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导数之综合测试(1)


导数测试
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1? 1 1.已知函数 f(x)= 2,则 f′? ?2?=( x 1 A.- 4 C.-8
- -

)

1 B.- 8 D.-16

解析:∵f′(x)=(x 2)′

=-2x 3, 1? ?1?-3=-16. ∴f′? =- 2 × 2 ? ? ?2? 答案:D 3 1 1,- ?处的切线的倾斜角为( 2.曲线 y= x2-2x 在点? 2? ? 2 A.-135° C.-4 5° B.45° D.135° )

解析:y′=x-2,所以斜率 k=1-2=-1,因此倾斜角为 135° . 答案:D 3.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是( A.在点 x=x0 处的函数值 B.在点(x0,f(x0))处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值 C.曲线 y=f(x)在点(x0 ,f(x0))处的切线的斜率 D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率 答案:C 4.若 f(x)=sin α-cos x,则 f′(x)=( A.sin x C.cos α+sin x B.cos x D.2sin α+cos x ) )

解析:函数是关于 x 的函数,因此 sin α 是一个常数. 答案:A 5.下列求导运算正确的是( 3? 3 A.? ?x+x?′=1+x2 C.(3x)′=3xlog3 e ) 1 B.(log2x)′= xln 2 D.(x2cos x)′=-2xsin x

3 3 x+ ?′=1- 2,所以 A 不正确;(3x)′=3xln 3,所以 C 不正确;(x2cos x)′= 解析:? ? x? x 1 2xcos x+x2· (-sin x),所以 D 不正确;(log2x)′= ,所以 B 正确. xln 2 答案:B

导数测试
6.(2011· 重庆高考)曲线 y=-x3+3x2 在点(1,2)处的切线方程为( A.y=3x-1 C.y=3x+5 B.y=-3x+5 D.y=2x )

解析:依题意得,y′=-3x2+6x,y′|x=1 =-3×12+6×1=3,即所求切线的斜率等 于 3,故所求直线的方程是 y-2=3(x-1),整理得 y=3x-1. 答案:A 7.若 f(x)=log3(2x-1),则 f′(3)=( 2 A. 3 2 C. 3ln 3 B.2ln 3 2 D. 5ln 3 )

2 2 解析:∵f′(x)= ,∴f′(3)= . 5ln 3 ?2x-1?ln 3 答案:D 1 8.若函数 f(x)满足 f(x)= x3-f′(1)· x2-x,则 f′(1)的值为( 3 A.0 C.1 B. 2 D.-1 )

解析:f′(x)=x2-2f′(1)x-1, 所以 f′(1)=1-2f′(1)-1,则 f′(1)=0. 答案:A x2+a2 9.函数 y= (a>0)在 x=x0 处的导数为 0,那么 x0=( x A.a C.-a B .± a D.a2 )

?x2+a2?′x-x′?x2+a2? 2x2-a2-x2 x2-a2 2 解析:因为 y′= = = 2 ,所以 x2 0-a =0,解得 x2 x2 x x0=± a. 答案:B 10.(2011· 江西高考)若 f(x)=x2-2x-4ln x,则 f ′(x)>0 的解集为( A.(0,+∞) C.(2,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0) )

4 2?x-2??x+1? 解析:令 f ′(x)=2x-2- = >0, x x 又 x>0,所以 x>2. 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确的答案填在题中的横线

导数测试
上) 11.若 f(x)=log3(x-1),则 f′(2)=________. 解析:∵f(x)=log3(x-1), 1 ∴f′(x)=[log3(x-1)]′= , ?x-1?ln 3 1 ∴f′(2)= . ln 3 答案: 1 ln 3

1 12.已知 0<x< ,f(x)=x2,g(x)= x,则 f′(x)与 g′(x)的大小关系是____________. 4 1 解析:由题意,得 f′(x)=2x,g′(x)= . 2 x 1 1 由 0<x< ,知 0<f′(x)< , g′(x)>1, 4 2 故 f′(x)<g′(x). 答案:f′(x)<g′(x) 3 13.已知物体的运动方程是 s(t)=t2+ (t 的单位是秒,s 的单位是米),则物体在时刻 t t = 4 秒时的速度 v=________米/秒,加速度 a=________米/秒 2. 3 解析:∵s′(t)=2t- 2, t 3 125 ∴v(4)=s′(4)=2×4- 2= , 4 16 3 6 ∵v(t)=2t- 2,∴v′(t)=2+ 3, t t 3 67 ∴a(4)=v′(4)=2+ = . 32 32 125 67 答案: 16 32 14.过原点作曲线 y=ex 的切线,则切点的坐标为________,切线的斜率为________. 解析:设切点坐标为(x0,ex0) ,y′=ex, 则切线斜率为 ex0,切线方程为 y-ex0=ex0(x-x0),代入原点坐标(0,0)?x0=1,∴切点 为(1,e),斜率为 e. 答案:(1,e) e 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 15.(本小题满分 12 分)求下列函数的导数:

导数测试
1 (1)y=sin x+ ; x (2)y=(x2+2)(3x-1); (3)y=x· e x;


1 (4)y= sin 2x. 2 1 1 解:(1)y′=(sin x)′+( )′=cos x- 2. x x (2)y′=(x2+2)′(3x-1)+(x2+2)(3x-1)′ =2x(3x-1)+3(x2+2) =9x2-2x+6. (3)y′=x′· e x+x· (e x)′
- -

=e x-xe x=(1-x)e x.
- - -

1 1 (4)y′= (sin 2x)′= ×2· cos 2x=cos 2x. 2 2 16.(本小题满分 12 分)已知曲线 y=x3+3x2+6x-10 上一点 P,求过曲线上 P 点的所 有切线中,斜率最小的切线方程. 解:y′=3x2+6x+6=3(x2+2x+2)=3(x+1)2+3. ∴当 x=-1 时,斜率最小为 3,此时 P 的纵 坐标为 y=(-1)3+3×(-1)2+6×(-1)- 10=-14, ∴切点坐标为(-1,-14). ∴切线方程为 y+14=3(x+1), 即 3x-y-11=0. 1 7 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= x3+3xf′(a)(其中 a∈R),且 f(a)= ,求: 3 6 (1)f(x)的表达式; (2)曲线 y=f(x)在 x=a 处的切线方程. 解:(1)f′(x)=x2+3f′(a),于是有 a2 f′(a)=a2+3f′(a)?f′(a)=- , 2 1 3a2 ∴f(x)= x3- x, 3 2 7 1 3 7 又 f(a)= ,即 a3- a3= ?a=-1, 6 3 2 6 1 3 f(x)= x3- x; 3 2 7? (2)由(1)知切点为? ?-1,6?,

导数测试
1 切线的斜率 f′(a)=- , 2 7 1 ∴切线方程为 y- =- (x+1), 6 2 即 3x+6y-4=0. b 18.(本小题满分 14 分)设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 x 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f( x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积 为定值,并求此定值. 7 解:(1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4 1 1 当 x=2 时,y= ,则 f(2)= . 2 2 b 又 f′(x)=a+ 2, x

?2a-2=2, 于是? b 7 ?a+4=4,
3 故 f(x)=x- . x

b 1

? ?a=1, 解得? ?b=3, ?

(2)证明:设 P(x0,y0)为曲线上任一点, 3 由 y′=1+ 2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 x 3? y-y0=? ?1+x2?(x-x0),
0

3? ? 3? 即 y-? ?x0-x ?=?1+x2?(x-x0).
0 0

6? 6 令 x=0 得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为? ?0,-x0?. x0 令 y=x 得 y=x=2x0 从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 6 1 - ?|2x0|=6. 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 ? 2 ? x0? 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,此 定值为 6.


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