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第三章空间向量与立体几何单元试卷


第三章

空间向量与立体几何

单元达标 一、选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1.已知平行四边形 ABCD 中,A(4,1,3)、B(2,-5,1)、C(3,7,-5),则顶点 D 的坐标为( ) A. ( ,4,?1)

7 2

B.(2,3,1)

C.(-3,1,5)

D.(5,13,-3) )

2.若 a =(0,1,-1), b =(1,1,0)且 (a ? ? b) ? a ,则实数 ? 的值是(

A.-1 B.0 C.-2 D.1 3.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么 直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是( ) A. ?

2 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

10 10

4.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高为 4,则点 A1 到截面 AB1D1 的距离是( ) A.

8 3

B.

3 8

C.

4 3

D.

3 4
)

5. 若两个二面角的面分别垂直且它们的棱互相平行, 则它们的角度之间的关系为( A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.无法确定 二、填空题
2 6.已知 a ? ( x,2,0) , b ? (3,2 ? x, x ) ,且 a 与 b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是

7.已知点 A(2,1,4)与点 P(x,y,z)的距离为 5,则 x、y、z 满足的关系式为______. 8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列给出四个命题:
2 2 (1) ( AA 1?A 1D 1?A 1B 1 ) ? 3( A 1B 1 ) ; (2) A 1C ? ( A 1B 1?A 1D 1 )? 0 ;

(3) AD ;(4)四边形 ABB1D1 的面积为 | AB ? BC1 | A1B 的夹角为 60° 1与 则错误命题的序号是______.(填出所有错误命题的序号) 9.若异面直线 a,b 所成角为 60° ,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线 a,b 上到 A, B 距离为 2,1 的两点,当|EF|=3 时,线段 AB 的长为______. 三、解答题 10. 如图, 直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 是等腰梯形, AB∥ CD, AB=2DC =2,E 为 BD1 的中点,F 为 AB 的中点,∠ DAB=60° .

1

(1)求证:EF∥ 平面 ADD1A1; (2)若 BB1 ?

2 ,求 A1F 与平面 DEF 所成角的正弦值. 2

11.如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点. (1)求证:AB1⊥ 平面 A1BD; (2)求二面角 A-A1D-B 的余弦值; (3)求点 C1 到平面 A1BD 的距离.

*12.如图,已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形且∠ C1CB=∠ C1CD =∠ BCD=60° .

(1)证明:C1C⊥ BD; (2)假定 CD=2,CC1= (3)当

3 ,求二面角 C1—BD—C 的平面角的余弦值; 2

CD 的值为多少时,A1C⊥ 平面 C1BD?请给出证明. CC1

2

单元达标答案 1.D 2.C 3.B 4.C 8.(2)(3) 9. | AB |?

5.C

6.x<-4 7.(x-2)2+(y-1)2+(z-4)2=25

2 或 | AB |? 6

10.解析:(1)连结 AD1,在△ABD1 中, ∵E、 F 分别是 BD1、 AB 的中点, ∴EF∥AD1. 又 EF ? 平面 ADD1A1∴EF∥平面 ADD1A1. (2)建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz(DG 是 AB 边上的高)

则有 A1 (

3 1 2 3 1 ,? , ), F ( , ,0) , 2 2 2 2 2 2 3 3 ), B( , ,0) , 2 2 2

D1 (0,0,

∴ E(

3 3 2 , , ). 4 4 4

设平面 DEF 的法向量为 n ? ( x, y , z ) ,则

? ? ? ?n ? DE ? 0, ? ? ? ? ? ?n ? DF ? 0. ? ? ?

3 3 2 x? y? z ? 0, 4 4 4 3 1 x ? y ? 0. 2 2

解得 y ? ? 3x, z ? 6 x ,取非零法向量 n ? (1,? 3 , 6 ). ∴A1F 与平面 DEF 所成的角即是 A1F 与 n 所成锐角的余角.

由 cos ? A1F , n ? =

A1 F ? n | A1 F | ?| n |



0 ? 1 ? 1 ? (? 3 ) ? (? 3 10 2
2 5 . 5

2 )? 6 2 5 2 ?? . 5

∴A1F 与平面 DEF 所成角的正弦值为

3

11.(1)取 BC 中点 O,连结 AO.∵△ABC 为正三角形,∴AO⊥BC. ∵在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面 ABC⊥平面 BCC1B1,∴AO⊥平面 BCC1B1. 取 B1C1 中点 O1,以 O 为原点, OB, OO1 , OA 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直 角坐标系,则 B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2, 3 ),A(0,0, 3 ),B1(1,2,0), ∴ AB ,2,? 3), BD ? (?2,1,0), BA ,2, 3) .∴ AB1 ? BD ? 0, AB1 ? BA 1 ? (1 1 ? (?1 1 ?0

? 平面 A1BD. ∴ AB 1 ? BD, AB 1 ? BA 1 ,∴AB1
(2)设平面 A1AD 的法向量为 n ? ( x, y , z ) .

AD =(-1,1,- 3 ), AA 1 =(0,2,0).
∵ n ? AD, n ? AA 1 , ∴?

? ?n ? AD ? 0,

?? x ? y ? 3z ? 0, ? y ? 0, ?? ?? 2 y ? 0 . ? n ? AA ? 0 . ? ? x ? ? 3z. 1 ?

令 z=1 得 n=(- 3 ,0,1)为平面 A1AD 的一个法向量. 由(1)知 AB1⊥平面 A1BD, AB 1 为平面 A1BD 的法向量.

cos ? n, AB1 ??

n ? AB1 ? 3 ? 3 6 . ? ?? 4 2?2 2 | n? AB1|
6 . 4

∴二面角 A-A1D-B 的大小的余弦值为 (3)C1 点到 A1BD 的距离为

d ?|

DC1 ? AB1 (0,1,0) ? (1,2,? 3) 2 2 . |?| |? ? 2 | AB1| 1? 4 ? 3 2 2

12.(1)证明:设 CB? a, CD? b, CC1 ? c , 则 | a |? | b |,? BD ? CD ? CB? b ? a ,

4

BD ? CC1 ? (b ? a) ? c ? b ? c ? a · c ? | b | ? | c | cos60? ? | a | ? | c | cos60? ? 0.
∴C1C⊥BD. (2)解:连 AC,设 AC∩BD=O,连 OC1,则∠C1OC 为二面角 C1—BD—C 的平面角.

1 1 1 (CB ? CD ) ? (a ? b), C1O ? CO ? CC1 ? (a ? b)? c 2 2 2 1 1 ∴ CO ? C1O ? (a ? b) ? [ (a ? b) ? c] 2 2 2 2 1 1 1 ? ( a ? 2a ? b ? b ) ? a · c? b· c 4 2 2 1 1 3 1 3 3 ? (4 ? 2 ? 2 ? 2 cos 60 o ? 4) ? ? 2 ? cos 60 ? ? ? 2 ? cos 60 ? ? . 4 2 2 2 2 2
∵ CO ?

| CO |? 3 , | C1O |?

3 CO ? C1O 3 ? ,? cos?C1OC = . 3 2 | CO | . | C1O |

(3)解:设

2 CD ? x ,CD=2,则 CC1 ? , x CC1

∵BD⊥平面 AA1C1C,∴BD⊥A1C ∵只须求满足 A 1C ? C1D ? 0 的 x 即可. 设A 1 A ? a, AD ? b, DC ? c ,

? A1C ? a ? b ? c, C1D ? a ? c , ? A1C ? C1 D ? (a ? b ? c)( a ? c) ? a ? a ? b ? b ? c ? c ?
令6?
2 2

4 2 ? ?6, x2 x

2 2 4 ? 2 ? 0 ,得 x=1 或 x ? ? (舍去). x x 3

5


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