看看你的实力 x2 y2 1. 若点 M 在双曲线16- 4 =1 上,双曲线的焦点为 F1,F2,且|MF1|=3|MF2|,则

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|MF2|等于( A.2

) B.4 C.8 D.12

y2 x2 2. 设 m 是常数,若点 F(0,5)是双曲线 m - 9 =1 的一个焦点,则 m=________. 3. 已知双曲线的焦点分别为(0,-2)、(0,2),且经过点 P(-3,2),则双曲线的 标准方程是________. x2 y2 4. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知双曲线 4 -12=1 上一点 M 的横坐标为 3, 则 点 M 到此双曲线的右焦点的距离为________. 5. 焦点在 x 轴上的双曲线过点 P(4 2,-3),且点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂 直,求此双曲线的标准方程.

x2 y2 6. 已知双曲线 6 - 3 =1 的焦点为 F1, F2, 点 M 在双曲线上, 且 MF1⊥x 轴,则 F1 到直线 F2M 的距离为( 3 6 A. 5 5 6 B. 6 6 C.5 5 D.6 )

7. 已知双曲线的两个焦点 F1(- 5,0),F2( 5,0),P 是双 →· → 曲线上一点, 且PF |PF1|· |PF2|=2, 则双曲线的标准方程为________. 1 PF2=0, ◆精选作业 1. (2014· 重庆高考文科· T8) 设 F1 , F2 分别为双曲线 左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得 ? PF1 ? PF2 的离心率为( A. 2 ) C. 4 D. 17
8

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a 2 b2
2

?

? b2 ? 3ab, 则该双曲线

B. 15

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2. ( 2014 ·天津高考文科·T 6 同 2014 ·天津高考理科·T 5 ) )已知双曲线
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线平行于直线 l : y ? 2 x ? 10, 双曲线的一个 a 2 b2

焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( A.
x2 y2 ? ?1 5 20


3x 2 3 y 2 ? ?1 25 100

B.

x2 y2 ? ?1 20 5

C.

D.

3x 2 3 y 2 ? ? 1 [来 100 25

3.(2014·湖北高考理科·T9)已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他 们的一个公共点, 且 ?F1PF2 ? 值为( A.
4 3 3

?
3

,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大

) B.
2 3 3

C.3

D.2
x2 y2 =1 与曲线 25 9 ? k

4.(2014·广东高考理科)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线
x2 y2 =1 的 ( 25 ? k 9

) B.实半轴长相等 D.离心率相等
x2 y 2 ? ? 1 ,双曲 a 2 b2

A.焦距相等 C.虚半轴长相等

5.(2014·山东高考理科·T10)已知 a ? b ,椭圆 C1 的方程为

线 C2 的方程为 程为( )

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 , C1 与 C2 的离心率之积为 ,则 C2 的渐近线方 2 a b 2

A. x ? 2 y ? 0

B. 2x ? y ? 0

C. x ? 2 y ? 0

D. 2 x ? y ? 0

x2 y2 6.(2014·江西高考文科·T9)过双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 的右顶点作 x 轴的垂线与 a b

C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为 ( A.
x2 y2 ? ?1 4 12

) D.
x2 y2 ? ?1 12 4

B.

x2 y2 ? ?1 7 9

C.

x2 y2 ? ?1 8 8

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7. (2014·四川高考文科·T11)双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的离心率等于____________. 4

8. (2014·浙江高考文科·T17 理科·T16)设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与 双曲线

x2 y2 B, 若点 P(m,0) ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线分别交于点 A、 a 2 b2

满足 | PA |?| PB | ,则该双曲线的离心率是______.

9. (2013 年高考湖北卷(文) )已知 0 ? ? ?
y2 x2 ? ? 1 的( cos2 ? sin 2 ?

π x2 y2 ? ?1与 ,则双曲线 C1 : 2 4 sin ? cos2 ?

C2 :



C.离心率相等 D.焦距相等 2 2 x y 10. (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) )已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心 a b 率为
5 ,则 C 的渐近线方程为( 2

A.实轴长相等

B.虚轴长相等


1 C. y ? ? x 2

1 A. y ? ? x 4

1 B. y ? ? x 3

D. y ? ? x

11.( 2013 年高考福建卷(文) )双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等 于( A.
1 2

) B.
2 2

C.1

D. 2

12. (2013 年高考重庆卷(文) )设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相较 于点 O 、所成的角为 60 0 的直线 A1B1 和 A2 B2 ,使 A1B1 ? A2 B2 ,其中 A1 、 B1 和

A2 、 B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围
是( A. ( ) B. [
2 3 , 2) 3

2 3 , 2] 3

C. (

2 3 , ??) 3

D. [

2 3 , ??) 3

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13. (2013 年高考北京卷(文) )双曲线 x 2 ? 条件是( 1 A. m ? 2 ) B. m ? 1

y2 ? 1 的离心率大于 2 的充分必要 m
D. m ? 2

C. m ? 1

x2 2 14. (2013 年高考浙江卷(文) )如图 F1.F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 的公 4 共焦点 A.B 分别是 C1.C2 在第二.四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形, 则 C2 的离心率是( )

(第 14 题图)

A. 2

B. 3

C.

3 2

D.

6 2

15. (2013 年高考湖南(文) )设 F1,F2 是双曲线 C,

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个 a 2 b2

焦点.若在 C 上存在一点 P.使 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为_ __. 16. (2013 年高考陕西卷(文) )双曲线
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为________. 16 9

17. (2013 年高考辽宁卷(文) )已知 F 为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1的左焦点, P, Q 为 9 16

C 上的点,若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点 A?5,0? 在线段 PQ 上,则 ?PQF

的周长为____________.

答案:1.D 2.A 3.A 4.A 5.A 6.A 7. 15. 3 ? 1 16.

5 8.略 9.D 10.C 11.B 12.A 13.C 14.D 2

5 17.略 4

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