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【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:8不等式


各地解析分类汇编:不等式
1.【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】已知向量 a ? ( x ? 1,2), b ? (4, y) ,若

a ? b ,则 9 x ? 3 y 的最小值为(
A. 2 3 【答案】C B.12

) C.6 D. 3 2

) y2? 【 解 析 】 因 为 a ? b , 所 以 a b ? 0 , 即 4 (x ? 1?
y x 9 x ? 3y ? 2 3 x ? 3y ? 2 2 3 x ? 3 ? 22? 3 y

0 所 以 2x ? y ? 2 。 则 ,

2 ,当且仅当 32 x ? 3y , 2x ? y ? 1取等号, ? 2 3? 6

所以最小值为 6,选 C. 2. 【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】关于 x 的不等式 ( x ? a)( x ? b) ? 0 的解为
x?c

?1 ? x ? 2 或 x ? 3 ,则点 P(a ? b, c) 位于

(A)第一象限 【答案】A

(B) 第二象限

(C) 第三象限

(D) 第四象限

【解析】由不等式的解集可知, ?1,3 是方程的两个根,且 c ? 2 ,不妨设 a = ? 1 , b=3 , 所以 a ? b=2 ,即点 P(a ? b, c) 的坐标为 (2, 2) ,位于第一象限,选 A. 3.【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】函数 y ? f ( x) 为定义在 R 上的减函数,函 数 y ? f ( x ? 1) 的 图 像 关 于 点 ( 1,0 ) 对 称 ,

x, y 满 足 不 等 式

f ( x 2 ? 2x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 , M (1, 2), N ( x, y) , O 为坐标原点,则当 1 ? x ? 4 时,
OM ? ON 的取值范围为 (
A. ? 12,??? 【答案】D 【解析】因为函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0)对称,所以 y ? f ( x) 的图象关于原点 对 称 , 即 函 数 y ? f ( x) 为 奇 函 数 , 由 B. ?0,3? ) C. ?3,12? D. ?0,12?

f ( x 2 ? 2x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 得

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? x2 ? 2 x ? y 2 ? 2 y ? f ( x2 ? 2x) ? ? f (2 y ? y 2 ) ? f ( y 2 ? 2 y) ,所以 x2 ? 2x ? y 2 ? 2 y ,所以 ?1 ? x ? 4 ,

?( x ? y)( x ? y ? 2) ? 0 ? 1? x ? 4 即? ,画出可行域如图,
可得 =x+2y∈[0,12].故选 D.

?2 x ? y ? 40 ? x ? 2 y ? 50 ? 4.【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】设动点 P ( x, y ) 满足 ? , ?x ? 0 ? ?y ? 0
则 z ? 5 x ? 2 y 的最大值是 A. 50 B. 60 C. 70 【答案】D D. 100

【解析】 作出不等式组对应的可行域 得, y ? ?

, 由 z ? 5x ? 2 y

5 z 5 z 5 z x ? ,平移直线 y ? ? x ? ,由图象可知当直线 y ? ? x ? 经过点 2 2 2 2 2 2 5 z D(20, 0) 时 , 直 线 y ? ? x ? 的 截 距 最 大 , 此 时 z 也 最 大 , 最 大 为 2 2
D. z ? 5 x ? 2 y ? 5 ? 2 0 ? ,选 100

5. 【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】已知向量 a = ( x ? 1,2), b = ( 4, y ) , 若
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a ? b ,则 9 x ? 3 y 的最小值为
A. 2 【答案】C
x y 2 x? y ? 6 .故选 C. 【解析】由题意知 a ? b ? 4( x ? 1) ? 2 y ? 0,? 2 x ? y ? 2,? 9 ? 3 ? 2 3

B. 2 3

C. 6

D. 9

6. 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷 (三) 理科】 已知函数 f ( x) ? ? 则满足不等式 f (3 ? x 2 ) ? f (2 x) 的 x 的取值范围为 A. ? ?3,0? B.(-3,0) C.(-3,1) (

??1, x ? 0,
2 ? x ? 1, x ? 0,



D.(-3,-

3)
【答案】B
?3 ? x 2 ? 2 x , 【解析】由函数图象可知,不等式的解为 ? 即 x ? (?3 ,0) ,故选 B. ?2 x ? 0 ,

? 2 x ? y ? 4, ? 7. 【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理】设 x、 y 满足 ? x ? y ? ?1, ? x ? 2 y ? 2, ?
z ? x? y
A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最大值 【答案】B B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值



【解析】做出可行域如图

(阴影部分) 。由 z ? x ? y 得

y ? ? x ? z ,做直线 y ? ? x ,平移直线 y ? ? x 由图可知当直线经过点 C(2,0)时,

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直线 y ? ? x ? z 的截距最小,此时 z 最小为 2,没有最大值,选 B. 8.【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理) 】设变量 x , y 满足约束条件

?2 x ? y ? 2 ? 0 y ?1 ? 的取值范围是 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 则s= x ?1 ?x ? y ?1 ? 0 ?
A. ?1, ? 2 【答案】C

? 3? ? ?

B. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

C. ? , 2 ? 2

?1 ?

? ?

D. ?1, 2?

【解析】做出约束条件表示的可行域如图

,由图象可知

B(0,1), C (1, 0) 。
s= y ?1 x ?1

的几何意义是区域内的任一点到定点 M (?1, ?1) 的斜率的变化范

围,由图象可知, kMC ?

1 ?1 ? 0 1 ?1 ? 1 ? , kMB ? ? 2 ,所以 kMC ? s ? kMB ,即 ? s ? 2 , 2 ?1 ? 1 2 ?1 ? 0

所以取值范围是 [ , 2] ,选 C. 9. 【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】若实数 x , y 满足不等式组

1 2

? x ? y ? 0, ? 则 2 x ? y 的最大值是( ?2 x ? y ? 10 ? 0, ? ? 3x ? y ? 5 3 ? 0,
A.11 B.23

)

C.26

D.30

【答案】D

第 4 页 共 15 页

【解析】做出可行域如图

, 设 z ? 2 x? y, 即

y? ? 2 x ?z ,平移直线 y ? ?2 x ? z ,由图象可知当直线经过点 D 时,直线 y ? ?2 x ? z 的
? x ? y ? 0, ? ?2 x ? y ? 10 ? 0,
?x ? 1 0 , ? ?y ?1 0 ,

截距最大,此时 z 最大。由

解得

) 代入得 , 即 D(1 0 , 1 0,

z ? 2 x ? y ? 30 ,所以最大值为 30,选 D.
10【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理) 】设变量 x , y 满足约束条件

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 y ? 3x 的最大值为 ?x ?1 ? 0 ?
A. ? 3 【答案】C B. 2 C. 4 D. 5

【解析】 做出约束条件对应的可行域如图, 得y?

, 由 z ? 2 y ? 3x

3 z 3 3 z x ? 。做直线 y ? x ,平移直线得当直线 y ? x ? 经过点 B(0, 2) 时,直 2 2 2 2 2 3 z 线 y ? x ? 的截距最大,此时 z 最大,所以最大值 z ? 2 y ? 3x ? 4 ,选 C. 2 2
11【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)理科】实数对(x,y)满足不等式

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? x ? y ? 2 ? 0, ? 组 ? x ? 2 y ? 5 ? 0, 则目标函数 z=kx-y 当且仅当 x=3,y=1 时取最大值,则 k 的取值范 ? y ? 2 ? 0, ?
围是 ( )

A. ? ??, ?

? ?

1? ? 2?

?1, ?? ?

B. ? ? , ? | ? ? D. ? ??, ?1?

? 1 ? 2

? ?

C. ? ? .1? 【答案】C

? 1 ? ? 2 ?

1) 【解析】不等式组所表示的区域如图 2 所示,直线 z ? kx ? y ? y ? kx ? z 过 (3 , 时 z 取最

大 值 , 即 直 线 y ? kx ? z 在 y 轴 上 的 截 距 ?z 最 小 , 由 图 可 得 直 线 y ? kx ? z 的 斜 率

? 1 ? k ?? ? , 1? ? 2 ? ,故选 C.

图2

12【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理) 】 若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则 下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是 编号) . ①ab ? 1 ; ④a ? b ? 3 ;
3 3

. (写出所有正确命题的

② a? b? ⑤ ?

2;

③ a ?b ? 2;
2 2

1 a

1 ?2 b

【答案】① ,③ ,⑤ . 【解析】对于命题① 由 2 ? a ? b ? 2 ab ,得 ab ? 1 ,命题① 正确; 对于命题② 令 a ? b ? 1 时,不成立,所以命题② 错误; 对于命题③ 正确; a ? b ? (a ? b) ? 2ab ? 4 ? 2ab ? 2 ,命题③
2 2 2

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对于命题④ 令 a ? b ? 1 时,不成立,所以命题④ 错误; 对于命题⑤ ?

1 a

1 a?b 2 ? ? ? 2 ,命题⑤ 正确. b ab ab

所以正确的结论为① ,③ ,⑤ . 13【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】已知 x 和 y 是实数,且满足

? x ? y ? 10 ? 约束条件 ? x ? y ? 2 , 则z ? 2 x ? 3 y 的最小值是 ?2 x ? 7 ?
【答案】

.

23 2

【解析】

做出不等式对应的可行域如图,由

2 z 2 2 z ? 2 x ? 3 y 得 y ? ? x ? ,做直线 y ? ? x ,平移直线 y ? ? x ,由图象可知当直线 3 3 3 3 2 z 7 3 经过 C 点时,直线 y ? ? x ? 的截距最小,此时 z 最小,此为 C ( , ) ,代入目标函数得 3 3 2 2 7 3 23 z ? 2x ? 3 y ? 2 ? ? 3? ? 。 2 2 2
14 【 北 京 四 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 测 验 数 学 ( 理 )】 已 知

的最小值是 5,则 z 的最大值是______.

【答案】10 【解析】 由 z ? 3x ? y , 则 y = ? 3x ? z , 因为 z ? 3x ? y 的最小值为 5, 所以 z ? 3x ? y ? 5 , 做出不等式对应的可行域,由图象可知当直线 z ? 3x ? y 经过点 C 时,直线的截距最小,所

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以 直线 CD 的直线 方程为 ?2 x ? y ? c ? 0 , 由 ?

?x ? 2 ?3x ? y ? 5 ,解 得 ? ,代入直线 ?x ? 2 ? y ? ?1

?2 x ? y ? c ? 0 得 c ? 5 即 直 线 方 程 为 ?2 x ? y ? 5 ? 0 , 平 移 直 线 z ? 3 x ? y , 当 直 线

??2 x ? y ? 5 ? 0 ?x ? 3 z ? 3 x ? y经过点 D 时, 直线的截距最大, 此时 z 有最大值, 由? , 得? , ?y ?1 ?x ? y ? 4

即 D(3,1),代入直线 z ? 3x ? y 得 z ? 3 ? 3 ? 1 ? 10 。

15 【 山 东 省 聊 城 市 东 阿 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 初 考 试

】 已 知

x, y ? R ?,且x ? 4 y ? 1 ,则xy 的最大值为
1 【答案】 16
? 【解析】因为 x, y ? R ,且x ? 4 y ? 1 ? 2 x 4y,则xy ?

1 16

? x ? y ? 1 ? 0, ? 16【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理) 】若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, , ? x ? 0, ?
则z ?3
x?2 y

的值域是

.

【答案】 [1,9]

第 8 页 共 15 页

【解析】 令 t ? x ? 2y , 则y?? 平移直线 y ? ?

1 t x? , 做出可行域 2 2



1 x ,由图象知当直线经过 O 点是, t 最小,当经过点 D(0,1) 时, t 最大, 2

x?2 y 所以 0 ? t ? 2 ,所以 1 ? z ? 9 ,即 z ? 3 的值域是 [1,9] .

17 【 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 理 】 对 于 满 足 0 ? a ? 4 的 实 数 a , 使

x 2 ? ax ? 4 x ? a ? 3 恒成立的 x 取值范围是
【答案】 (??, ?1)

(3, ??)

【 解 析 】 原 不 等 式 等 价 为 x 2 ? ax ? 4 x ? a ?3 ?0 , 即 x 2 ? ax ? 4 x ? a ?3 ?0 , 所 以

a( x ?1) ? x2 ? 4x ? 3 ? 0





f(

? a)

a? (

2

x ? 1

) ? x,

则 4 ?x

函3 数

f (a) ? a( x ?1) ? x2 ? 4x ? 3 表示直线,所以要使 f (a) ? a( x ?1) ? x2 ? 4x ? 3 ? 0 ,则有
f (0) ? 0, f (4) ? 0 ,即 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 且 x2 ? 1 ? 0 ,解得 x ? 3 或 x ? ?1 ,即不等式的解
析为 (??, ?1)

(3, ??) .

18 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 理 】 若 不 等 式 组
2 ? ? x ? x ? 2 ? 0, 的解集中所含整数解只有-2,求 k 的取值范围 ? 2 ? 2 x ? ( 5 ? 2 k ) x ? 5 k ? 0 ?

.

【答案】 [?3, 2)
2 ? ? x ? x ? 2 ? 0, ? x ? 2或x ? ?1 得? 要使解集中只有一个整数 ?2 , 2 ? 2 x ? ( 5 ? 2 k ) x ? 5 k ? 0 ( x ? k )(2 x ? 5) ? 0 ? ?

【解析】 由?

则由

( x ? k ) ( 2x? 5 ? ) 0

可知,不等式

( x ? k )(2 x ? 5) ? 0

的解为 ?

5 ? x ? ?k , 且 2

第 9 页 共 15 页

?2 ? ?k ? 3 ,即 ?3 ? k ? 2 ,所以 k 的取值范围是 [?3, 2) 。
19 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 理 】 当 实 数 x, y 满 足 约 束 条 件

?x ? 0 ? ( a 为 常 数 ) 时 z ? x ? 3 y 有 最 大 值 为 12 , 则 实 数 a 的 值 ?y ? x ?2 x ? 2 y ? a ? 0 ?
为 【答案】-12 .

【解析】 z ? x ? 3 y 的最大值为 12,即 x ? 3 y ? 12

,由

? x ? 3 y ? 12 ?x ? 3 ? ? 图象可知直线 2 x ? 2 y ? a ? 0 也经过点 B.由 ? y ? x ,解得 ? y ? 3 ,即点 B(3,3) ,代
入直线 2 x ? 2 y ? a ? 0 得 a ? ?12 。 20 【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】 若关于 x 的不等式 x + 任意 n ? N 在 x ? (-?,? ] 上恒成立,则实 常数 ? 的取值范围是
*
2

1 1 x ? ( )n ? 0 对 2 2


【答案】 (??, ?1]

1 1 1 1 1 1 x ? ( ) n ? 0 得 x 2 + x ? ( ) n , 即 x 2 + x ? ( ) n max 恒 成 立 。 因 为 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 ( ) n max ? , 即 x + x? 在 ( ? ?,? ] 恒 成 立 , 令 y ? x + x , 则 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 y ? x2 + x ? (x ? ) ? ,二次函数开口向上,且对称轴为 x = ? 。当 x ? ? 时,函 4 4 2 4 16 1 1 1 2 数单调递减,要使不等式恒成立,则有 ? + ? ? ,解得 ? ? ?1 。当 x ? ? ,左边的最 4 2 2 1 1 1 1 1 2 ? ?? , 小值在 x = ? 处取得, 此时 x + x ? 不成立, 综上 ? 的取值范围是 ? ? ?1 , 4 2 16 8 6
【解析】 x +
2

即 (??, ?1] 。

第 10 页 共 15 页

21【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】已知 x 和 y 是实数,且满足

? x ? y ? 10 ? 约束条件 ? x ? y ? 2 , 则z ? 2 x ? 3 y 的最小值是 ?2 x ? 7 ?
【答案】

.

23 2

【解析】

做出不等式对应的可行域如图,由

2 z 2 2 z ? 2 x ? 3 y 得 y ? ? x ? ,做直线 y ? ? x ,平移直线 y ? ? x ,由图象可知当直线 3 3 3 3 2 z 7 3 经过 C 点时,直线 y ? ? x ? 的截距最小,此时 z 最小,此为 C ( , ) ,代入目标函数得 3 3 2 2 7 3 23 z ? 2x ? 3 y ? 2 ? ? 3? ? 。 2 2 2

?x ? y ? 2 ? 0 ? 22【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】若变量 x、y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,若 ?y ? a ?
2 x ? y 的最大值为 ?1,则 a ?
【答案】 ?1 【解析】令 2 x ? y ? z ,则 y =2 x ? z ,因为 2 x ? y 的最大值为 ?1 ,所以 2 x ? y ? ?1 ,由 图象可知当直线经过点 C 时,直线的截距最小,此时 z 有最大值,由 ?

?2 x ? y ? ?1 ,解得 ?x ? y ? 2 ? 0

第 11 页 共 15 页

? x ? ?1 ,即 a = ? 1 。 ? ? y ? ?1

23【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】 已知函数 f(x)=x +2x+a(共 10 分) (1)当 a=

2

1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (4 分) 2
1 >1 2

(2)若对于任意 x∈[1,+ ? ) ,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (6 分) 【答案】 (1)x +2x+ x +2x2 2 2

1 >0 2
2分

2 x +4x-1>0

{x|x>-1+
2

6 6 或 x<-1} 2 2

2分

(2)x +2x+a>0 a>-x -2x 令 g(x)=-x -2x 当对称轴 x=-1
2 2

? x∈[1,+ ? )恒
1分

2分 2分

当 x=1 时,g max (x)=-3 ∴a>-3 1分

24【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 12 分)

? 已 知 ?,? 是 三 次 函 数 f ( x)

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx (a, b ? R) 的 两 个 极 值 点 , 且 3 2

? ? ?0,1? , ? ? ?1,2? ,求动点 ?a, b ? 所在的区域面积 S .
? 【答案】由函数 f ( x) 1 3 1 2 x ? ax ? 2bx (a, b ? R) 可得, 3 2
第 12 页 共 15 页

f ?( x) ? x 2 ? ax ? 2b ,

………………2 分

由题意知, ?,? 是方程 x 2 ? ax ? 2b ? 0 的两个根, ……5 分 且 ? ? ?0,1? , ? ? ?1,2? ,因此得到可

? f ?(0) ? 2b ? 0 ? 行域 ? f ?(1) ? 1 ? a ? 2b ? 0 , ? f ?(2) ? 4 ? 2a ? 2b ? 0 ?

…………9 分



?b ? 0 ? ?a ? 2b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 2 ? 0 ?

,















.

………11 分 所以 S ?

1 . 2

………12 分

25【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理) 】.(本题满分 12 分) 如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上 D 点在 AN 上,且对角线 MN 过点 C,已知 AB=3 米,AD=2 米。

(1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (2)当 DN 的长度为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值。

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【答案】

26【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考(理) 】 (12 分)已知一家公司生产某种 品牌服装的年固定成本为 10 万元, 每生产 1 千件需另投入 2.7 万元.设该公司一年内生产该 品 牌 服 装 x 千 件 并 全 部 销 售 完 , 每 千 件 的 销 售 收 入 为 R? x ? 万 元 , 且

1 ? 10.8 ? x 3 ,0 x ? 10 ? ? 30 R? x ? ? ? ?108 ? 1000, x 10 ? 3x 2 ? x
(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大. (注:年利润一年销售收入一年总成本) 【答案】

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