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陕西省西安铁一中、铁一中国际合作学校2014届高三上学期11月模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


2014 届高三 11 月模拟考试试题数学(理科) 第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若复数 z ? ( x ? 1) ? ( x ? 1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为
2

A. ?1

B. 0

/>
C. 1
U

D. ?1 或 1

2.已知全集 U ? A ? B 中有 m 个元素, (痧A) ? ( U

B) 中有 n 个元素.若 A I B 非空,则

A I B 的元素个数为
A. mn B. m ? n C. n ? m D. m ? n

3.将函数 y= sin 2x 的图像向左平移 析式是 (A)y= cos 2x (C)y=1+ sin ? 2 x ?

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图像的函数解 4
2

(B)y= 2cos x

? ?

??
? 4?

(D)y= 2sin x

2

( 4.已知 a ? 1, b ? 6, a ? b ? a ) ? 2 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是(
A.



? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

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5. 过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点, a 2 b2
?

若 ?F1 PF2 ? 60 ,则椭圆的离心率为

A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

w.w.w.k.s .5.u. c.o. m

6. 下列结论错误的是
2





A.命题:“若 x ? 3x ? 2 ? 0,则x ? 2 ”的逆否命题为:“若 x ? 2 ,则

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”
B. 若 p 且 q 为假命题,则 p、q 均为假命题 C. “ ac ? bc ”是“ a ? b ”的充分不必要条件
2 2

D. 命题:“存在 x 为实数, x ? x ? 0 ”的否定是“任意 x 是实数, x ? x ? 0 ”
2 2

7. 如图, 在半径为 3 的球面上有 A, B, C 三点, ABC ? 90 , BA ? BC , 球心 O 到平面 ABC ?

?

的距离是

3 2 ,则 B、C 两点的球面距离是 2
B. ?
n

A.

? 3

C.

4? 3

D. 2?

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8. (1 ? ax ? by ) 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243 ,不含

y 的项的系数绝对值的和为 32 ,则 a, b, n 的值可能为
A. a ? 2, b ? ?1, n ? 5 C. a ? ?1, b ? 2, n ? 6 B. a ? ?2, b ? ?1, n ? 6 D. a ? 1, b ? 2, n ? 5

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9. 一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径” ,封闭区域边界曲线的 长度与区域直径之比称为区域的“周率” ,下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右 依次记为 ? 1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 ,则下列关系中正确的为

?

A. ? 1 ? ? 4 ? ? 3 10. 设函数 f ( x) ?

B. ? 3 ? ? 1 ? ? 2

?

C. ? 4 ? ? 2 ? ? 3

D. ? 3 ? ? 4 ? ? 1

ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的定义域为 D , 若所有点 ( s, f (t ))( s, t ? D) 构成一

个正方形区域,则 a 的值为 A. ?2 B. ?4 C. ?8 D.不能确定 开始 输入 a、b 是 a≤b 否
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第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 对任意非零实数 a、b ,若 a ? b 的运算原理如图 所 示,则 ? log 2 8 ? ? ?

?1? ? ? _____. ?2?

?2

输出 b ? 1
a

输出 a ? 1
b

12.用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字 结束 (第 11 题图)

的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 答).

个(用数字作

13. 若⊙ O1 : x ? y ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m) ? y ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点,且两圆在
2 2 2 2

点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 14. 若 不 等 式
2

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9 ? x ? k ( x ? 2) ? 2 的 解 集 为 区 间 ? a, b ? , 且 b ? a ? 2 , 则

k?
15.选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分) . A .( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 若 直 线

? x ? 1 ? 2t , ? x ? s, l1 : ? (t为参数) 与直线 l2 : ? ( s 为参数) ? y ? 2 ? kt. ? y ? 1 ? 2 s.
垂直,则 k ? .

B. (不等式选讲选做题) 不等式

x ?1 x?2

? 1 的实数解为



C.(几何证明选讲选做题)如图 4,点 A, B, C 是圆 O 上的点, 且 AB ? 4, ?ACB ? 45 ,则圆 O 的面积等于
0



三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分. 16. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? cos(2 x ? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值和最小正周期;
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?
3

) ? sin 2 x 。

(Ⅱ) A, C 为 ?ABC 的三个内角, cos B ? 设 B, 若

17. (本小题满分 12 分)从集合 ?1, 2,3, 4,5? 的所有非空子集中,等可能地取出一个。 ....

1 c 1 且 求 , f ( ) ? ? , C 为锐角, sin A 。 3 2 4

(1) 记性质 r:集合中的所有元素之和为 10,求所取出的非空子集满足性质 r 的概率; (2) 记所取出的非空子集的元素个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E ? 18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,SD ? 平面 ABCD,SD=2a,

AD ? 2a 点 E 是 SD 上的点,且 DE ? ?a(0 ? ? ? 2)
(Ⅰ)求证:对任意的 ? ? (0, 2] ,都有 AC ? BE (Ⅱ)设二面角 C—AE—D 的大小为 ? ,求 ? 的值 tan? g tan ? 1 ? ,直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 ? ,若

w.w.w.k.s.5.u

19. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 (n 为正整数) 。 (Ⅰ)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

1 2

n ?1 5n 的大小,并予以证明。 an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn 试比较 Tn 与 2n ? 1 n
2

20. (本小题满分 13 分)过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的对称轴上一点 A ? a, 0 ?? a ? 0 ? 的直线 与抛物线相交于 M、N 两点,自 M、N 向直线 l : x ? ?a 作垂线,垂足分别为 M 1 、 N1 。 (Ⅰ)

p 时,求证: AM 1 ⊥ AN1 ; 2 (Ⅱ)记 ?AMM1 、 ?AM 1 N1 、 ?ANN1 的面积分别为 S1 、 S 2 、 S 3 ,是否存在 ? ,使
当a ?
2 得对任意的 a ? 0 ,都有 S 2 ? ? S1S 2 成立。若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由。

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 3x ? ax ? b)e
3 2

?x

(Ⅰ)如 a ? b ? ?3 ,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) 在 (??, ? ),(2, ? ) 单调增加,在 (? , 2),( ? , ??) 单调减少,证明 ? ? ? <6.
.w.w.k.s.5.

w

数学(理科)答案
一、选择题:ADBCB 二、填空题: 11. 1 12. 324 BBDCB 14. k ? 2 15. (A) k ? ?1 (B) x ? ?

13. 4

3 且 x ? ?2 2

(C) 8π 三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)f(x)=cos(2x+

? ? 1 ? cos 2 x 1 3 ? 2 ? ? sin 2 x )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? 3 3 2 2 2 3
1? 3 ,最小正周期 ? . 2

所以函数 f(x)的最大值为

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(2) f ( ) =

c 2

1 3 1 ? sin C =- , 2 2 4

所以 sin C ?

3 , 2
, 3

因为 C 为锐角, 所以

所以 C ?

?
3

,

又因为在 ? ABC 中, cosB=

1 , 3

所以

sin ? B

2 3

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sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

2 1 1 3 3 3? ? ? ? . 3 2 3 2 2

17. (本小题满分 12 分) 解:解: (1)记”所取出的非空子集满足性质 r”为事件 A 基本事件总数 n= C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 =31
1 2 3 4 5

事件 A 包含的基本事件是{1,4,5}、{2,3,5}、{1,2,3,4} 事件 A 包含的基本事件数 m=3 所以 p( A) ?

m 3 ? n 31

(II)依题意, ? 的所有可能取值为 1,2,3,4,5 又 p(? ? 1) ?
1 C5 5 C 2 10 C 3 10 ? , p(? ? 2) ? 5 ? , p(? ? 3) ? 5 ? 31 31 31 31 31 31 5 C5 1 p(? ? 5) ? ? 31 31

C54 5 p(? ? 4) ? ? , 31 31
故 ? 的分布列为:

?
P

1

2

3

4

5

10 10 5 31 31 31 5 10 10 5 1 80 从而 E ? ? 1? +2 ? +3 ? +4 ? +5 ? ? 31 31 31 31 31 31

5 31

1 31

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证法 1:如图 1,连接 BE、BD,由地面 ABCD 是正方形可得 AC⊥BD。 ?SD⊥平面 ABCD,?BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影,?AC⊥BE

(Ⅱ)解法 1:如图 1,由 SD⊥平面 ABCD 知,∠DBE=

?,

?SD⊥平面 ABCD,CD ? 平面 ABCD, ?SD⊥CD。 又底面 ABCD 是正方形,? CD⊥AD,而 SD ? AD=D,CD⊥平面 SAD.
连接 AE、CE,过点 D 在平面 SAD 内作 DE⊥AE 于 F,连接 CF,则 CF⊥AE,

故∠CDF 是二面角 C-AE-D 的平面角,即∠CDF= ? 。 在 Rt△BDE 中,? BD=2a,DE= ? a ? tan ? ? 在 Rt△ADE 中, ? AD ? 从而 DF ?

DE ? ? BD 2

2a, DE ? ? a,? AE ? a ? 2 ? 2

AD ? DE ? AE

2? a

?2 ? 2

在 Rt?CDF 中, tan ? ?

CD ?2 ? 2 ? . DF ?

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由 tan ? ? tan ? ? 1 ,得 由 ? ? (0, 2] ,解得 ? ? (I)

?2 ? 2 ? . ?1 ? ?2 ? 2 ? 2 ? ?2 ? 2 . ? 2
2 ,即为所求.
??? ???? ??? ? ?

证法 2:以 D 为原点, DA, DC , DS 的方向分别作为 x,y,z 轴的正方向建立如 图 2 所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,A( 2 ,0,0) ,B( 2a , 2a ,0) ,C(0, 2a ,0) ,E(0,0 ? a ) ,

, ? ? A C ? ( ? 2 a, 2a , 0 )B E ? (

? ? ??

? ? ??

a? , ? a2 , 2 a
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)

??? ??? ? ? ? AC ? BE ? 2a 2 ? 2a 2 ? 0 ? ? a ? 0 ,
即 AC ? BE 。 (II) 解法 2:

由(I)得 EA ? ( 2a,0, ??a), EC ? (0, 2 a, ??a), BE ? ( ? 2 a, ? 2 a, ?a) .

??? ?

??? ?

??? ?

,n ? EC 得 设平面 ACE 的法向量为 n=(x,y,z),则由 n ? EA

??? ?

??? ?

??? ? ?n ? EA ? 0, ? 2x ? ? z ? 0, ? ? 即? 取z ? 2,得n( ?, ? , 2) 。 ? ? ??? ?n ? EC ? 0, ? 2y ? ? z ? 0, ? ? ??? ? ??? ? (0,2a,0) 易知平面 ABCD 与平面 ADE 的一个法向量分别为 DS ? (0, 0, 2a)与DC ? . ???? ??? ??? ? ? DC ? n ? DS ? BE ? . ? sin ? ? ??? ??? ? , cos ? ? ???? ? ? ? DS ? BE DC ? n ?2 ? 4 2? 2 ? 2
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?0< ? , ? ?

?
2

,? ? 0 ,

? tan ? ? tan ? ? ? ? ? ?

?
2

? sin ? ? cos ? ?

? ? ?4
2

?

?
2? ? 2
2

? ?2 ? 2 .

由于 ? ? (0, 2] ,解得 ? ? 19. (本小题满分 12 分)

2 ,即为所求。

解: (I)在 Sn ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ?

1 2

1 2

当 n ? 2 时, Sn ?1 ? ?an ?1 ? ( )n ?2 ? 2, an ? Sn ? Sn ?1 ? ?an ? an ?1 ? ( ) n ?1 , ?

1 2

1 2

1 ? 2a n ? an?1 ? ( )n?1 ,即2n an ? 2n?1 an?1 ? 1 . 2
? bn ? 2n an ,? bn ? bn ?1 ? 1,即当n ? 2时,bn ? bn ?1 ? 1 .
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又 b1 ? 2a1 ? 1,? 数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2 an ,? an ?
n

?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( )n ,所以 n 2 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( )2 ? 4 ? ( )3 ? K ? (n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( )2 ? 3 ? ( )3 ? 4 ? ( )4 ? K ? (n ? 1)( ) n?1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n?1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? K ? ( ) ? ( n ? 1)( ) 2 2 2 2 2 1 1 n ?1 [1 ? ( ) ] 1 3 n?3 4 2 ? 1? ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2
(II)由(I)得 cn ?

n . 2n

w.w.w.k.s.5 .u. c.o. m

Tn ?

5n n?3 5n (n ? 3)(2n ? 2n ? 1) ? 3? n ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1)

于是确定 Tn与

5n n 的大小关系等价于比较 2 与2n ? 1 的大小 2n ? 1
2 3 4 5
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由 2 ? 2 ?1 ? 1; 2 ? 2 ? 2 ? 1; 2 ? 2 ? 3 ? 1; 2 ? 2 ? 4 ? 1; 2 ? 2 ? 5; K

2 可猜想当 n ? 3时, ? 2n ? 1. 证明如下:
n

证法 1: (1)当 n=3 时,由上验算显示成立。 (2) 假设 n ? k ? 1 时 2
k ?1

? 2g2k ? 2(2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ? (2k ? 1) ? 2( k ? 1) ? 1

所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立 综合(1) (2)可知 ,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 ? 2n ? 1.
n

证法 2:当 n ? 3 时
0 1 2 n n 0 1 n n 2n ? (1 ? 1)n ? Cn ? Cn ? Cn ? K ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1

综上所述,当 n ? 1, 2时 Tn ? 20. (本小题满分 13 分)

5n 5n ,当 n ? 3 时 Tn ? 2n ? 1 2n ? 1

解:依题意,可设直线 MN 的方程为 x ? my ? a, M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则有

M (?a, y1 ), N (?a, y2 )
由?

? x ? my ? a ? y ? 2 px
2

消去 x 可得 y ? 2mpy ? 2ap ? 0
2

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从而有 ?

? y1 ? y2 ? 2mp ? y1 y2 ? ?2ap
2



于是 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2a ? 2(m p ? a) 又由 y1 ? 2 px1 , y1 ? 2 px2 可得 x1 x2 ?
2 2



( y1 y2 ) 2 (?2ap) 2 ? ? a2 2 2 4p 4p



p p p 时,点 A( , 0) 即为抛物线的焦点, l 为其准线 x ? ? 2 2 2 P P 2 此时 M1 (? , y1 ), N1 (? , y2 ), 并由 ①可得 y1 y2 ? ? p 2 2 uuuu v uuuv 证法 1: Q AM 1 ? (? p, y1 ), AN1 ? (? p, y2 )
(Ⅰ)如图 1,当 a ?

uuuu uuuv v ? AM1 ? AN1 ? p 2 ? y1 y2 ? p 2 ? p 2 ? 0,即AM1 ? AN1

证法 2:

Q K AM1 ? ?

y1 y , K AN1 ? ? 2 , p p

? K AM1 ? K AN1 ?

y1 y2 p2 ? ? 2 ? ?1,即AM 1 ? AN1 . p2 p

(Ⅱ)存在 ? ? 4 ,使得对任意的 a ? 0 ,都有 S 2 ? 4 S1S3 成立,证明如下:
2

记直线 l 与 x 轴的交点为 A1 ,则 OA ? OA1 ? a 。于是有

1 1 ? MM 1 ? A1M 1 ? (x1 ? a ) y1 2 2 1 S2 ? ? M 1 N1 ? AA1 ? a y1 ? y2 2 1 1 S3 ? ? NN1 ? A1 N1 ? (x2 ? a ) y2 2 2 S1 ?

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2 ? S 2 ? 4 S1S3 ? (a y1 ? y2 ) 2 ? ( x1 ? a ) y1 ? ( x2 ? a ) y2

? a 2 [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? [ x1 x2 ? a ( x1 ? x2 ) ? a 2 ] y1 y2
将①、②、③代入上式化简可得

a 2 (4m2 p 2 ? 8ap) ? 2ap(2am2 p ? 4a 2 ) ? 4a 2 p(m2 p ? 2a)
上式恒成立,即对任意 a ? 0, S2 ? 4S1S3 成立
2
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21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? b ? ?3 时, f ( x) ? ( x ? 3x ? 3x ? 3)e ,故
3 2 ?x
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f '( x) ? ?( x3 ? 3x 2 ? 3x ? 3)e? x ? (3x 2 ? 6 x ? 3)e? x
? ? ?e? x ( x 3 ? 9 x) x ? ?x( x ?3 ) (x ? 3?e )

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当 x ? ?3或 0 ? x ? 3时,f '( x) ? 0; 当 ?3 ? x ? 0或x ? 3时,f '( x) ? 0.

从而 f ( x)在(??, ?3),(0,3)单调增加,在(? 3, 单调减少. 0),(3, ?) ? (Ⅱ) f '( x) ? ?( x ? 3x ? ax ? b)e
3 2 ?x

? (3x 2 ? 6 x ? a)e ? x

? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? b ? a].
由条件得: f '(2) ? 0, 即2 ? 2(a ? 6) ? b ? a ? 0, 故b ? 4 ? a, 从而
3

f '( x) ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a].
因为 f '(? ) ? f '( ? ) ? 0, 所以

x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2)( x ? ? )( x ? ? ) ? ( x ? 2)( x 2 ? (? ? ? ) x ? ?? ).
将右边展开,与左边比较系数得, ? ? ? ? ?2, ?? ? a ? 2. 故

? ? ? ? ( ? ? ? ) 2 ? 4?? ? 12 ? 4a .
又 ( ? ? 2)(? ? 2) ? 0, 即?? ? 2(? ? ? ) ? 4 ? 0. 由此可得 a ? ?6. 于是 ? ? ? ? 6.

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